Chương 3
Trạng thái ứng suất- Các thuyết bền

3.1. Tóm tắt lý thuyết
3.1.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
- Nội lực: phân bố trên mặt cắt thuộc vật thể chịu lực.
- Ứng lực: Hợp lực của nội lực trên mặt cắt ngang.
- Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt
- Trạng thái ứng suất: tại một điểm
- Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả những thành
phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đó.
- Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm: tách phân tố lập phương vô
cùng bé chứa điểm đang xét, biểu diễn các thành phần ứng suất trên tất cả các
mặt vuông góc với ba trục toạ độ x, y, z. Trên mỗi mặt ứng suất toàn phần có
phương, chiều bất kỳ được phân tích thành ba thành phần: 1 thành phần ứng suất
pháp vuông góc với mặt cắt và 2 thành phần ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt.
Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng
suất
x
y
z
σ
x
τ
xy
τ
xz
σ

⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(3.1)
Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: trạng thái ứng suất tại một điểm
hoàn toàn xác định nếu biết được ten-xơ ứng suất
T
σ
tại điểm đó.
.1.2. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính
3
a) Mặt chính: Là mặt không có tác dụng của ứng suất tiếp.
b) Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt chính.
c) Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính.
d) Qui ước gọi tên các ứng suất chính: Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh
rằng: tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính vuông góc với nhau với ba ứng suất
chính tương ứng ký hiệu là
1
σ
,
2
σ
,
3
σ

α

Qui ước dấu (như hình vẽ dưới đây):
α
σ
u
τ
uv
x
y
σ
x
τ
xy
σ
y
σ
y
σ
x
τ
xy
τ
yx
τ
yx
u

- Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố
- Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều kim

2
1,2(3)
22
xy
xy xy
max, min
σσ σσ
σ
σ
+−
⎛⎞
== ± +
⎜⎟
⎝⎠
τ
(3.4)
• Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với nhau

2
2
xy
x
y
tg
τ
α
σ
σ
=−
−

−
⎝⎠
(3.5)
• Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính
góc 45
0

2
2
2
xy
xy
max,min
σσ
τ
τ
−
⎛⎞
=± +
⎜⎟
⎝⎠
(3.6)
• Bất biến của trạng thái ứng suất phẳng: tổng các ứng suất pháp trên
hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi
xyuv
const
σ
σσσ
+=+=
(3.7)

zzx
E
εσμσσ
⎡⎤
=−+
⎣⎦
y

b. Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc
x
y
xy
G
τ
γ
= ;
x
z
xz
G
τ
γ
=
;
yz
yz
G
τ
γ
= (3.9)

k
σ
σ
≤

[
]
3
n
σ
σ
≤
(3.12)
+ Thuyết bền 2 (thuyết bền biến dạng dài lớn nhất)
(
)
[
]
21 23t
k
σ
σμσσ σ
=− + ≤
(3.13)
+ Thuyết bền 3 (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)
[
]
313t
k
σ

- Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu giòn
- Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu dẻo.
3.2. Đề bài tập tự giải
Bài 3.1: Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n
đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái
ứng suất phẳng p=3kN/cm
2
có phương
tạo thành một góc với mặt cắt.
Trên mặt vuông góc với mặt này chỉ có
ứng suất tiếp. Tính ứng suất pháp và
ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt
m-n góc 45
0
60
α
=
0
. Tính ứng suất pháp cực trị. τ
p
m
n
60
45
0
0


Biết vật liệu có E=2
ì
10
4
kN/cm
2
;

=0,3 ;

m
=2,81
ì
10
-4
;

n
=-2.81
ì
10
-4
;

u
=1,625
ì
10
-4
.

3
0

Bi 3.6: Trên các mặt cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng
có các thành phần ứng suất nh hình vẽ .
1.Xác định các ứng suất chính và các phơng chính tại điểm này
2.Tính biến dạng dài tơng đối theo các phơng chính.
Biết E=2x10
4
kN/cm
2
;

=0,3 .

=60
0
.
8kN/cm
2kN/cm
2
2
B
A
6kN/cm
2


Bi 3.7: Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng ngời ta đo đợc các biến
dạng dài tơng đối theo các phơng u, v, và t .Tính các giá trị ứng suất

t


Bi 3.8: Một thanh thép BC có mặt cắt hình vuông đợc ngàm chặt tại hai đầu và
chịu áp lực trên các mặt bên trên một đoạn có chiều dài b nh hình vẽ.
1. Xác định phản lực ngàm theo phơng trục thanh .
2. Xác định chuyển vị của tiết diện 1-1 theo phơng trục thanh .
Biết L=1 m ; E=10
4
kN/cm
2
;

=0,3; p=10 kN/cm
2
; diện tích tiết diện
thanh là a
ì
a=4
ì
4 cm
2
.
L
2L
L
2p
p
2p
BC

Túm tỏt lý thuyt v bi tp Trn Minh Tỳ - i hc Xõy dng
p
p
p
p
p
p
p
p
B
D
p
p
p
L L
C
4cm
2cm

Bài 3.11: Một khối trụ tròn A được nhét khít vào một lỗ khoét của một vật cứng
tuyệt đối B và chịu lực nén P=50 kN. Xác định áp lực nén vào vách lỗ
khoét, các biến dạng Δh và ΔV của khối đồng. Biết d=4cm; μ=0,31;
E=1,1×10
4
kN/cm
2
.
h
d
P