Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

245

BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI
I. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC
2
1 cos 2
sin ;
2
x
x
−
=

2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=
;
1
sin cos sin 2
2
x x x
=
;
2

tan ;
cos 3 3cos
x x
x
x x
− +
=
+

CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = −
(1)
Giải

( )
1 cos 6 1 cos 8 1 cos10 1 cos12
1
2 2 2 2
x x x x
− + − +
⇔ − = −

cos 6 cos8 cos10 cos12 2 cos 7 cos 2cos11 cos
x x x x x x x x
⇔ + = + ⇔ =

b.
Giải phương trình:
2 2 2 2
3
cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x x x x
+ + + =
(2)
Giải

a.

( )
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8
1 2
2 2 2 2
x x x x+ + + +
⇔ + + + =

(
)
(
)
cos 2 cos8 cos 4 cos 6 0 2 cos 5 cos 3 2 cos 5 cos 0
x x x x x x x x
⇔ + + + = ⇔ + =

(
)

cos 2 cos 6 cos 4
cos 4 0 2 cos 4 cos 2 cos 4 2 cos 4 0
2
x x x
x x x x x
+ +
⇔ + = ⇔ + + =

( )
(
)
2
cos 4 2 cos 4 2 cos 2 1 0 cos 4 4 cos 2 2 cos 2 1 0
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + − =

( )
cos 4 cos
cos 4 0
8 4
2
1 5
2
cos 2 cos 2 cos
4 5 5
4 2
1 5
cos 2 cos
cos 2
5 5


π π


− −
= = ± + π

=
 
 

»

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

246

Bài 3. a.
Giải phương trình:
2
4
cos cos
3
x
x =
(1)

b.
Giải phương trình:
2

+ = ⇔ + − = −

( )
(
)
3 2 2
4 cos 4 cos 3cos 3 0 cos 1 4 cos 3 0
t t t t t
⇔ − − + = ⇔ − − =

2
cos 1
cos 1
3
1
cos 2
cos
2
4
t t
t
t
= =
 


⇔ ⇔
=
=



= = ± + π



»

b.

( )
(
)
6 4
2 1 1 cos 3cos
5 5
x x
⇔ + + =
. Đặt
2
5
x
t =

Khi đó:
(
)
3 2
2 cos 3 3cos 2 2 cos 3cos 3 2cos 1
t t t t t
+ = ⇔ + − = −

t k

= =

= = π
= π




⇔ ⇔ ⇔ ∈
α

−

= ± + π

= = α
= = ±α + π




»

Bài 4.
Giải phương trình:
(
)
(

)
( )
2sin cos sin 2 cos 2 0
4 4 2
2
4 2
2sin cos sin 2 cos 2 0
4 4 2
x x x x
k
x
x x x x
 π π π
− − = − = ≠

π π
⇔ ≠ +

π π π

+ + = + = ≠


Để ý rằng:
(
)
(
)
(
)


4 2 2
2 cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 sin 4 0
2
k
x x x x x
π
⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

247

Bài 5.
Giải phương trình:
(
)
(
)
( )
4 4
7
sin cos cot cot 1
8 3 6
x x x
π π
+ = + −

Giải


π π π π
+ − = + ⋅ + =
nên
( )
(
)
(
)
2
4 4
7 1 cos 2 1 cos 2 7
1 sin cos
8 2 2 8
x x
x x
− +
⇔ + = ⇔ + =

( ) ( )
( )
2 2
2
7 7
1 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2
2 2
x x x
⇔ − + + = ⇔ + =

( )
1 cos 4 7

)
(
)
(
)
2 2
2
1 cos 2 9
1 1
1 cos 2 1 cos 2
2 2 2 2 2 8
x
x x
   
− π π
⇔ + − + + − − =
   
   

( ) ( ) ( )
2 2 2
9
1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2
2
x x x
⇔ − + + + − =

2 2
9
4 cos 2 sin 2 2cos 2 4 cos 2 1 0

4 4
2
1 cos 2 1 cos 2 17
1 cos 2
2 2 16
x x
x
− +
⇔ + =

( ) ( )
4 4
2
cos 2 1 cos 2 1 17 cos 2
x x x
⇔ + + − =

Đặt
cos 2
t x
=
. Khi đó phương trình
( ) ( )
4 4
2
1 1 17
t t t
⇔ + + − =

(

4
x x x x+ =b.
Giải phương trình:
3 3 3
cos cos 3 sin sin 3 cos 4
x x x x x
+ =
(2)
Giải

