GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
VD1: Tính tích phân
1
2x x
0
dx
I
e e
=
-
ò
.
Giải :
Biến đổi I về dạng
1 1

-
+
ò
=
1
x
x
x
0
e
(e 1 )dx
e 1
-
- +
+
ò
=
x x 1
0
( e x ln e 1 )
-
- - + +
=
VD2 : Tính caùc tích phaân sau:
a/
2
2
3
1
x 2x

GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
b/ Ta có:
4
x
2
4
0
3
J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e.
2
 
= − = − − − = −
 ÷
 
VD3 : Tính tích phân:
1
5
2
0
x
I dx.
x 1
=
+
∫
Giải:
Từ
5 3 2 2
x x (x 1) x(x 1) x.= + − + +
Ta được:

− + + −
 
= + =
 ÷
+ + +
 
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
A B 0
1
A B .
A B 1
2
+ =

⇔ = = −

− =

Vậy:
/ 2
/ 2 / 2
0
0 0
sinx 1 cosx sinx 1 1
dx dx x ln(cosx sinx) .
cosx sinx 2 2(cosx sinx 2 2 4
π
π π
− π
   

π
π
∫
tg
2
x dx 4)
4
0
∫
| x-2 | dx
5)
4
2
∫

2
6 9x x− +
dx 6)
3
4−
∫
| x
2
-4 | dx 7)
3
4
4
π
π
∫

+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
1
, ln x)
x
thì đặt t = lnx.
+, Khi f(x) có chứa
n
u(x)
thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.
B. Ví dụ:
VD1 Tính tích phân
2

4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (t an x 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t t an x 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.

+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t t an u= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1

2
3t dt
3t dt 2xdx dx .
2x
= ⇒ =
Đổi cận:
x= 0 t = 1
x= 7 t 2
⇒


⇒ =


Ta có:
3 3 2
3 4
3
2
x dx x .3t dt
3t(t 1)dt 3(t t)dt.
2xt
1 x
= = − = −
+
Khi đó:
2
2
5 2
4

sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
; 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
.
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
; 6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫

x (1 x ) dx−
∫
; 11)
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
; 12).
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+

2
0
2
)sin2(
2sin

dx
x
x
; 17)

3
4
2sin
)ln(


dx
x
tgx
; 18)


4
0
8
)1(

dxxtg
; 19)

0
cos1
cos2sin

dx
x
xx
; 22)

+
2
0
sin
cos)cos(

xdxxe
x
;
23)

+
2
1
11
dx
x
x
; 24)

+

dttdxtx )()(
'

==
( trong ú
( )t

l hm s c la chn thớch hp: nh ca
( )t

nm trong tp xỏc nh ca f v
'
( )t

liờn tc.)
+) i cn :


=
=

=
=
t
t
ax
bx
+) Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c

[ ]

vi
[ ]
t 0;ẻ p
.
+,
2 2 n
(a x )+
thỡ t
x a . tan t=
vi
t ;
2 2
- pp
ổ ử
ữ
ỗ
ẻ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
, hoc
x a . cot t=
vi
( )
t 0;ẻ p
.
+,
( )
n

2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ũ
.
Gii
t
x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
p p
ộ ự
= - =ẻ ị
ờ ỳ
ở ỷ
5
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =ị ị
6 6
2
0 0
cos t cos t

ũ
.
Hng dn:
t
x 2 sin t=
S:
I = p
.
VD3:Tớnh tớch phõn
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
2
x t an t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
ổ ử
p p
ữ
ỗ
= - = +ẻ ị
ữ

3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ũ ũ
.
t
x 1 tan t+ =
S:
I
12
p
=

Lại có:
2 2 2 2
2 2
x dx sin t.costdt sin t.costdt sin tcostdt 1
(1 cos2t)dt.
cost cost 2
1 x 1 sin t
= = = = −
− −
Khi đó:
/ 4
/ 4
0
0
1 1 1 1
I (1 cos2t)dt t sin2t .
2 2 2 8 4
π
π
π
 
= − = − = −
 ÷
 
∫
VD6 : Tính tích phân :
2/ 3
2
2
dx



Khi đó:
/ 2 / 2
2
/ 2
/ 3
/ 3 / 3
2
1
costdt
sin t
dt t
1
6
1
sint 1
sin t
π π
π
π
π π
−
π
= = =
−
∫ ∫
VD7 : Tính tích phân :
0
a

