Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
1

CHƯƠNG 8

Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Trong việc tính toán các giá trò ước lượng bình phương tối thiểu thông thường (OLS) cũng
như các giá trò ước lượng thích hợp cực đại (MLE), chúng ta đã thiết lập giả thuyết cho
rằng các số hạng sai số u
i
có phân phối giống nhau với trò trung bình bằng không và
phương sai
σ
2
như nhau (Xem Giả Thuyết 3.5 của Chương 3 đã phát biểu rằng Var(u
i
|x
t
=
σ
2
cho tất cả các t). Giả thuyết phương sai bằng nhau được hiểu là phương sai của sai số
không đổi (có nghóa là phân tán như nhau). Phương sai

thực có thể khác nhiều so với mức thu nhập trung bình. Hay nói cách khác, rất có khả
năng những hộ gia đình có thu nhập cao có mức độ phân tán xung quanh giá trò tiêu dùng
trung bình lớn hơn những hộ gia đình có thu nhập thấp. Trong trường hợp như thế, biểu
đồ phân tán giữa tiêu dùng và thu nhập sẽ chỉ ra những điểm của mẫu gần với đường hồi
qui hơn cho những hộ gia đình thu nhập thấp nhưng những điểm phân tán rộng hơn cho
những hộ gia đình thu nhập cao (xem Hình 8.1). Hiện tượng như vậy được gọi là phương
sai của sai số thay đổi (có nghóa là phân tán không như nhau). Hình 3.A.2 trong Phụ lục
Chương 3 có một đồ thò về phương sai của sai số thay đổi trong tổng thể.
Ví dụ thứ hai xét đến một mẫu ngẫu nhiên của những thành phố mà chúng ta sẽ liên
hệ mức độ tội phạm thường gặp của những thành phố đó với số lượng nguồn lực sẵn có
của từng thành phố trong việc chống tội phạm. Chúng ta có thể kỳ vọng rằng sự phân tán
của những điểm quan sát được có thể phân tán rộng hơn đối với những thành phố lớn hơn
khi so sánh với những thành phố nhỏ hơn. Ở đây một lần nữa giả thuyết về phương sai
của sai số không đổi có thể bò vi phạm.
Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi sử dụng dữ liệu nhóm thay vì sử
dụng dữ liệu cá nhân. Ví dụ, chúng ta có thể không có dữ liệu của từng công ty nhưng
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
2
thay vào đó chúng ta có thể sử dụng dữ liệu trung bình của ngành. Trong trường hợp này,
mô hình có thể là
t
Y =
α

Trong chương này, chúng ta nới lỏng giả thuyết phương sai của sai số có giá trò
không đổi và giả thuyết có phương sai của sai số thay đổi. Chính thức hơn, chúng ta hiệu
chỉnh Giả Thuyết 3.5 như sau:

GIẢ THUYẾT 3.5a

u
t

là một biến ngẫu nhiên với
E
(
u
t
|

về phương sai của sai số không đổi.

Thu nhập
Tiêu dùng
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
3
Phương sai của sai số thay đổi cũng có thể xuất hiện trong dữ liệu chuỗi thời gian.
Vấn đề này sẽ được thảo luận trong chương kế tiếp.

} VÍ DỤ 8.1
DATA3-11 cho biết mức lương hàng năm và số năm có bằng tiến só của 222 giáo sư từ
bảy trường đại học. Chúng ta thấy rằng mô hình lôgarít-wage là mô hình thích hợp đối
với mô hình tiền công (wages) và tiền lương (salaries). Đồ thò trong Hình 8.2 biểu diễn
lôgarít của tiền lương đối với số năm nhận được bằng tiến só tương ứng. Chúng ta lưu ý
độ rộng xung quanh quan hệ đường thẳng trung bình là không đồng dạng, dẫn đến vi
phạm giả thuyết thông thường về phương sai của sai số không đổi của các số hạng sai
số. Điều đáng chú ý ở đây là phương sai xung quanh quan hệ trung bình có điều kiện
mới đầu tăng khi số năm tăng nhưng sau đó giảm dần. Không có gì ngạc nhiên cả, bởi vì
mức lương hiện thời của các tiến só khá cạnh tranh trên thò trường việc làm và do vậy
chúng ta không thể mong đợi những chênh lệch cao về mức lương. Tuy nhiên, mức
lương của những giáo sư trong biên chế có thể khác nhau nhiều phụ thuộc vào năng lực
và uy tín của họ. Sau một số năm, mức lương tăng theo chiều hướng ổn đònh và do đó
phương sai có khả năng giảm bớt. Chúng ta sẽ đi sâu vào ví dụ này một cách chi tiết hơn

Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
4
thay đổi và cho ra những giá trò ước lượng tốt hơn? Những vấn đề này lần lượt sẽ được đề
cập ngay sau đây.

