CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI (PHẦN 5) Bài 1. Cho hàm số:
2
6
y ax ax x a
   
(1); với a là tham số thực.
1. Vẽ đồ thị của hàm số (1) trong trường hợp
1
a

.
2. Ký hiệu đồ thị của (1) là (P). Với giá trị nào của a thì
a) (P) đi qua gốc tọa độ O.
b) (P) đi qua điểm M thuộc phân giác góc phần tư thứ nhất và có hoành độ bằng 5.
3. Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số (1) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của a.
4. Với giá trị nào của a thì (P) cắt đường thẳng : 3
y x a
  
tại hai điểm nằm về phía trên trục hoành và bên
trái trục tung.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
3 3

  
(m là tham số thực).
3. Chứng minh rằng mọi điểm M nằm trên (P) cách đều trục hoành và một điểm K cố định. Xác định tọa độ K.
4. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (P) tại điểm M tạo với đường thẳng MK và trục tung những góc nhọn có số
đo bằng nhau.
5. Lập phương trình tiếp tuyến của (P) đi qua điểm


2;4
A
.
Bài 4. Cho hàm số




1 1
y x x
   (1).
1. Đơn giản hàm số đã cho bằng phương pháp chia trường hợp.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho.
3. Xét phương trình




1 1 2 1
x x m
   
. Hãy tìm m để

2 2 7
x x m
  
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
2

Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):


2 2
2 4 2 1 8 3
y x m x m
    
.
1. Xác định giá trị m biết (P) đi qua giao điểm của trục tung và đường thẳng
: 3 6
y x
  
.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) trong trường hợp
1
m

.
3. Chứng minh rằng parabol (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định với mọi giá trị của m.
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):


2







2
: 1 2 2 3
m
P y m x m x m
     

1. Vẽ đồ thị
 
1
P

.
2. Tìm m để đồ thị đi qua gốc tọa độ O.
3. Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ đồ thị trên luôn luôn đi qua hai điểm cố định. Trong trường hợp (
m
P
) là
đường thẳng; kết luận trên còn đúng hay không ?
4. Tìm tọa độ các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho qua mỗi điểm đó không có đường cong nào của họ đồ
thị trên đi qua.
5. Tìm giá trị của m để họ đồ thị tiếp xúc với đường
: 4 6 0
x y m
    





2 2
1 2
: ; : 2 4
P y x P y x x
   
.
1. Tìm tọa độ các giao điểm A và B của hai parabol.
2. Qua A vẽ đường thẳng a cắt


1
P
và


2
P
lần lượt ở E, F (E và F khác A).
Qua B vẽ đường thẳng b cắt


1
P
và





2 2
1 2 4 3
y x m x m m
     
.
3. Tìm parabol


2
:
P y ax bx c
  
biết nó đi qua hai điểm




0; 1 , 4; 5
A B
 
và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình
5 15
y x
 
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
3



2;1 , 3;1
M N
. Hãy cho biết
phương trình trục đối xứng của (P).
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
2 3
y x x
  
và đường thẳng
: 2
d y m x
 
.
1. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d đi qua gốc tọa độ ?
2. Tìm các phép tịnh tiến biến đổi parabol (P) thành parabol


2
: 2 5
P y x x

 
.
3. Chứng minh d và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định tọa độ trung điểm I của AB.
Bài 17. Lập phương trình parabol (P) thỏa mãn đồng thời
1. Tiếp xúc với đường thẳng
: 3


1 1 1
f f
  
.
2. Tìm m để (P) vừa tìm được cắt (P) tại hai điểm A và B sao cho OA vuông góc với OB.
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y ax bx c
  
đi qua gốc tọa độ.
1. Hãy tính các hệ số
, ,
a b c
biết rằng




 
3
9
8
f x f x x
f x
  



 

