Chương 1
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình chuyển động của chất điểm
( )
r r t=
r r
hoặc
( ) ( ) ( )
; ;x x t y y t z z t= = =
2. Vận tốc
- Véc tơ vận tốc của chất điểm trong toạ độ Descartes
dr dx dy dz
v i j k
dt dt dt dt
= = + +
r
r
r r
r
- Vận tốc trong toạ độ cong
0
lim
t
s ds
v
t dt
∆ →
∆
= =
∆

a
R
=
là gia tốc pháp tuyến với R là bán kính cong
của quỹ đạo.
4. Chuyển động tròn
- Vận tốc góc:
d
dt
θ
ω
=
- Gia tốc góc:
2
2
d d
dt dt
ω θ
β
= =
5. Tổng hợp vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến
- Tổng hợp vận tốc:
13 12 23
v v v= +
r r r
- Tổng hợp gia tốc:
13 12 23
a a a= +
r r r
BÀI TẬP VÍ DỤ

2
8
x t
y t
v x
v y t
′
= =


′
= = −


2 2 2
4 64
x y
v v v t⇒ = + = +
Thay
2 st
=
ta được:
260 16,12v
=
;
m/s.
Ví dụ 2
Từ điểm O trên mặt đất một chất điểm được ném lên với vận tốc ban đầu
0
v

g
y x tg x
v c
α
α
= − +
(3)
b. Bán kính cong của quỹ đạo:
A
N
H
O
y
x
n
a g=
r r
n
a
r
t
a
r
a g=
r r
0
v
r
x
v

= =
- Tại điểm cao nhất A:
n
a g=
,
0
cos
x
v v v
α
= =
(do
0
y
v
=
)
2 22 2
0
os
A
n n
v c
v v
R
a a g
α
= = =
Chương 2
ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

=
, với
R
là bán kính cong của quỹ đạo
4) Định lí về động lượng
Định lí 1:
dK
F
dt
=
r
r
;
K mv=
r
r
là véc tơ động lượng của chất điểm.
Định lí 2:
1
2
2 1
t
t
K K K Fdt∆ = − =
∫
r r r r

5) Biểu thức lực ma sát trượt (khô)

ms

Với
2
I mr
=
là mô menquán tính của chất điểm đối với gốc O
7) Định luật Niutơn áp dụng cho chất điểm trong hệ qui chiếu phi quán tính
Trong hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến so với hệ qui chiếu quán tính O với gia tốc
A
ur
qt
ma F F
′
= +
ur ur uur
Với
a
′
ur
là gia tốc chất điểm trong hệ O
’
;
F
ur
ngoại lực tác dụng lên chất điểm;
qt
F mA= −
uur ur
là
lực quán tính đặt lên chất điểm.
BÀI TẬP VÍ DỤ

A
T
r
A
P
r
N
r
ms
F
r
B
c. Nếu thay đổi vị trí vật A và
B cho nhau thì lực căng của
dây sẽ bằng bao nhiêu. Xem
hệ số ma sát giữa vật và bàn
vẫn như cũ.
Lời giải
a. Xác định gia tốc của hệ
- Theo định luật II Newton
ta có
A A ms A A
P N T F m a+ + + =
r r r r
r
(1)
B B B B
P T m a
+ =
r r

A B A B A B
P Fms P kP m km
a g
m m m m m m
− − −
= = =
+ + +
−
= =
+
b. Tính lực căng của dây, lực nén lên trục ròng rọc
- Để xác định lực căng T, thay a vào (4) ta có:
( ) 0,3(10 5) 1,5
B B B B
T T P m a m g a
= = − = − = − =
N
- Ròng rọc chịu hai lực căng T và phản lực của trục ròng rọc, như vậy ta thấy lực nén lên
trục ròng rọc chính là hợp lực của hai lực căng T, do đó ta có lực nén lên trục ròng rọc:
2 1,5 2Q T= =
N
c. Thay đổi vị trí vật A và B, ta cũng tính tương tự như trên và sẽ tìm được những biểu thức về
gia tốc của hệ và lực căng T của dây tương tự như phần trên, chỉ khác là thay
A
m
bằng
B
m
và
thay