} 8.1 Các Kết Quả Của Việc Bỏ Qua Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Đầu tiên chúng ta nghiên cứu đến những quan hệ của việc sử dụng thủ tục OLS để ước
lượng các hệ số hồi qui khi có sự hiện diện phương sai của sai số thay đổi. Mô hình là

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+ … +
β
k
X
tk

X
t
) và không phụ thuộc vào Giả Thuyết
3.5 hay 3.5a. Do vậy, các tính chất của sự không thiên lệch và sự nhất quán không bò vi
phạm do việc bỏ qua hiện tượng phương sai của sai số thay đổi và sử dụng OLS để ước
lượng
α
và
β
. Tuy nhiên, trong khi chứng minh đònh lý Gauss-Markov, chúng ta đã sử
dụng giả thuyết cho rằng Var (
u
t
|x
t
) =
2
σ
nhằm làm cực tiểu phương sai của một kết hợp
tuyến tính giữa các giá trò
Y
. Bởi vì giả thuyết đó không còn đúng nữa, nên không thể
khẳng đònh rằng ước lượng OLS hiệu quả hơn. Điều này có nghóa là ước lượng OLS hiện
giờ là không hiệu quả. Có thể tìm một ước lượng tuyến tính không thiên lệch khác mà
có giá trò phương sai thấp hơn ước lượng OLS. Phần phụ lục của chương này minh họa
điều này đối với mô hình hồi qui tuyến tính đơn.

Tác Động Lên Các Kiểm Đònh Giả Thuyết

Có thể thấy rằng (xem Phụ Lục 8.A) các phương sai và đồng phương sai ước lượng của

b. Ước lượng OLS không còn là BLUE và sẽ không hiệu quả. Các dự báo cũng
sẽ không hiệu quả
c. Phương sai và đồng phương sai ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ thiên lệch
và không nhất quán, và do đó các kiểm đònh giả thuyết (tức là kiểm đònh
t
và
F
) không còn hiệu lực)

} 8.2 Kiểm Đònh Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Bởi vì chúng ta biết rằng phương sai của sai số thay đổi làm mất hiệu lực của các kết
quả kiểm đònh, nên ta sẽ mong muốn kiểm đònh một cách chính thức việc phương sai
của sai số thay đổi có hiện hữu hay không. Trong phần này, chúng ta giới thiệu các kiểm
đònh được sử dụng phổ biến nhất đối với phương sai của sai số thay đổi.
Tuy nhiên, trước khi đi vào thực hiện bất kỳ kiểm đònh chính thức nào, khá là hữu
ích khi kiểm tra những phần dư của mô hình bằng cái nhìn bề ngoài để có được một cảm
giác tự tìm xem phương sai của sai số thay đổi có hiện hữu hay không. Thực hiện việc
này bằng cách biểu diễn trên đồ thò bình phương của các phần dư có được từ việc áp
dụng OLS vào mô hình đang xem xét. Sử dụng bình phương các phần dư OLS bởi vì
trong một mô hình hồi qui, phần dư
t
u
)
là một giá trò ước lượng không thiên lệch của số
hạng sai số tổng thể
u
t
, ngay cả đối với sự hiện diện của phương sai của sai số thay đổi.
Do đó, một giá trò ước lượng dễ nhận thấy, mặc dù không hoàn hảo, của phương sai sai

theo từng biến này hoặc tốt hơn là vẽ chúng
theo
t
Y
)
, là giá trò thích hợp của biến phụ thuộc sử dụng giá trò ước lượng OLS. Tuy
nhiên, ta nên thấy rằng kỹ thuật đồ thò này chỉ
có tính gợi ý
về phương sai của sai số
thay đổi và không thay thế được kiểm đònh chính thức.