1;1 1;1
;
x x
A Min f x B Max f x
   
 
. Tìm giá trị của m sao cho
8
B A
 
.
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol






2
: 1 2 1
m
P y m x mx m m
    
.
1. Tìm m để parabol có đỉnh nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ ba.
2. Tìm quỹ tích đỉnh của các parabol khi m thay đổi.
3. Xác định m để parabol cắt đường thẳng
:
d y m


: 1 2 3 1
P y m x m x m m
      
có một tiếp tuyến cố định tại một
điểm cố định.
4. Tìm điểm cố định của họ parabol (P):
2
2 1
y mx mx
  
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
4

Bài 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho họ parabol (P):




2
2 2 1 4 3 0
y mx m x m m
     

1. Tìm m để họ parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng
3
5
4
y x
 

a) Đường thẳng d tạo với trục hoành một góc
60



.
b) Đường thẳng d cắt hai trục Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm A và B sao cho
2
OA OB

.
3. Chứng minh rằng họ đường thẳng đã cho không có điểm cố định; đồng thời tiếp xúc với một parabol cố
định. Tìm phương trình đường parabol ấy biết trục đối xứng của nó song song với trục tung.
Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 3 2
P y x x
  
.
1. Gọi


P

là đồ thị đối xứng với (P) qua điểm


1;2



.
2. Với giá trị nào của m thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 ?
3. Khi (P) và d cắt nhau, hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Bài 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
:
P y ax bx c
  
và đường thẳng
: 2 1
d y x
 
.
1. Xác định mối quan hệ giữa các hệ số
, ,
a b c
biết rằng (P) luôn tiếp xúc đường thẳng d tại điểm


1;3
A
.
2. Tìm quỹ tích đỉnh của parabol (P) khi a thay đổi.
Bài 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol



1. Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
2
;
5
 



 
.
2. Với giá trị nào của a thì d cắt hai tia Ox và Oy tại hai điểm A và B thỏa mãn
4
OA OB

?
3. Tìm a để (P) đi qua điểm


2;15
A
.
4. Định a để (P) và d tiếp xúc với nhau.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
5

Bài 32. Cho hàm số
2
4
y x x m
  

Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số


4 2 2
2 4 8
y x m x m
    
cắt trục hoành lần lượt tại bốn điểm phân biệt A, B, C,
D sao cho
AB BC CD
 
.
Bài 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol




2 2
: 2 2 3
P y x m x m m
    
.
1. Tìm m để (P) đi qua gốc tọa độ.
2. Với giá trị nào của m thì đỉnh của (P) nằm trên đường thẳng
3 4
y x
 
?
3. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đường phân giác góc phần tư thứ hai luôn cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt A và B; đồng thời khoảng cách giữa hai điểm A và B không phụ thuộc vào tham số m.

P y x x P y x x
      
.
Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho




2 2
: 2 1 1
P y x m x m
    
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ đỉnh của parabol theo m.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, parabol (P) luôn cắt đường thẳng
y x

tại hai điểm với khoảng
cách không phụ thuộc vào m.
3. Khi m thay đổi, hãy chứng minh parabol (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho


2
: 2 1
P y x mx
  
và đường thẳng
2
: 3 2

đường thẳng có phương trình
4 0
y x
 
.
Bài 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường thẳng
: 2 2
d y m x
 
và parabol


2
: 2 4
P y x x m
   
.
1. Với giá trị nào của m thì (P) tiếp xúc với d ?
2. Tìm giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ giao điểm trong trường hợp
3
2
m
 
.
Bài 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
:
d y ax b
 
. Tìm giá trị của a và b biết
1. Đường thẳng d song song với đường thẳng

tại điểm


3;2
C
.
Bài 42. Xác định hàm số bậc hai biết đồ thị là một parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt
đường thẳng
: 1
d y x
 
tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
6

Bài 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2 2
: 3 2
P y x mx m
   (m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) trong trường hợp
2
m

.
2. Chứng minh rằng (P) và trục hoành luôn có ít nhất một điểm chung.
3. Tìm m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

