Chuyên đề: Một số cách chứng minh đònh lí Pytago Tổ: Toán
−
−−
−
Vật lý
Gvth: Ngô Chí Trung Trang 1
Chuyên đề: Một số cách chứng minh đònh lí Pytago.
−−−− PHẦN I: MỞ ĐẦU.

Đònh lí Pytago là một đònh lí tuyệt đẹp của toán học. Con người đã phát hiện
và chứng minh được nó cách nay nhiều nghìn năm, từ khi toán học vừa mới hình
thành. Về cách chứng minh đònh lí Pytago thì có đến hàng triệu cách. Cách cổ xưa
nhất thuộc về Pytago. Cách chứng minh này được ghi lại trong tác phẩm kinh điển
về hình học “Eléments” của Euclide khoảng năm 300 TCN, song song đó, cách
chứng minh khác cũng được tìm thấy trong một tài liệu về toán của Trung Quốc
vào khoảng năm 500 đến năm 200 TCN. Về sau các nhà toán học đã không ngừng
đưa ra nhiều cách chứng minh khác.
Để chứng minh đònh lí Pytago không khó. Trong chương trình hình học 7 đã
trình bày cách chứng minh dựa vào việc đặt các tam giác vuông có cạnh a, b, c
vào hình vuông có cạnh là a + b. Cách này giúp học sinh dẽ dàng chứng minh
được đònh lí Pytago. Ngoài ra còn nhiều cách khác cũng dựa vào ghép hình nhưng
theo cách ghép khác, hoặc ứng dụng các tính chất diện tích của đa giác, ứng dụng
tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông, …
Trong chuyên đề nhỏ này, tôi xin giới thiệu đến quý thầy cô một số cách
chứng minh đònh lí Pytago mà tôi hoặc tìm ra được hoặc sưu tầm được, tuy số cách
chứng minh còn ít rất nhiều so với số cách mà con người đã biết nhưng với số cách
chứng minh này cũng đối với tôi cũng là một gia tài kha khá. Hy vọng chuyên đề
sẽ đem đến cho quý thầy cô nhiều điều thú vò, từ đó vận dụng vào bài giảng của


Về sau, người ta nhận thấy diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của
nó nên phát biểu lại: “Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng
tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông” như chúng ta đã biết ngày nay.
c
a
b
Chuyên đề: Một số cách chứng minh đònh lí Pytago Tổ: Toán
−
−−
−
Vật lý
Gvth: Ngô Chí Trung Trang 3
II. Một số cách chứng minh.
Trong phần này, tôi xin giới thiệu một số cách chứng minh do tôi sưu tầm
được, việc trình bày có thể không theo thứ tự thời gian mà cách chứng minh được
tìm ra. Xin quý thầy cô thông cảm.
1. Cách cắt và ghép hình thứ nhất:
Cách này chính là cách chúng ta đã biết trong sách giáo khoa toán 7. Vì hai hình vuông trên có diện tích bằng nhau nên phần diện tích phần
không bò các tam giác vuông che khuất bằng nhau. Từ đó suy ra c
2
= a
2
+ b

c
a
b
c
a
b
c
b
a
Chuyên đề: Một số cách chứng minh đònh lí Pytago Tổ: Toán
−
−−
−
Vật lý
Gvth: Ngô Chí Trung Trang 4
3. Cách cắt ghép hình thứ ba:
Cách này do nhà toán học Henry Perigal tìm ra năm 1873.

Cách thực hiện:
+ Dựng hình vuông ABCD và hình vuông AEFG sao cho đỉnh G nằm trên
cạnh AD, sao cho cạnh của hình vuông ABCD bằng a, cạnh của hình vuông AEFG
bằng b (giả sử a > b).
+ Trên tia BA, lấy điểm I sao cho BI = AE = b.
+ Các đường thẳng vuông góc với CI tại C, vuông góc với FI tại F cắt nhau
tại J.
Chứng minh:
Dễ dàng chứng minh được CIFJ là hình vuông nên có diện tích là c
2
.
Mặt khác, S

cộng thêm hình vuông có cạnh a − b. Nên ta có:
c
2
= 4.
a.b
2
+ (a − b)
2
⇔ c
2
= 2ab + a
2
+ b
2
− 2ab ⇔ c
2
= a
2
+ b
2
.

B
A
E
C
G
D
F
I

′ ′
′ ′ ′
+
=2
2 2
(b c) 1 1
bc b c .
2 2 2
+
= = + +

Mặt khác:
2 2
AA C B ABC A CC CBC
1 1 1 1
S S S S bc bc a bc a
2 2 2 2
′ ′ ′ ′ ′
= + + = + + = +
⇒
2 2 2 2 2 2
1 1 1
a b c hay a b c
2 2 2
= + = +
.


2
+ AC
2

Hay a
2
= b
2
+ c
2
.

C
B
A
H
A
C
b
B
A'
a
C'
a
c
b
c
Chuyên đề: Một số cách chứng minh đònh lí Pytago Tổ: Toán
−
−−