TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
BÀI TẬP NHÓM
MÔN
ĐÁNH GIÁ DẠY HỌC TOÁN
ĐỀ TÀI
CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO
BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
NGUYỄN NGỌC THẮNG
HOÀNG CƯỜNG
NGUYỄN THỊ TUYẾT NHUNG
LÊ VĂN MINH TUẤN
NHÓM 7, TOÁN 4B, KHÓA 2007-201 1
HUẾ - 11/2010
CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO B LOOM
TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
Nhóm 7, Lớp Toán 4B
1 Nhận biết
1.1 Kiến thức và thông tin về giới hạn
• Trong phạm trù này, học sinh được đòi hỏi gợi ra định ng hĩa, ký hiệu khái
niệm của một sự kiện và chưa cầ n phải hiểu. Những câu hỏi đưa ra trong
mục này kiến thức học sinh đã được học.
• Những phạm trù chính của kiến thức:
– Kiến thức về thuật ngữ: Học sinh được yêu cầu phải nhận diện và làm
quen với ngôn ngữ toán học.
Ví d ụ: Cho dãy số (u
n
): u
n
=
sin n

2n
2
− n
.
Như vậy học sinh gi ải quyết được 3 bài toán trên th ì trước hết học sin h
cần ghi nhớ lại 3 quy tắc tìm giới hạn ở vô cực:
– Kiến th ức về cách thứ c và phương tiện sử dụng trong t rường hợp cụ
thể.
Ví dụ: Trong giới hạn thì sử dụng nhiều kí hiệu. Ví dụ: lim
n→+∞
u
n
; u
n
→ 0
khi n → +∞; lim
x→x
0
−
f(x) = L; lim
x→x
0
+
f(x) = L.
– Kiến thức về các q uy tắc và tổng quát hóa: Đi ều này đòi hỏi học sinh
gợi ra được các trừu tượng của toán học để mô tả. Kiến thức này chủ
yếu nằm ở phần định lý và những quy tắc toán học.
• Học xong phần giới hạn học sinh có thể:
– Phát biểu định nghĩa, định lý, quy tắc tìm giới hạn.
1

số cho bởi nhiều công thức trên từng khoảng, đoạn.
• Một số ví dụ:
Câu 1: Tìm giới hạn
a) lim
x→9
3 −
√
x
9 − x
; b) lim
n→+∞
√
2n
4
− n
1 − 3n
2
; c) lim
x→−1
x
2
− x − 2
x
3
+ x
2
; d) lim
x→1
−
√

• Biểu thị bằng hình học giới hạn của một dãy số đơn giản.
Ví dụ 2.1. Định nghĩa về giới hạn của hàm số tại vô cực.
Giả sử hàm số f xác định trên (a; +∞). Ta nói r ằng hàm số f có giới hạn là số
thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (x
n
) trong khoảng (a; +∞) (tức là
x
n
> a với mọi n) mà lim x
n
= +∞ ta đều có lim f(x
n
) = L.
Phân tích. Học sinh đọc định nghĩa trên, có thể dựa vào từng ký hiệu để diễn
đạt lại như sau:
lim
x→+∞
f(x) = L ⇔ ∀ (x
n
)
n
⊂ (a, +∞), lim
n→+∞
x
n
= +∞ ⇒ lim
n→+∞
f(x
n
) = L.

1/2
y
x
EFGHIJ
3
2.2 Giải thích
Học sinh phải xác định và hiểu các ý tưởng được trình bày và các mối quan h ệ
của các dữ ki ện trong vấn đề giới hạn. Từ việc phán xét c ác dữ kiện quan trọng,
học sinh sẽ tổ chức lại các kiến thức thành một tổng thể để nhận ra được nội
dung của vấn đề.
Ví dụ trong phạm vi giải thích, cuối kỳ học này họ c sinh có khả năng:
• Đánh giá tính đúng sai của các bài t oán tìm giới hạn.
• Từ biểu diễn hình học, đồ thị có thể suy ra được giới hạn của một hàm số.
• Từ một số sơ đồ, hình vẽ, chỉ ra được giới hạn của dãy số nào.
Ví dụ 2.3. Tìm giới hạn lim
x→0
1
x
.
a) +∞; b) −∞; c) 0; d ) Không có giới hạn.
Phân tích. Gặp bài toán này, học sinh lúc đầu sẽ cho rằng lim
x→0
1
x
= ∞ . Nhưng
sẽ không biết giới hạn đó bằng +∞ hay −∞ (theo các đánh giá đưa ra). Từ đó
học sinh sẽ suy nghĩ và tìm lim
x→0
+
1