giữa vật
và mặt
dốc
0,2k
=
.
Lấy
9,8g =
m
/s
2
.
a. Với
giá trị nào của α vật sẽ nằm yên mà không trượt.
b. Cho góc
0
30
α
=
; hãy tìm thời gian vật trượt xuống hết đoạn dốc và vận tốc của vật ở chân
dốc.
Lời giải
a. Xác định giá trị của
α
để vật nằm cân bằng
- Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Khi vật nằm cân bằng ta có:
0
msn
P N F
+ + =

α α α α
⇔ ≤ ⇒ ≤ = ⇒ ≤
- Vậy để vật nằm yên trên mặt dốc thì
0
11
α
≤
.
b. Tính thời gian trượt và vận tốc ở chân dốc khi
0
30
α
=
- Với
0
30
=
α
, vật sẽ trượt trên mặt dốc, ta có:
ms
P N F ma+ + =
r r r
r
(4)
- Chiếu (4) lên Ox, Oy
sin
ms
P F ma
α
− =

m/s
Ví dụ 3
Một chất điểm có khối lượng m được ném lên từ một điểm O trên mặt đất, với vận tốc ban
đầu v
0
theo hướng nghiêng một góc α với mặt phẳng ngang. Xác định mô men động lượng của
chất điểm đối với điểm O, tại thời điểm chất điểm đạt độ cao cực đại. (áp dụng với
0
0
100 ; =30 ; v 25m sm g
α
= =
).
r
ox
v
r
oy
v
r
O
y
x
x
A
A
v
r
max
h

0 1
sin
sin 0
y
v
v v gt t t
g
α
α
⇔ = − = → = =
- Thay vào phương trình chuyển động ta được
2
0
max 1
sin
( )
2
v
h y t
g
α
= =
- Mômen động lượng của chất điểm tại A đối với O:
A A
L OA mv r mv= ∧ = ∧
uuur
r
r r r
sin( , )
A A

α α α
α
= = =
- Thay số ta được
28,18L =
kgm
2
/s
Ví dụ 4
Một vật khối lượng m đứng yên ở đỉnh một cái nêm nhờ ma sát. Tìm thời gian vật trượt hết
nêm khi cho nêm chuyển động nhanh dần đều sang trái với gia tốc là
0
a
. Hệ số ma sát giữa mặt
nêm và vật m là k, chiều dài mặt nêm là
l
, góc nghiêng là
α
và gia tốc
0
cota g g
α
<
.
Lời giải
α
0
a
r
P

ur
là gia tốc của vật m trong hệ quy chiếu gắn với nêm
- Chiếu (1) lên hướng chuyển động của vật:
sin os
ms qt
ma P F F c
α α
′
= − +
(2)
- Chiếu (1) lên hướng vuông góc với hướng chuyển động của vật và chọn chiều dương
hướng lên:
0 cos sin
qt
P N F
α α
= − + +
(3)
- Từ (2) và (3) suy ra gia tốc:
( ) ( )
0
sin cos cos sina g k a k
α α α α
′
= − + +
- Để tìm thời gian vật trượt hết nêm, áp dụng phương trình:
2
1
2
l a t

m M G 0
=
=
∑
uuuuur
r
- Toạ độ khối tâm G trong hệ toạ độ Descartes
n
G i i
i 1
1
r m r
m
=
=
∑
r r
; với
n
i
i 1
m m
=
=
∑
- Vận tốc khối tâm
n n
G i
G i i i
i 1 i 1