3
cos 3 3cos sin 3 3sin
cos cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 3
4 4
x x x x
x x x x x x
+ − +
+ = ⋅ + ⋅

( )
( )
2 2
3
1
cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin
4 4
x x x x x x

( )
( )
3 3
4 2 2
2 cos 2 cos 4 cos 4 cos 2
3
4 2 2
x x k
k
x x x x x k
x x k
= − + π

π
⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∈

= + π

»

Bài 9.
Giải phương trình:
3 3 3
1
cos .cos3 sin .sin 3 cos 4
4
x x x x x
− = +

Giải

Bài 10.
Giải phương trình:
( )
3 3
4sin .sin 3 4 sin .cos3 3 3 cos 4 3 1
x x x x x+ + =

Giải

VT (1)
( ) ( )
cos 3 3cos sin 3 sin 3 3sin cos 3 3 3 cos 4
x x x x x x x
= + + − + +

( )
3 sin 3 cos sin cos3 3 3 cos 4 3sin 4 3 3 cos 4
x x x x x x x
= + + = +

Khi đó
( )
3
1 1
1 sin 4 3 cos 4 1 sin 4 cos 4
2 2 2
x x x x
⇔ + = ⇔ + =

(

 
π ππ π
= +
+ = + π




»

Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

249

II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI
1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG

( )
( )
2 2
2
2
2 2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
sin 2 sin cos 1 cos 2 2 cos 1
cos 2 1 2 sin
sin 2 1 sin cos
x x x
x x x

1 tan
2 1
cot 1
tan , cos
cot 2
2 cot
1 1
x t
x
t x
x
t
x
t t
x
x x
x
x
t t


= =
=


+

−
 
−

x x x x x x
⇔ + = − ⇔ + =

(
)
( )
4 2
sin sin 1 0 sin 0x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = π ∈
»

Bài 2.
Giải phương trình:
cos 2 5sin 2 0
x x
+ + =
(1)
Giải

( )
(
)
( ) ( )
2 2
1 1 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0 2sin 1 sin 3 0
x x x x x x
⇔ − + + = ⇔ − − = ⇔ + − =
{
}
( )
5

1 cos 1 2 sin cos 2 sin cos 0
x x x x x
⇔ − + + + =

( ) ( ) ( )
2
1 cos sin cos 2 sin cos 0
x x x x x
 
⇔ − + + + =
 

(
)
(
)
(
)
1 cos sin cos sin cos 2 0
x x x x x
⇔ − + + + =

(
)
( )
1 cos 0 cos 1
2
sin cos 0 tg 1
2
4

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

250

Bài 4.
Giải phương trình:
4 6
cos cos 2 2 sin 0
x x x
− + =
(1)
Giải

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 6 2 2 2 4
1 cos 1 2sin 2sin 0 cos 1 cos 1 2sin 1 sin 0
x x x x x x x
⇔ − − + = ⇔ − + + + =
(
)
(
)

⇔ − − + =
(
)
2 cos 2 2 cos 2 .cos 0
x x x
⇔ − =

( )
[ ]
cos 0
2 cos 2 cos 3 cos 0
cos 1
cos 3 1
x
x x x
x
x
=


⇔ − + = ⇔
=




=


cos 0

(1)
( )
(
)
( ) ( )
2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
⇔ + + − = + −

( ) ( )
[
]
cos sin 1 cos sin cos sin 0
x x x x x x
⇔ + − − − =

a) Xét
( )
cos sin 0 tg 1
4
x x x x k k
−π
+ = ⇔ = − ⇔ = + π ∈
»

b) Xét
sin cos cos sin 1 0
x x x x
− − + =

2
t x x k k
π π
−
⇔ = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π

Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
( )
2 2
1 sin sin cos sin 2 cos 1
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −

Giải

( )
(
)
2
1 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin
2 2 2
x x
x x x x
π

(
)
(
)
2
2
sin sin 1 sin sin 1 0
2 2 2
x x x
x
 
⇔ − + + =
 
 
(
)
x k k⇔ = π ∈
»

Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

251

Bài 8.
Giải phương trình:
(
)
sin 4 cos 4 1 4 sin cos
x x x x
− = + −


Xét
( ) ( )
(
)
(
)
cos sin cos 2 sin 2 2 0 2 cos cos 2 2 0
4 4
x x x x x x
π π
+ − − = ⇔ − + − =

(
)
( )
cos 3 cos 2 cos 3 sin 2
2
x x x x
π
⇔ + + = ⇔ + − =

( )
2
sin 1 cos 0
sin 1
cos 3 1
cos 4 cos 3 1
x x
x

x
x+ =
(1)
Giải

Sử dụng công thức
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
với
tan
2
x
t =
, khi đó ta có
( )
(
)
(
)
(
)

2
21 11
tan 1 tan tan 0 tan 1 0 tan 1 2
2 2 2 2 4 2 2 2
x x x x x
x k
 
π
⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π
 
 

Bài 10.
Giải phương trình:
(
)
(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x
− + = +
(1)
Giải

( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2

Bài 11.
Giải phương trình:
(
)
1 3 tan 2sin 2 1
x x+ =

Giải

( )
( )
( )
2
2
2 tan
1 1 3 tan 2 1 3 tan 1 tan 4 tan
1 tan
x
x x x x
x
⇔ + = ⋅ ⇔ + + =
+

( )
(
)
2
tan 1 3tan 2 tan 1 0
x x x
⇔ + − + =

⇔ = + ⋅ ⇔ = ⇔ − =
− −

2
1,2
2
1,2
tan 1 2 tan
tan 2 tan 1 0
tan 2 tan 1 0
tan 1 2 tan
x
x x
x x
x

= − ± = α

+ − =

⇔ ⇔


− − =
= ± = β



( )
1,2

x x x
≠
;
( )
2 2 2
2 tan tan
1 1
1
4
1 tan 1 tan 1 tan 4
x x
x x x
 
   
⇔ =
   
− − −
   

2 2
tan
1 1
tan 2 tan8 tan 8
4 7
1 tan 2 1 tan 4
x
x x x x x k x k
x x
π
  

)
2 2 2
cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8
x x x x
− − − =2 2 2
tan 8
2 2 2
cot cot
tan
1 tan 1 tan 2 1 tan 4
x
x x
x
x x x
   
⇔ = ⇔ =
   
− − −
   

( )
tan 8 1 8
4 32 8
x x k x k k
π π π
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈
»

 
  
⇔ =
   
− − −
   

( )
cot 8 tan 8 tan tan 1
4
x x x x x k k
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈
»

Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

253

III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA
1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
2 3
sin 3 3sin 4 sin ; cos 3 4cos 3 cosx x x x x x= − = −

2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
sin 3 sin 2 5sin
x x x
+ =

1 3sin 4sin 2sin cos 2 sin 0 sin 4sin 2 cos 5 0
x x x x x x x x
⇔ − + + = ⇔ − + + =

(
)
2
sin 4cos 2 cos 1 0 sin 0
x x x x x k
⇔ + + = ⇔ = ⇔ = π

Bài 3.
Giải phương trình:
2
cos 3 cos 2 sin 2
x x x
+ + =
(1)
Giải

( )
(
)
(
)
3 2 2
1 4 cos 3cos 2 cos 1 1 cos 2
x x x x
⇔ − + − + − =


3 2 2
2sin sin 2sin 1 0 sin 1 2sin sin 1 0
x x x x x x
⇔ − − + = ⇔ − + − =

{
}
( )
5
1
sin 1 sin ; 2 ; 2
2 2 6 6
x x x k k k k
π π π
⇔ = ± ∨ = ⇔ ∈ + π + π + π ∈
»

Bài 5.
Giải phương trình:
2 3
cos10 2 cos 4 6 cos 3 cos cos 8 cos cos 3
x x x x x x x
+ + = +

Giải

(
)
3
cos10 cos 8 1 cos 8 cos cos 3 6 cos 3 cos

(
)
3
3
1 4 1 cos 2 4 cos 2 3cos 2 1
x x x
⇔ + − − =

( )( )
2
4 cos 2 5 cos 2 1 0 cos 2 1 4 cos 2 1 0
x x x x
⇔ + + = ⇔ + + =

( )
1
cos 2 1 cos 2 cos
4 2 2
x x x k x k k
π α
⇔ = − ∨ = − = α ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈
»

Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
2
2sin 3 1 4 sin 1
x x


Vô lý
Nhân 2 vế của (1) với
cos 0
x
≠
ta có:
( )
(
)
(
)
2 3
1 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos 2 sin 3 4 cos 3cos cos
x x x x x x x x
 
⇔ − − = ⇔ − =
 

(
)
2sin 3 .cos 3 cos sin 6 sin
2
x x x x x
π
⇔ = ⇔ = −
{
}
2 2
;

sin cos
x x
x x
⇔ − = +

( ) ( )
2 3
sin cos
2 3sin 4 sin 4 cos 3cos
sin cos
x x
x x x x
x x
+
 
⇔ − − − =
 

( ) ( )
( )
2 2
sin cos
2 3 sin cos 4 sin cos sin cos sin cos
sin cos
x x
x x x x x x x x
x x
+
 
⇔ + − + + − =

4 12 12
x k k k
π π π
⇔ ∈ + π − + π + π

Kết luận:

{
}
; ; |
4 2 12 12
k
x k k k
π π π π
∈ + − + π + π ∈
»

Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

255

Bài 9.
Giải phương trình:
(
)
(
)
3 3
1
sin sin

sin 2 cos 2 1 0
t t
⇔ − =
{
}
3 14 4
2 ; 2 ; 2
5 5 5
x k k k
π π π
⇔ ∈ − π + π + π

Bài 10.
Giải phương trình:
(
)
(
)
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
− = +

Giải

Đặt
4
t x
π

2
sin 1 2 1 2 sin cos 2 0 sin 1 cos 2 0
t t t t t
 
⇔ + − − = ⇔ + =
 

sin 0
4 4
cos 2 1
2 2 2
2 4
t x k x k
t
t
t x k x k
π −π
 
= + = π = + π
=

 
⇔ ⇔ ⇔

 
= − π π

= + = π + π = + π
 
 

12 cos 3cos 0 3cos 4cos 1 0
t t t t
⇔ − = ⇔ − =

{ }
2
cos 0 cos 0
2
; ;
1 1
6 3
cos cos 2
4 2
t t
x k k k
t
= =
 
π − π
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π
= = −
 
 

Bài 12.
Tìm
a
để:
2 2


256

(
)
( )
2 3
2 2 cos 2 1 1 4 cos 2 3cos 2 1 cos 2
x x x a x
⇔ − = + − + −

( ) ( )
3 2
4 cos 2 4cos 2 3 cos 2 3 0
x x a x a
⇔ − − + + + =
( ) ( )
(
)
2
cos 2 1 4 cos 2 3 0
x x a
⇔ − − + =
. Với
(
)
0,
12
x
π

x x x x
+ + = +
(1)
Giải

( )
(
)
(
)
( )
2
3 2
1 4 cos 2 3cos 2 2cos 2 1 cos 2 3 1 cos 2
x x x x x
⇔ − + − + = + −

( )
(
)
3 2 2
4 cos 2 cos 2 5 0 cos 2 1 4 cos 2 5 cos 2 5 0
x x x x x
⇔ + − = ⇔ − + + =

2
cos 2 1 4 cos 2 5cos 2 5 0
x x x
⇔ = ∨ + + =
(vô nghiệm)

4 cos 2 cos 2 cos 2 4 0 cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0
x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + + =

2
cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0
x x x
⇔ = ∨ + + =
(vô nghiệm)
(
)
x k k⇔ = π ∈
»
.
Bài 15.
Giải phương trình:
(
)
sin 3 cos 3 2 sin cos 1
x x x x
− + + =
(1)
Giải

( )
(
)
(
)
( )

Bài 16.
Giải phương trình:
2 cos3 sin 2 cos 0
x x x
+ + =
(1)
Giải

( )
(
)
3 3
1 2 4cos 3cos 2sin cos cos 0 8cos 2sin cos 5cos 0
x x x x x x x x x
⇔ − + + = ⇔ + − =
(
)
(
)
2 2
cos 8cos 2 sin 5 0 cos 8sin 2sin 3 0
x x x x x x
⇔ + − = ⇔ − − =

( )( )
3
1
cos 4 sin 3 2sin 1 0 cos 0 sin sin sin
2 4
x x x x x x