} VÍ DỤ 8.2
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
6
Sử dụng bộ dữ liệu DATA3-11 đã được đề cập trong Ví Dụ 8.1, chúng ta thu được mô
hình lôgarít bình phương sau đây (xem Phần Thực Hành Máy Tính 8.1 để kiểm tra lại
kết quả trong phần này):

ln (SALARY) = 3,809365 + 0,043853 YEARS – 6,273475e-04 YEARS
2

(92,15) (9,08) (-5,19)


Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
7
Kiểm Đònh Nhân Tử Larrange (LM) Đối Với Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi
Có một số kiểm đònh đối với phương sai của sai số thay đổi và chúng khác nhau về
nguyên tắc và năng lực kiểm đònh. Trong những kiểm đònh đó, phương pháp kiểm đònh
LM trở nên phổ biến trong những năm gần đây. Bởi vì kiểm đònh thống kê này dễ tính
toán và nó có thể bao quát được nhiều phương án. Trong phần này, chúng ta thảo luận
kiểm đònh LM đối với phương sai của sai số thay đổi theo ba phương án giả thuyết về
nguyên nhân gây ra phương sai của sai số thay đổi. Đặt mô hình là

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+
β
3
X
t3
+ … +
β

hệ số hồi qui để ước lượng, tức là,
n + k
tham số để ước lượng. Chỉ với
n
quan
sát, đây là nhiệm vụ không thực hiện được. Do đó chúng ta cần thiết phải đơn giản hóa
những giả thuyết về phương sai sai số. Ba phương án sau đây bao quát hầu hết các
trường hợp đã thảo luận trong lý thuyết:

2
t
σ
=
α
1
+
α
2
Z
t2
+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp

+
α
2
Z
t2
+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp
(8.2c)

điều này tương đương với

2
t
σ
= exp (
α
1
+
α
2
Z
t2

giả thuyết không
của phương sai của sai số thay đổi có
p
–
1 ràng buộc và được cho bởi
α
2
=
α
3
= … =
α
p
= 0. Theo
giả thuyết không
phương sai sẽ
không đổi, có nghóa là phương sai của sai số thay đổi không tồn tại. Lưu ý rằng trong tất
cả các biểu thức trên, chúng ta giả đònh rằng các biến đã biết
Z
chòu trách nhiệm đối với
phương sai của sai số thay đổi.
Bởi vì chúng ta không biết
σ
t
, nên chúng ta sử dụng giá trò ước lượng có được từ
việc áp dụng OLS vào Phương Trình (8.1). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng
2
ˆ
t
u

2
t
σ
). Các bước tiến hành kiểm đònh LM
như sau:
Bước 1 Hồi qui
Y
theo một số hạng không đổi,
X
2
,
X
3
, … , và
X
k
, và nhận được giá trò
ước lượng OLS của các hệ số
β
.
Bước 2 Tính toán phần dư
t
u
ˆ
=
Y
t
-
β
ˆ

Z
t3
,…,

và
Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính
là hồi qui phụ tương ứng với Phương Trình (8.2a).
Bước 3b Tính toán giá trò tuyệt đối và hồi qui
t
u
ˆ
theo một số hạng không đổi,
Z
t2
,

Z
t3
,…,

và
Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính

là
R
2

chưa hiệu chỉnh từ hồi qui này.
Bước 5 Tính giá trò
p
= Prob(
2
1−p
χ
>LM), đó là phần diện tích ở phía bên phải của LM
trong phân phối Chi bình phương với bậc tự do df là
p
– 1.
Bước 6 Bác bỏ
H
0
:
α
i

= 0 với (
i
= 2, 3, …,
p
) và kết luận rằng phương sai của sai số
thay đổi có ý nghóa nếu giá trò
p
nhỏ hơn mức ý nghóa. Hoặc là, tra bảng Chi

không phải là một kiểm đònh Wald. Harvey đưa ra một kiểm đònh tỉ lệ thích hợp (xem
Phụ Lục Chương 6 về kiểm đònh tỉ lệ thích hợp). Các kiểm đònh Breusch-Pagan và kiểm
đònh Godfrey kiến nghò một nửa tổng bình phương hồi qui (đònh nghóa trong Chương 3)
về hồi qui phụ là một kiểm đònh thống kê, mà nó có phân phối giống như
2
1−p
χ
. Như
Engle (1984) đã chỉ ra, bởi vì tất cả các kiểm đònh này là những kiểm đònh mẫu lớn, cho
nên tất cả kiểm đònh đề xuất bởi nhiều tác giả khác nhau đều tương đương về mặt thao
tác với kiểm đònh nhân tử Lagrange vừa được đề cập ở trên. Bởi vì phân phối chính xác
của những kiểm đònh thống kê này chưa được biết (đặc biệt là với cỡ mẫu nhỏ), do vậy
chúng khác nhau về năng lực của kiểm đònh. Kiểm đònh biết rõ nguyên nhân gây nên
phương sai của sai số thay đổi càng chính xác, thì năng lực của kiểm đònh đó càng cao.
Do kiểm đònh LM gần tương đương với những kiểm đònh khác (tức là, dành cho những
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
9
cỡ mẫu lớn), trò thống kê
nR
2
là thích hợp nhất và nó là kiểm đònh đề nghò được sử dụng.
Người đọc với những kiến thức về đại số ma trận được khuyến khích nghiên cứu chi tiết
hơn những vấn đề về kiểm đònh và ước lượng đối với sự hiện diện của phương sai của

