TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
1
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 4
BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ 6
BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 8
BÀI 4: CHIẾU VECTƠ 10
BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 12
BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 13
15
BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ 16
BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 18
Chương 2: 23
ĐƯỜNG BẬC HAI 23
BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 24
BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 27
BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 32
VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 32
BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG BẬC HAI 39
BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI
Nhắc lại lý thuyết: 48
BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI 54
BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG
BẬC HAI 58
BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
( C ): ax2 + 2bx + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1) 61
BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 66
Chương 3: 74
MẶT BẬC HAI 74

Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá
trình thực hiện tiểu luận này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà
chúng tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin
bạn đọc thông cảm. Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email
Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc.
4
A
(Gốc
))
B
(ngọn)
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự 2 đầu (có hướng) được gọi là 1 Vectơ.
Đường thẳng đi qua 2 đầu mút gọi là giá của vectơ
Độ dài đoạn thẳng nối 2 đầu mút gọi là Môđun của
vectơ ( như vậy môđun là 1 số không âm)
Môđun của
a
r
kí hiệu là
a
r
+ Vectơ đơn vị : Vectơ có môđun bằng 1
+ Vectơ “không” (
0
r
): là vectơ 2 đầu mút trùng nhau. Có môđun bằng 0 và chiều tùy
chọn.

=
b
r
,
a
r
và
b
r
ngược hướng với
c
r

Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ
AB
uuur
gọi là vectơ buộc
5
Buộc vectơ tự do ở điểm A
a
A
B
c
r
b
r
a
r
a
b

b
r
ở điểm
B,
b
r
=
BC
uuur
. Khi đó ta có
c
r
=
AC
uuur
.
Hoặc có thể dùng quy tắc hình bình hành: buộc
2 vectơ
a
r
và
b
r
vào chung điểm O,
a
r
=
OA
uuur
,

a
r
+ Kết hợp : (
a
r
+
b
r
) +
c
r
=
a
r
+ (
b
r
+
c
r
)
+ Phần tử trung hòa của phép cộng (
0
r
) :
a
r
+
0
r

r
-
b
r
=
c
r
OA
uuur
-
OB
uuur
=
BA
uuur
a b+
r r
≤
a b+
r
r
a b−
r r

≥
a
r
-
b
r

= -
BA
uuur
.
Ta có tính chất :
a
r
+
a−
uur
=
0
r
3/ Trừ Vectơ:
Hiệu của 2 vectơ
a
r
và
b
r
là 1 vectơ
c
r
=
a
r
+ (-
b
r
), ta ghi

>0, ngược hướng với
a
nếu
p
<0
+ Tính chất:
Mở rộng: Bằng phương pháp qui nạp người ta có thể chứng minh các tính chất 4 và 5
trong trường hợp có k hạng tử (k là một số hữu hạn tuỳ ý):
(4)
1 2 1 2
( )
k k
p a a a pa pa pa+ + + = + + +
r r r r r r
(5)
1 2 1 2
( )
k k
p p p a p a p a p a+ + + = + + +
r r r r
7
b
a
O
A
B
c
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ
THUỘC TUYẾN TÍNH

1/ Các vectơ độc lập tuyến tính:
Hệ vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
gọi là độc lập tuyến tính khi:
1 1 2 2 3 3
0
n n
k a k a k a k a+ + + =
r
r r r r

1 2 3
0
n
k k k k⇒ = = = = =
2/ Các vectơ phụ thuộc tuyến tính:
Hệ vectơ
1 2 3
, , ,
n
a a a a
r r r r
gọi là không độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính khi:
0
i
k∃ ≠

trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn
0
i
k ≠
. Ta suy ra:
i
a
r
=
3
1 2
1 2 3

n
n
i i i i
k k
k k
a a a a
k k k k
− − − −
r r r r
Vậy
3
1 2
, , , ,
n
i i i i
k k
k k

n
a a a a
r r r r
phụ thuộc tuyến tính.
III/ Định lý về sự phân tích:
+ Trong mặt phẳng cho trước 2 vectơ bất kỳ
1 2
,e e
r r
độc lập tuyến tính, mọi vectơ
a
r
khác
của mặt phẳng đề được phân tích duy nhất theo
1 2
,e e
r r
:
8
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
!( , ) :x y∃
1 2
a xe ye= +
r r r
+ Trong không gian, tồn tại 3 vectơ
1 2 3
, ,e e e
r r r
độc lập tuyến tính, mọi vectơ
a

1 2
,a a
r r
phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có
1 2
a ka=
r r

hoặc
2 1
a la=
r r
. Vậy
1 2
,a a
r r
cùng phương.
o Ta chứng minh điều kiện đủ:
Giả sử
1 2
,a a
r r
cùng phương
⇒
1 2
0:k a ka∃ ≠ =
r r
1 2
0a ka⇔ − =
r r

P P
song song với P
cắt
∆
tại A’,B’.
Các điểm A’,B’ gọi là các điểm chiếu của các điểm A,B trên
∆
theo phương P. Ta có
' 'A B
uuuuur
= p.
e
r
Ta gọi p là chiếu của vectơ
AB
uuur
trên
∆
theo phương P. Nếu
' 'A B
uuuuur
cùng phương với
e
r
thì p >0 và nếu
' 'A B
uuuuur
không cùng phương với
e
r