− −
2
4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt.= − = − +
7
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Do đó:
/ 2
/ 2
/ 4
/ 4
1
I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a 1
2 4
π
π
π
π
π
   
= − + = − − = −
 ÷  ÷
   
∫
.
VD8 : Tính tích phân :
/ 3
2
/ 6
cosdx
I

(t 2)(t 3)
sin x 5sinx 6 t 5t 6
= =
− −
− + − +
A B [(A B)t 2A 3B]dt
dt
t 3 t 2 (t 2)(t 3)
+ − −
 
= + =
 ÷
− − − −
 
Từ đó:
A B 0 A 1
2A 3B 1 B 1
+ = =
 
⇔
 
− − = = −
 
Suy ra:
2
cosxdx 1 1
dt.
t 3 t 2
sin x 5sinx 6
 

dx
x x 1+ +
∫
2)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
3)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
4)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
5)

8)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
9)
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
10)
1
4
6
0
1
1
x
dx

dx
14)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
.
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
A. Phương pháp:
8
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
+,
d(a.x b)
d(a.x b) a.dx dx (a 0)
a
+
+ = =Û ¹
.
+,
x

= = +
+ +
.
+,
2 2
2 2
x.dx
d( x a )
x a
+ =
+
.
B. Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau:
1)
1
0
dx
2007.x 2008+
ò
; 2)
4
2
0
sin x.cos xdx;
p
ò
3)
e
x
2x

x
x−
∫
dx; 3)
1
2
3
0
2
1
x
x+
∫
dx ; 4)
2
1
0
x
xe dx
∫
; 5)
3
1
2
1
x
x e
−
−
∫

0
sin
x
x e
π
∫
dx ; 10)
1
x
0
dx
2e 3+
ò
.

IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(


b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Chú ý:
9
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
+)Đặt
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx=
không quá phức tạp.
+)Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
ò
phải tính được.
+)Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx

=
.
B. Ví dụ:
VD1:Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=

x
v
2
ì
ï
=
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4

î
î
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p
p
= = - = -Þ
ò ò
.
10
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
t
x
x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ỡ
ỡ
ù
ù

2
2
1
ln(1 x)
I dx.
x
+
=

Giaỷi:
ẹaởt:
2
1
u ln(1 x)
du dx
1 x
dx
1
dv
v
x
x

= +
=



+


0
(x x)e dx+

Giaỷi:
1
2 2x
0
(x x)e dx+

. ẹaởt
2
2x
u x x
dv e dx

= +


=



( )
2x
du 2x 1 dx
1
v e
2

= +




=



2x
du 2x 1dx
1
v e
2
= +



=


I
1
=
1 1
1
2x 2x 2 2x
0
0 0
1 1 1
e (2x 1) e dx (3e 1) e
2 2 2

3
0
5 x
1
x .e dx
−
−
∫
. Đặt t = –x
3
⇒ dt = –3x
2
dx ,
° x = 0 ⇒ t = 0 , x = –1 ⇒ t = 1
⇒ I =
0 1
t t
1
1 0
1 1 1
( t).e dt t.e d t I
3 3 3
 
− − = − = −
 
 
∫ ∫
. Với I
1
=

=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e dt e e 1− = − =
∫
. Vậy I =
1
1 1
I
3 3
− = −
VD7 : Tính tích phân:
/ 2
2
0
I (x 1)sinxdx.
π
= +
∫
Giải:
Đặt:
2
du 2xdx
u (x 1)
v cosx
dv sinxdx


dv cosxdx v sinx
= =
 
⇒
 
= =
 
Khi đó:
/ 2
/ 2 / 2
0 0
0
J xsinx sinxdx cosx 1
2 2
π
π π
π π
= − = + = −
∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
I 1 2 1 1.
2
π
 
= + − = π −
 ÷
 
VD8 : Tính tích phân:
1


=


=


⇒
2
t
du 3t dt
v e

=


=


⇒ I
1
=
1
1
t 3 t 2
2
0
0
e .t 3 e .t dt e 3I− = −
∫



⇒ I
2
=
1
1
t 2 t
3
0
0
e .t 2 e tdt e 2I
1
− = −
∫
. với I
3
=
1
t
0
e t dt
∫
.
Đặt
t
u t
dv e dt
=


) = 2e – 6I
2
= 2e – 6(e – 2I
3
) = 12I
3
– 4e = 12 – 4e
VD 9 : Tính tích phân:
2x 2
0
I e sin xdx.
π
=
∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
2x 2 2x
0 0
1
I e sin xdx e (1 cos2x)dx
2
π π
= = −
∫ ∫
(1)
• Xét tích phân:
2
2x 2x
1
0