: 2 3
d y x
 
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho
a) Tam giác AOB vuông cân tại O.
b) Tam giác OAB nhận điểm


1;3
G
làm trọng tâm.
3. Biểu diễn


2
2 3 2
y x m x x
     
là hàm số bậc nhất theo biến số m, tham số x.
Từ đó chứng minh rằng: Với mọi
2
m
 
thì




2
2 1 3 2 0 4;1

.
Bài 46. Cho hàm số


2
2 3 3 1
y x m x m
    
(1); với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với
3
m

.
2. Tìm m để hàm số (1) là một parabol (P) có đỉnh nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
3. Xét sự tương giao giữa đồ thị (P) của hàm số (1) và đường thẳng


: 2 3 5
y m x
   
. Tìm m để
a) (P) cắt

tại hai điểm phân biệt AB sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.
b) (P) và

cắt nhau tại hai điểm nằm về hai phía của đường thẳng
4
x

 
đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm m để phương trình
2
3 7 4 0
x mx m
   
có hai nghiệm phân biệt đều thuộc nửa đoạn


7;5
 .
Bài 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 2 5 2
P y x mx m
   
(m là tham số thực).
1. Tìm m để đỉnh của parabol (P) nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parabol với
2
m

.
3. Xét sự tương giao giữa (P) và đường thẳng
: 3 2 3
d y mx m
  

tại hai điểm phân biệt sao cho tổng tung độ của hai
điểm đó bằng
5
m
.
4. Với giá trị nào của m thì parabol (P) cắt đồ thị (C) của hàm số
3 2 3
3 2
y x m x m
  
tại ba điểm phân biệt ?
Bài 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4 5
P y x x m
  
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
m

.
2. Xác định m để parabol (P) có đỉnh nằm trên đường thẳng
: 2 3 4 0
d x y
  
.
3. Định m để (P) cắt đường thẳng


;
M x y
có tọa độ thỏa mãn






4 1 5
x x y y
   
.
2. Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến với
3
x

.
3. Xác định m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện
. 9
OA OB

 
.
4. Tìm m để parabol (P) cắt tia Ox tại hai điểm phân biệt M và N thỏa mãn đẳng thức
3
OM ON m
 
.




.
5. Xét trường hợp (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ tương ứng
1 2
,
x x
.
Tìm tất cả các giá trị m sao cho
a)
2 2
2 3
OA OB
 
.
b)
2 2
1 1 2 2
3 4 7 6
x x x x m
   
.
6. Tìm m để (P) và parabol


2
: 6 2
Q y x mx m
   

2
: 3 1 3 2
P y x m x m
    
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
1
m

.
2. Tìm m để hàm số




2
3 1 3 2
f x x m x m
    
luôn đồng biến trên miền


2;7
.
3. Với giá trị nào của m thì parabol (P) chắn trên trục hoành đoạn thẳng AB sao cho
a) Đoạn thẳng chứa điểm


8;0
S 

4 12 9
x xy y
  
.
2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho và trục hoành luôn có giao điểm chung.
3. Định m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
: 2 1
d y mx
 
tại hai điểm phân biệt sao cho hai điểm đó đều
có hoành độ thuộc đoạn


4;
 
.
Bài 56. Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol


2
: 2 5
P y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P).
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 5
y x x
  

3 2 5
y x ax ax
   
tại ba điểm phân biệt
trong đó không có điểm nào nằm bên trái trục tung.
Bài 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai parabol


2
: 2 3
P y x x
  
và


2
: 2 3
Q y x x
   
.
1. Tìm phép biến đổi (P) thành (Q).
2. Khảo sát sự biến thiên và hai đồ thị (P), (Q). Tính diện tích của tứ giác tạo bởi hai đỉnh của hai parabol và
các giao điểm tương ứng.
3. Tìm trên (P) các điểm


;
N x y
có tọa độ thỏa mãn


3
5
y x mx
  
tại ba điểm có hoành độ nhỏ hơn 5.
Bài 59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 3 2
P y m x x
  