- Động lượng của một hệ chất điểm
n n
i i i
i 1 i 1
p p m v
= =
= =
∑ ∑
r r
r
- Định luật bảo toàn động lượng: Tổng động lượng của một hệ cô lập được bảo toàn:
p const
=
uuuuur
r
- Bảo toàn động lượng theo phương:
x x
F 0 p const= → =
- Công thức Xiôncôpxki cho vận tốc tên lửa
0
m
v u ln
m
 
=
 ÷
 
3. Chuyển động của vật rắn
- Mômen lực (tiếp tuyến)
t

- Quả cầu đặc:
2
2
I mR
5
=
- Định lý Huyghen - Stener:
2
0
I I md
= +
5. Mômen động lượng
- Mômen động lượng của một hệ chất điểm
n n
i i i
i 1 i 1
L L r mv
= =
= = ∧
∑ ∑
r r
r
r
- Mômen động lượng của vật rắn quay quanh trục cố định
L I
ω
=
r
r
- Định lý về mômen động lượng:

m2
m1
m2
m1
2
P
r
2
T
r
1
T
r
O
thẳng đứng. Hãy tìm gia tốc
của m
2
và sức căng của dây.
Bỏ qua sức cản không khí, bỏ
qua ma sát ở trục quay của
hình trụ, lấy
g 10
=
m/s
2
.
Lời giải
- Chuyển động của hệ bao
gồm chuyển động tịnh tiến
của m

;
1 2
T T T
= =
;
2
1
1
I m R
2
=
(5)
- Kết hợp (5) với phương trình (3), (4) ta được gia tốc chuyển động của m
2
và sức căng của
dây:
2
2
1 2
2m 2.0,5
a g 10 2,5m s
m 2m 3 2.0,5
/= = =
+ +
1
1 3.2,5
T m a 3,75N
2 2
= = =
Chương 4

là góc hợp bởi lực
F
r
và phương chuyển dời
S
r
.
2. Công suất của lực (hay của máy)
dA
P Fv
dt
= =
r
r
v
r
là véc tơ vận tốc của điểm đặt lực.
3. Động năng của chất điểm
2
2
d
mv
W =

Định lý động năng
2 1d d d
W W W A∆ = − =
4. Thế năng của chất điểm trong trọng trường đều
t
W mgh=

kW.
b. Công suất cực đại ấy là
1P
′
=
kW. Bỏ qua mọi ma sát.
Lời giải
a. Theo giả thiết
3
max
10F
=
N, suy ra gia tốc cực đại:
v(m/s)
O
1
5
1
3
t(s)
2
ax
ax
1 m s
m
m
m
F
a = =


1
1
1
v
t
a
= =
s. Sau giai
đoạn chuyển động nhanh dần đều này, để vận tốc tiếp tục tăng thì
P
F
v
′
=
phải giảm, chuyển động là nhanh dần không đều, vận tốc
tăng chậm hơn giai đoạn trước. Công
A
của động cơ chuyển thành độ tăng động năng của xe
trong thời gian t
2
để đưa vận tốc từ
1
1 m/sv =
lên
2
3 m/sv u= =
.
( )
2 2
2 2 1

( )v t
trong trường hợp
1P
′
=
kW.
Chương 8
NGUYÊN LÝ THỨ NHẤT NHIỆT ĐỘNG HỌC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Nguyên lý thứ nhất nhiệt động học
= U A Q
∆ +
2 1
U U U∆ = −
là độ biến thiên nội năng của hệ
A
và
Q
là công và nhiệt mà hệ nhận được.
- Dưới dạng vi phân:
= A + QdU
δ δ
2. Công của áp lực trong quá trình cân bằng
2
1
= −
∫
V
V
A pdV

;
8,31
J
R
molK
=

2
m i
U Q R T
µ
∆ = = ∆
5. Quá trình đẳng áp với khí lý tưởng
( )
2 1
A p V V p V= − − = − ∆
P
m
Q C T
µ
= ∆
2
2
P
i
C R
+
=
2
m i