⇒
 
=
=



Khi đó:
2
2x 2x 2x
2
0
0 0
1 e 1
I e cos2x e sin2xdx e sin2xdx
2 2 2
π
π π
π
= + = − +
∫ ∫
(3)
• Xét tích phân:
2x
2, 1
0
I e sin2xdx
π

0
I
1
I e sin e cos2xdx I .
2


= =

1 442 4 43
(4)
Thay (4) vaứo (3), ta ủửụùc:
2 2
2 2 2
e 1 e 1
I I I .
2 2 4 4

= =
(5)
Thay (2), (5) vaứo (1), ta ủửụùc:
2 2
2
1 e 1 e 1 1
I [ ( )] (e 1).
2 2 2 4 4 8


= =
I

2
0
x(2cos x 1)dx



4)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+

5)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+

6)
e
2
1
(xlnx) dx

7))
2
0


IV PHUNG PHP S DNG TNH CHT LIấN TC V TNH CHN L CA HM S
A Phng phỏp:
-Dng 1:Nu f(x) l v liờn tc trờn [-a;a] (a>0) thỡ :
a
a
f(x)dx 0

=

- Dng 2:Nu f(x) chn v liờn tc trờn [-a;a] (a>0) thỡ :
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx

=

.
- Dng 3:Nu f(x) liờn tc v chn trờn R thỡ
+
0
( )
( ) vụựi R vaứ a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a




1/ 2
1/ 2
1 x
I cosx.ln( )dx
1 x
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) = = 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân
I=
2
2
2
cos x.ln(x x 1)dx
p
- p
+ +
ò
VD3
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
2 2. cos 2x-
.
Tính tích phân
3
2
3
2
I f(x).dx

0
I ln(sin x 1 sin x)dx;
p
= + +
ò

b)
2008
2007
0
J sin x.dx
p
=
ò
.
VD6:
Tính các tích phân sau:
a)
1
4
1
2 1
x
x
dx
−
+
∫
b)
1

2n 1 2 n 2 n
sin x 1 cos x 1 t .
(sin x) (sin x) .sin x (1 t ) . sin x
+
= - = -
= = -
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t cos x dt sin xdx= = -Þ
x 0 t 1, x t 0
2
p
= = = =Þ Þ
15
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
0
2
2 2 2 2
0 1
I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt
p

theo biến t.
Chú ý:
2 2 2
2n 1 2 n 2 n
cos x sin x 1 t .
(cos x) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx
+
= = -
= = -
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t sin x dt cos xdx= =Þ
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cos xdx
p p

Chú ý:
2 2
1 cos 2x 1 cos 2x 1
cos x ; sin x ;sin x. cos x sin 2x
2 2 2
+ -
= = =
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1

è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Giải
Đặt
( )
2
2
x 1 x 2dt
t t g dt tg 1 dx dx
2 2 2
t 1
= = + =Þ Þ

ò
.
Vậy
I ln 2=
.
4. Dạng liên kết
Ví dụ 1. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-p

-
+
ò ò
( )
( )
( )
2
0
0
t
d
t
2 4
tg
t
2 2 2 4
cos
2 4
p
p
p
-
p p p
= = - = p
p
-
ò
.
Vậy
I = p

2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
= -Þ
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =

+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 3 . Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
.
Giải
17
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh

p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + =ị
x 0 t , x t
3 6 2
p p p
= = = =ị ị
2 2
2
3 3
1 dt 1 sin t dt
I J
2 sin t 2
sin t
p p
p p
+ = =ị
ũ ũ
( )
2 2
2
3 3

I J ln 3
J ln 3
4
16 4
ỡ
-
ù
ỡ
- = -
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ù
ị
ớ ớ
ù ù
-
+ =
ù ù
= -
ù ù
ợ
ù
ợ
.
Vy
3 1 3 1 1 3

ln(1 t gt)
I 1 t g t dt ln(1 t gt)dt
1 t g t
p p
+
= + = +ị
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - = -ị
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =ị ị
( )
0
4
0
4
I ln(1 t gt)dt ln 1 tg u du
4
p
p
p
ộ ự
= + = - + -ị

18
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Vậy
I ln 2
8
p
=
.
Ví dụ 5 . Tính tích phân
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -Þ
x t , x t
4 4 4 4
p p p p
= - = = = -Þ Þ
4 4