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) khi
1
m
 
.
2. Tìm m để parabol (P) tiếp xúc với trục hoành.
3. Xác định a để trục đối xứng

của (P) cách đường thẳng
: 5 2
d y a
 
một khoảng bằng 1.
4. Xét sự tương giao của (P) và đồ thị (C) của hàm số


3 2



;
D x y
có tọa độ thỏa mãn
2 3
x y xy
 
.
2. Tìm m để khoảng cách từ điểm


2;3
M
và đỉnh của (P) bằng 4.
3. Tìm giá trị của m để đồ thị (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 3.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đồ thị (C) của hàm số


3 2
6 5 1
y x mx m x
   
tại ba điểm phân biệt có tổng
hoành độ bằng 8.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
9

Bài 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol



3 2
: 3 2 2
C y x x x m
    
tại ba điểm phân biệt.
Bài 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2 2
: 4 3
P y x mx m
  
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) với
1
m

.
2. Tìm m để trục đối xứng của parabol (P) nằm bên trái đường thẳng
2
:
7
l x

.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
:
x y m

x y x y
   
.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
: 5 0
d y x m
  
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
thỏa mãn
điều kiện sau:
1 2
2
x x
 
.
5. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đồ thị hàm số
3 2
4 4 4
y x mx mx
   
.
Bài 64. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol






m

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
b) Đường thẳng
4
y

cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt A và B. Tính
IAB
S

với


1;0
I
.
2. Định m để đỉnh I của parabol (P) nằm trong góc phần tư thứ nhất.
3. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn


0;2
bằng 2015.
Bài 66. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol






   
.
Bài 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
 
2
1
: 2
2
P y x mx m
  
và đường thẳng
: 1
d y x m
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
2
m

.
2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d đi qua điểm cố định của (P) ?
3. Tìm tất cả các giá trị m sao cho parabol (P) có trục đối xứng cách gốc tọa độ một khoảng bằng 9.
4. Tìm m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
5. Trong trường hợp (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để tam giác IAB có diện tích
bằng 4 (với I là đỉnh của parabol).
CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 5 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
10

Bài 68. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol



   



Bài 69. Cho hàm số
2 2
2 4 5 4
y x ax a a
    
; có đồ thị (P); a là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
a

.
2. Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất.
3. Tìm a để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm M và N thỏa mãn nằm khác phía đối với trục tung.
4. Xác định a để đường thẳng :
y a
 
cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho đỉnh của (P) cùng
hai điểm A, B lập thành tam giác vuông cân.
Bài 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 2 3
P y x x
  

2
: 4 5
P y x x
  
.
1. Tịnh tiến đồ thị (P) sang trái 1 đơn vị, sau đó xuống dưới 2 đơn vị ta được đồ thị (Q). Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị (Q).
2. Gọi A và B là hai giao điểm của (P) và trục hoành. Tìm m để đường thẳng


0
y m m
 
cắt parabol (P) tại
hai điểm C và D sao cho diện tích tứ giác ABCD có diện tích bằng 30.
3. Xét sự tương giao giữa parabol (P) và đồ thị (C) của hàm số
5
1
mx
y
x



. Tìm m để (P) cắt (C) tại đúng hai
điểm phân biệt.
4. Tìm trên parabol (P) các điểm M và N đối xứng với nhau qua điểm


5;0

. Tìm m để tứ giác tạo bởi bốn điểm A, B, C, D có diện tích bằng 10.
4. Định m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hiệu hoành độ bằng 1.
5. Với giá trị nào của m thì parabol (P) cắt đồ thị hàm số
3 2
2 2
y x mx x m
    
tại đúng một điểm ?
Bài 73. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4
P y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm trên đồ thị (P) các điểm M có tọa độ nguyên dương.
3. Tìm trên đồ thị (P) các điểm


;
N x y
có tọa độ thỏa mãn
3 3 1
1 3 2
y x
x y x