t

(b) Glesjer:
t
σ
=
α
1
+
α
2
YEARS
t
+
α
3
2
YEARS
t

(c) Harvey-Godfrey: ln(
2
t
σ
) =
α
1
+
α
2

ước lượng là dấu âm
trong cả ba kiểm đònh, khẳng đònh rằng mẫu hình đồ thò của việc đầu tiên phương sai
tăng dần và sau đó giảm dần.

Kiểm Đònh Goldfeld-Quandt
Goldfeld và Quandt (1965) đưa ra một kiểm đònh khác dựa trên khái niệm cho rằng nếu
phương sai của sai số là như nhau cho tất cả các quan sát (tức là, nếu chúng có tính chất
phương sai của sai số không đổi), thì phương sai cho một phần của mẫu cũng sẽ tương tự
như phương sai cho một phần khác cũng của mẫu đó. Do vậy ta có thể kiểm đònh sự
bằng nhau giữa những phương sai của sai số bằng việc sử dụng một kiểm đònh F. Kiểm
đònh trở thành một tỉ số của hai phương sai mẫu. Chia mẫu của những quan sát thành ba
phần, và loại bỏ những quan sát ở giữa. Tiếp đến mô hình sẽ được ước lượng cho từng
cặp quan sát và tính toán phương sai phần dư. Những bước chính thức thực hiện kiểm
đònh
Goldfeld-Quandt
như sau:
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
10
}

Bảng 8.1 Kết Quả Riêng Phần Của Các Kiểm Đònh LM Trong Ví Dụ 8.3 Sử Dụng DATA3-
11


[Giá trò p thấp cho biết bởi vì khả năng bác bỏ một giả thuyết đúng là thấp, nên chúng ta có thể bác
bỏ một cách an toàn giả thuyết không về phương sai của sai số thay đổi và kết luận rằng có phương
sai của sai số thay đổi một cách ý nghóa. Tiếp đến là hồi qui phụ cho kiểm đònh Glesjer.]

Dependent variable: absuhat
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) Const 0.0312 0.0241 1.296 0.196278
2) YEARS 0.0144 0.0028 5.118 0.000001 ***
4) YRS2 -0.0002975 0.0000704 -4.227 0.000035 ***

Unadjuste R-squared 0.130 Adjusted R-squared 0.122
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 28.922794 = 0.000001

[Giá trò p thấp như vậy cho biết sự hiện hữu của phương sai của sai số thay đổi. Tiếp theo là hồi qui
phụ đối với kiểm đònh Harvey-Godfrey cũng với giá trò p thấp, cho biết sự hiện hữu của phương sai
của sai số thay đổi]

Dependent variable: lnusq
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) Const -6.5627 0.3592 -18.268 0.000000 ***
2) YEARS 0.2356 0.0420 5.614 0.000000 ***
4) YRS2 -0.0048 0.0011 -4.548 0.000009 ***

Unadjuste R-squared 0.159 Adjusted R-squared 0.151
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 35.302998 = 0.000000
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng

cả các quan sát ở phần giữa từ n
1
+ 1 đến n - n
2
. Số quan sát được loại bỏ là
tùy ý và thường thường là giữa một phần sáu hoặc một phần ba. Lưu ý rằng
n
1
và n
2
phải lớn hơn số hệ số được ước lượng
Bước 3
Ước lượng những hồi qui riêng biệt cho các quan sát từ 1 đến n
1
và từ n – n
2+ 1 đến n.
Bước 4
Thu được tổng bình phương sai số như sau:
ESS
1
=
∑
=
1
1
2
n

c
=
)/(
)/(
ˆ
ˆ
11
2
2
1
2
2
kn
kn
−
−
=
ESS
ESS
2
σ
σ

với k là số hệ số hồi qui bao gồm luôn cả số hạng hằng số. Theo giả thuyết
không về phương sai của sai số không đổi, giá trò F
c
tuân theo phân phối F
với bậc tự do df là n
2
– k và n

1
ˆ
σ
= 0,015416
2
2
ˆ
σ
= 0,050608 F
c
= 3,283