A.I S
Chơng I : căn bậc hai - căn bậc ba
1/ Khái niệm căn bậc hai:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
+ Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng ký hiệu
là
a
và số âm là -
a
.
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết
00 =
.
+ Số a âm không có căn bậc hai, viết
a
với a < 0 không có nghĩa.
2/ Căn bậc hai số học: Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số
học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
+ Với hai số a và b không âm,
a
<
b
<=> a < b.
3/ Căn thức bậc hai:
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì
A
đợc gọi là căn thức bậc hai của

phải theo hớng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6
chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số
N
đi 1, 2, 3 chữ số sang trái (hoặc
sang phải) và sẽ đợc
N
cần tìm.
6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:
Với hai biểu thức A, B mà B

0 ta có:
BABA .
2
=
+ Với A

0 và B

0 thì
BA
BA
2
=
+ Với A < 0 và B

0 thì
BABA
2
=
+ Với các biểu thức A, B mà A.B


=


+ Với các biểu thức A, B, C mà A

0,B

0,A

B ta có:
BA
BAC
BA
C


=

)(
7/ Căn bậc ba:
+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3= a.
+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
+ Kí hiệu căn bậc ba của a là
3
a

2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x: f(x)) trên
mặt phẳng toạ độđợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)
3/ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của
biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá
trị x
1
, x
2

(a, b) mà x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
)
+ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị
của biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá
trị x
1
, x
2


(a, b) mà x
1
< x
2

0) và y = a

x + b

(a



0) song song với
nhau khi và chỉ khi a = a

, b

b

và trùng nhau khi và chỉ khi a = a

và b = b

.
* Hai đờng thẳng y = ax + b (a

0) và y = a

x + b

(a




nghiệm (x
0
; y
0
) của phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi một điểm có toạ độ(x
0
;
y
0
) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
y = ax + b
T

A O x
y
a > 0
y = ax + b
T

O
y
a < 0
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập
nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng ax + by = c, kí hiệu là đờng thẳng
(d).
2/ Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn là hệ phơng trình có dạng
(I)



trình của hệ để đợc một phơng trình mới. Phơng trình mới này cùng với một
trong hai phơng trình của hệ lập thành một hệ tơng đơng với hệ đã cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ
phơng trình mới rong đó có một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn
này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phơng trình với hệ số thích hợp (nếu cần)
sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau
hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới mà hệ số
của một trong hai ẩn bằng 0, tức là đợc một phơng trình một ẩn; giải phơng
trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc 1: Lập hệ phơng trình
- Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn số và các đại lợng đã biết.
- Lập hệ hai phơng trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải hệ phơng trình vừa lập đợc.
Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình
nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết
luận.
Chơng Iv:
Hàm số y = ax
2
(a

0). phơng trình bậc hai một ẩn
1/ Hàm số y = ax
2
(a

0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

2
1
+ Bằng cách biến đổi tơng đơng để đa (1) về dạng
2
2
2
4
4
2
a
acb
a
b
x

=






+
(2)
Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của ph-
ơng trình đã cho.
5/ Đặt

= b
2


+ Nếu

< 0 thì (1) vô nghiệm.
6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:
Nếu đặt b

=
2
b
và
'

= b
2
ac:
+ Nếu
'

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
a
b
''
+
; x
2
=

x
1
+ x
2
= -
a
b
; x
1
.x
2
=
a
c
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a + b + c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm x
1
= 1 và một nghiệm x
2
=
a
c
Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a


9/ Để giải toán bằng cách lập phơng trình ta tiến hành theo các
bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình:
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;
+ Lập phơng trình biểu thị tơng quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã
biết.
Bớc 2: Giải phơng trình vừa lập đợc.
Bớc 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đa ra đáp số.
Cạnh kề
Cạnh đối
Cạnh đối
Cạnh kề
B.HèNH HC
Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông
1/ Hệ thức về cạnh và đờng cao của tam giác vuông:
+ b
2
= ab

; c
2
= ac

+ h
2
= b

c


0
(

và

là hai góc
phụ nhau) thì:
sin

= cos

, cos

= sin

tg

= cotg

, cotg

= tg

cạnh kề cạnh đối


Cạnh huyền
A


1
; tg

=


cos
sin
; cotg

=


sin
cos s
;
+ 1 + tg
2


=

2
cos
1
; 1 + cotg
2


O
A
B
C
Định lý 3: Trong một đờng tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dât lớn hơn thì gần tâm hơn.
Dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
2/ Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
a) Đờng thẳng có thể cắt, tiếp xúc hoặc không cắt đờng tròn.
b) Tiếp tuyến của đờng tròn:
Định nghĩa:
Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng
thẳng chỉ có một điểm chung với đờng
tròn đó.
Các định lý về tiếp tuyến:
Định lý 1: Nếu một đờng thẳng a là
tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó
vuông góc với tiếp tuyến qua tiếp
điểm.
Định lý 2: Nếu một đờng thẳng a đi
qua một điểm của đờng tròn và vuông
góc với bán kính qua điểm đó thì đờng
thẳng ấy là tiếp tuyến của đờng tròn.
a
3/ Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng
tròn cắt nhau tại một điểm:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp

< R + r
Chú ý:
+ Đờng tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác
hay tam giác nội tiếp đờng tròn.
+ Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp
tam giác hay tam giác ngoại tiếp đờng tròn. Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là
giao điểm của ba đờng phân giác của tam giác.
+ Đờng tròn bàng tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam
giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia. Tâm của đờng tròn bàng tiếp
là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài với tia phân giác góc trong
còn lại.
+ Hai đờng tròn trong nhau không có tếp tuyến chung.
H
B
A
R
O

O
r
Hai đờng tròn (không trong nhau) có thể có nhiều tiếp tuyến chung.
Chơng III: Góc với đờng tròn
1/ Góc ở tâm. Cung và dây:
a) Định nghĩa:
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360
0
với số đo của cung nhỏ có
chung hai đầu mút vơíi cung lớn đó.

* Hệ quả: Trong một đờng tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì
bằng nhau.
+ Góc nộit iếp (nhỏ hơn 90
0
) có sđ bằng nửa sđ của góc ở tâm cùng chắn một
cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.
b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung:
* Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC
và dây AB
* Định lý. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung băng nửa số đo của cung
bị chắn.
sđ
2
1

=CAB
sđ AB
Hệ quả: Trong một đờng tròn góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc
nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng
B
. O
A
B
C
A

2
1

=DMB
(sđ BD sđAC)
A
B
C E
P
N
A
C
D
Q
D
Cung chứa góc: Quỹ tích các điểm
M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc

(0
0
<

< 180
0
) là hai cung chứa góc


dựng trên đoạn AB
3/ Tứ giác nội tiếp. Đờng tròn nội ngoại tiếp:
a) Tứ giác nội tiếp:


180
Rn
π
=
b) DiÖn tÝch h×nh trßn vµ qu¹t trßn.
• DiÖn tÝch h×nh trßn: S =
π
R
2
• DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R cung n
0
S =
360
2
nR
π
hay S =
2
R