Tp const
γ
γ
−
=
- Hệ số Poát xông:
2

p
V
C
i
C i
γ
+
= =
- Công:
1
2 2 1 1 1 1
2
1
1 1
p V pV m RT V
A
V
γ
γ µ γ
−
 
 

U A∆ =
BÀI TẬP VÍ DỤ
Xét quá trình dãn một khối khí lí tưởng từ trạng thái
( )
1 1 1
, ,p V T
đến trạng thái
( )
2 2 2
, ,p V T
.
Trong quá trính biến đổi đó áp suất và thể tích của khí biến thiên theo qui luật

k
pV const=
với
k là một hằng số dương. Hỏi với những giá trị nào của k thì:
a. Khối khí nhận nhiệt và nóng lên.
b. Khối khí nhận nhiệt và bị lạnh đi.
c. Khối khí toả nhiệt.
Lời giải
- Độ biến thiên nội năng của khối khí trong quá trình dãn:
( )
2 1
1
V
nR
U nC T T T
γ
∆ = ∆ = −

γ
γ
−
= ∆ − = −
− −
- Độ biến thiên nhiệt độ trong quá trình dãn: Theo giả thiết

k
pV const=

1

k
TV const
−
⇒ =
.
Trong quá trình dãn thể tích tăng, vì vậy:
+ Nếu
1k >
nhiệt độ giảm
2 1
0T T T
∆ = − <
+ Nếu
1k <
nhiệt độ tăng
2 1
0T T T∆ = − >
- Bảng xét dấu

−

0
+ + +
Q
+ II +
0

−
- Kết luận:
a.
1k
<
thì
0 T>0Q ,
> ∆
: khối khí nhận nhiệt và nóng lên.
b.
1 k
γ
< <
thì
0 T<0Q ,
> ∆
: khối khí nhận nhiệt và lạnh đi.
c.
k
γ
>
thì

T
T
η
= −
3. Hệ số làm lạnh của máy làm lạnh
2 2
'
1 2
Q Q
A Q Q
ε
= =
−
- Trong đó
A
là công tiêu tốn trong một chu trình làm lạnh,
2
Q
là nhiệt mà tác nhân nhận
từ nguồn lạnh trong chu trình đó,
'
1
Q
là nhiệt mà tác nhân nhả cho nguồn nóng trong một chu
trình.
- Với máy làm lạnh làm việc theo chu trình Cácnô ngược:
2
1 2
T
T T

ln ln
V p
m p V
S C C
p V
 
∆ = +
 
 
µ
5. Nguyên lí tăng Entropi trong một hệ cô lập
0S∆ ≥
BÀI TẬP VÍ DỤ: Tính hiệu suất của máy lạnh dùng không khí
bộ trao đổi nhiệt
A
D
C
B
pA
T2
bộ nén khí
Mục đích của
máy làm lạnh là
duy trì nhiệt độ
trong phòng (
2
T
)
thấp hơn nhiệt độ
bên ngoài (

nhiệt ở áp suất
không đổi
B
p
. Khí
toả nhiệt ra môi
trường ngoài, nhiệt
độ giảm đến
1
T
.
- Tiếp theo khí
được dãn đoạn
bộ dãn khí
pB
pA
(D) TD
(B) TB
(C) T1
V
(A) T2
p
O
nhiệt trong bộ dãn khí tới áp suất
A
p
, nhiệt độ khi đó
D
T
thấp hơn nhiệt độ trong phòng (

- Nhiệt toả ra môi trường trong quá trình đắng áp
B C→
:
( )
'
1 1p B
Q nC T T= −
- Hiệu suất:
2
1
1
1 2
2
2
1 1
1
1
'
'
B
D
Q
T T
Q
Q Q
T T
Q
ε
= = =
−

=
−

⇒ = =

−
=


- Từ đó ta có:
1
1
1
D
T
T
ε
=
−
hoặc
1
1
1
B
A
p
p
γ
γ
ε

2 2
CC Fl
. Phẩm
chất của các máy này cao hơn so với máy mà ta nghiên cứu.