+ +
ò ò
4 4 4
0
4 4
1 2
cos tdt I I cos tdt cos t dt
2 2
p p p
p p
- -
= - = = =Þ
ò ò ò
.
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0>a
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
[ ]
; - aa
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1

ò
,
x t dx dt= - = -Þ
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - = = = -Þ Þ
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
= - = = + = - +Þ Þ
ò ò
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò
.
Vậy
2
I
3

( )
2
2
0
0
I 2 t cos tdt 2 t sin t cos t 2
p
p
= = + = -Þ p
ò
.
Vậy
I 2= -p
.
Câu 8 : : Tính tích phân :
1
2008
1
I x sinxdx
−
=
∫
Giải:
Viết lại I về dưới dạng:
0 1
2008 2008
1 0
I x sinxdx x sinxdx.
−
= +

∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
Câu 9 : : Tính tích phân :
/ 2
4
4 4
0
cos x
I dx.
cos x sin x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −

20
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

− + −
∫ ∫ ∫
Do đó:
/ 2 / 2
4 4
4 4
0 0
cos x sin x
2I dx dx I .
2 4
cos x sin x
π π
+ π π
= = = ⇒ =
+
∫ ∫
Câu1 0 : : Tính tích phân:
1/ 2
1/ 2
1 x
I cosx.ln dx.
1 x
−
−
 
=
 ÷
+
 
∫

x t dx dt= − ⇒ = −
Đổi cận:
1 1
x= - t =
2 2
x=0 t 0


⇒


⇒ =

Khi đó:
0 1/ 2 1/ 2
1/ 2 0 0
1 t 1 t 1 x
I cos( t).ln dt cost.ln dt cosx.ln dx
1 t 1 t 1 x
+ − −
     
= − − = − = −
 ÷
 ÷  ÷
− + +
 
   
∫ ∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.

1
x dx
J
2 1
−
=
+
∫
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt
21
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Đổi cận:
{
x= -1 t = 1
x=0 t 0
⇒
⇒ =
. Khi đó:
0 1 1
4 4 t 4 x
t t x
1 0 0
( t) dt t .2 .dt x .2 .dx
J
2 1 2 1 2 1
−
−
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫

2
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒


π

⇒ =

Khi đó:
n
0 / 2 / 2
n n
n n n n
n n
/ 2 0 0
cos t ( dt)
sin tdt sin x
2
I dx.
cos t sin t cos x sin x
cos t sin t

2
0
xsinxdx
I .
4 cos x
π
=
−
∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
2 2
0 0 0
xsinxdx xsinxdx
I xf(sinx)dx.
4 (1 sin x) 3 sin x
π π π
= = =
− − +
∫ ∫ ∫
Đặt
x t dx dt= π− ⇒ = −
Đổi cận:
{
x= t = 0
x=0 t
π ⇒
⇒ = π
Khi đó:
0

π
π π − π
⇔ = = =
+
−
∫
Câu1 4 : : Tính tích phân:
2
3
0
I x.cos xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt
x 2 t dx dt= π − ⇒ = −
Đổi cận:
{
x= 2 t = 0
x=0 t 2
π ⇒
⇒ = π
Khi đó:
0 2
3 3
2 0
I (2 t).cos (2 t)( dt) (2 t).cos tdt
π
π

 
=
 ÷
+
 
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒


π

⇒ =

Khi đó:
0 / 2
/ 2 0 0
1 sin t

/ 2
0
1 sinx
ln dx I 2I 0 I 0.
1 cosx
π
+
 
= − = − ⇔ = ⇔ =
 ÷
+
 
∫
Câu1 6 : : Tính tích phân:
/ 4
0
I ln(1 tgx)dx.
π
= +
∫
Giải:
23
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
ẹaởt
t x dx dt
4

= =
ẹoồi caọn:
x= 0 t =


= + = + =

ln2 ln2
2I I .
4 8

= =
II. TCH PHN CHA GI TR TUYT I
Phng phỏp gii toỏn
1. Dng 1 tớnh tớch phõn
b
a
I f(x) dx=
ũ
+) lp bng xột du f(x) : gi s bxd f(x) l
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+



2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ũ ũ
.
Vy
59
I
2
=
.

2 sin x 1-

-

0

+

( ) ( )
6 2
0
6
I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2
6
p p
p
p
= - - + - = - -
ò ò
.
Vậy
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b

- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +

b
a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -
trên đoạn [a; b].
25