+
1
|x|
= +∞.
Phân tích. Nhìn vào đồ thị, h ọc sinh nhận thấy đồ thị đối xứng qua Oy nên
hàm số trên là hàm chẵn, học sinh sẽ loại phương án a), b). Xét khi x → 0
+
và
x → 0
−
thì y → ∞. Do vậy phương án đúng là c).
2.3 Ngoại suy
Là khả năng học sinh ngoại suy hay suy rộng hướng vượt ra các dữ liệu. Trong
phạm trù này, học sinh cần nhận thức được giới hạn của vấn đề cần mở rộng. Đối
với các mở rộng, học sinh cần đưa ra những ứng dụng và tác động cụ thể của nó.
Ví dụ về phép ngoại suy:
• Điều kiện tồn tại giới hạn của hàm số.
• Từ biểu diễn hình học có thể suy ra được giới hạn của dãy số nào.
Ví dụ 2.5. lim
x→−∞
x
k
bằng
a) −∞; b) + ∞; c) −∞ nếu k lẻ, +∞ nếu k chẵn; d) Không tồn tại giới hạn.
Phân tích. Học sinh sẽ chú ý tới khi x → −∞ thì x
k
dần tới giá trị nào. Có thể
là −∞, +∞ tùy theo giá trị của k. Nếu k chẵn thì x
k
→ +∞ khi x → −∞, k lẻ

x
2
− 5x + 6
không tồn tại, nên ta
chọn c).
3 Vận dụng
Phạm trù này chỉ việc sử dụng các ý tưởng, quy tắc hay phương pháp chung để
giải quyết những tình huống mới. Các câu hỏi đưa ra yêu cầu học sinh phải áp
dụng các khái niệm, quy tắc về giới hạn vào c ác tình huống không quen thuộc,
có nghĩa là phải áp d ụng kiến thức và hiểu các kỹ năng vào các tình huống mới
hoặc những tình huống được trình b ày theo một dạng mới. Cuối thao tác này,
học sinh có thể:
5
• Áp dụng công thức tính tổng của cấp số n hân lùi vô hạn.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn u
1
, u
1
q, u
1
q
2
, . . . , u
1
q
n
, . . . có công bội q với
|q| < 1. Khi đó
S = u
1

100
)
2
+ . . . =
53
100
.
1
1 −
1
100
=
53
99
.
(Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u
1
=
53
100
,
công bội q =
1
100
.)
• Áp dụng các định nghĩa của hàm số liên tục, nhận xét 1), 2), định lý 1
(SGK) để chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một nửa khoảng.
Ví dụ 3.2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
f(x) =


−
(x − 1)(x − 2
x(x − 2)
= lim
x→2
−
x − 1
x
=
1
2
,
f(2) = 2m + m + 1 = 3m + 1.
Hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
lim
x→2
−
f(x) = lim
x→2
+
f(x) = f(2) ⇔ 3m + 1 =
1
2
⇔ m = −
1
6
.
Vậy m = −
1
6

−
ϕ(d) và lim
d→+∞
ϕ(d). Giải thích ý nghĩa của các kết
quả tìm được.
Hướng dẫn.
a) Từ hệ thức
1
d
+
1
d

=
1
f
suy ra d

= ϕ(d) =
fd
d − f
.
b)
lim
d→f
+
ϕ(d) = lim
d→f
+
fd

d→+∞
fd
d − f
= lim
d→+∞
f
1 −
f
d
= f.
Kết quả này nghĩa là: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh
của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F

và vuông
góc với trục chính).
7
F
F

O
4 Những khả năng bậc cao
Đây là phạm trù rộng lớn bao gồm: Phân tích, tổng hợp và đán h giá.
• Phân tích: Là bước khởi đầu của quy t ắc g iải quyết vấn đề hay đưa ra những
phán xét dựa trên lời giải, việc phân tích thường rất quan trọng, thường có
dạng:
– Chia nhỏ thông tin sau đó tổ chức lại theo các mối qua n hệ tron g một
bài toán.
– Phân biệt các sự kiện từ giả thiết và tìm các giả thiế t cần thiết để minh
chứng những quy tắc nào đó.
– Kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và

II. lim
x→2
x − 2

(x − 2)(x + 3)
= lim
x→2
√
x − 2
√
x + 3
III. lim
x→2
√
x − 2
√
x + 3
= 0.
Sai lầm của học sinh đó ở bướ c nào?
a) I; b) II; c) III; d) Không phải những bước trên.
8
Phân tích. Học sinh lần lượt tìm các lỗi sai trong cá c phương án. Rõ ràng, các
phép biến đổi trong các phương án hoàn toàn chính xác. Vì vậy ta chọn phươ ng
án d), yêu cầu họ c sinh chú ý đến tập xác định của hàm số trong phép lấy giới
hạn.
Tài liệu
[1] Nguyễn Đăng Minh Phúc, Đánh giá trong giáo dục Toán (2 010).
[2] Đoàn Quỳnh, Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
[3] Đoàn Quỳnh, Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Sách giáo viên.
9