⊥
∆
) bằng môđun
cua vectơ nhân với cosin góc giữa trục và vectơ.
cospr a a
ϕ
∆
=
r r
11
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Ta gọi tích vô hướng của 2 vectơ là một số bằng tích của mođun của 2 vectơ với
cosin của góc giữa 2 vectơ ấy. Ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ
,a b
r
r
là
.a b
r
r
và góc giữa hai
vectơ
,a b
r
r
là
ϕ
thì:

BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/Định nghĩa:
Tam diện tạo bởi ba vectơ
OA
uuur
,
OB
uuur
,
OC
uuur
không đồng phẳng lấy theo thứ tự ấy gọi là
thuận (nghịch) nếu một người dứng dọc theo vectơ thứ ba
OC
uuur
, hướng của vectơ là hướng từ
chân tới đầu, thấy hướng quay từ vectơ thứ nhất
OA
uuur
, đến vectơ thứ hai
OB
uuur
,theo góc nhỏ nhất
là ngược hướng quay kim đồng hồ
Người ta gọi tích có hướng của hai vectơ
a
ur
và
b
r

,ở đây
α
là góc giữa hai vectơ a và b.
3/ Tam diện tạo bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
là thuận
Thường người ta kí hiệu tích có hướng của hai vectơ
a
ur
và
b
r
là
a
ur
∧
b
r
Chú ý: tích có hướng của hai vectơ là một vectơ.
Hệ quả 1: Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tích có hướng của
chúng bằng không.
Hệ quả 2: môđun của tích có hướng của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành tạo
bởi hai vectơ ấy.

ur
và
b
r
không cùng phương. Môđun của hai vectơ
a
ur
∧
b
r
và
b
r
∧
a
ur
bằng nhau
vì cùng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ
a
ur
và
b
r
. Hai vectơ
a
ur
∧
b
r
và

r
,
a
ur
∧
b
r
và
b
r
,
a
ur
,
b
r
∧
a
ur
điều là thuận (do
đó tam diện tạo bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r
và
b
r
∧

ur
. Do dó p
a
ur
∧
b
r
là một vectơ cùng phương với
a
ur
∧
b
r
, tức là cùng phương với p(
a
ur
∧
b
r
). Ngoài ra,
( ) .sin( ) sin( )p a b p a b pa b pa b
α α
∧ = = = ∧
uur r r r
ur ur ur ur
Nếu p<0 thì p
a
ur
ngược hướng với
a

( ) .sin( ) sin( )p a b p a b pa b pa b
α π α
∧ = = + = ∧
uur r r r
ur ur ur ur
Tính chất 3 : tích có hướng có tính chất phân phối với phép cộng vectơ, nghĩa là:
( ) ( ) ( )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
r r r r r r uur
( ) ( ) ( )a b c a b a c∧ + = ∧ + ∧
r r uur r uur r uur
Chứng minh:
Trước hết ta có các nhận xét
1/ Nếu
u v⊥
r r
u v⊥
r r
và
v
r
=1 thì vectơ
u v∧
r r
nhận được bắng cách quay vectơ u xunh quanh
vectơ
v
r
một góc
2
π

r
. Gọi
α
là góc giữa hai vectơ
u
r
và
v
r
. Ta có:
' sin( )u u
α
=
ur r
' sin( )u u
α
=
ur r
Rõ ràng
u v⊥
r r
=
'u v⊥
ur r
. Thật vậy,
14
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
' sin( ) .sin
2
u v u v u v

0c ≠
r r
thì ta có thể phân tích
a
ur
và
b
r
thành
tổng
' ''a a+
uur uur
và
' ''b b+
ur uur
. Trong đó
'a
uur
,
'b
ur
c⊥
r
c⊥
r
và
''a
uur
,
''b

= là xong.
Theo nhận xét 1 thì muốn nhân có hướng một vectơ với một vectơ đơn vị vuông góc
vói nó, người ta quay vectơ thú nhất một góc
2
π
. Nhưng khi quay các vectơ
'a
uur
và
'b
ur
xung
quanh
e
r
một góc
2
π
thì đường chéo của hình bình hành tao nên từ các vectơ
'a
uur
và
'b
ur
và
cũng quay xung quanh
e
r
một góc
2

∧
b
r
, rồi nhân
vô hướng vectơ ấy với
c
r
ta được số
c
r
.
a
ur
∧
b
r
, gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
. Kí
hiệu tích hỗn tạp của ba vectơ là
( , , )a b c
r r r
. Vậy

a
ur
∧
b
r
)
Nếu các vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
tạo nên một tam diên thuận thì góc giữa vectơ
c
r
và vectơ
a
ur
∧
b
r
là góc nhọn và là một số dương bằng đướng cao h của hình hộp dựng trên các vectơ
a
ur
,
b
r

c
r
và
a
ur
∧
b
r
là một góc tù
và là một số âm và bằng –h. Lúc đó
c
r
.
a
ur
∧
b
r
=-V.
Tóm lại ta có:
2/ Định lí 7: Tích hỗn tạp
( , , )a b c
r r r
của ba vectơ không đồng phẳng là một số có giá trị
tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng nên bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r

b
r
cũng tạo nên một tam diên thuận (nghịch ). Do đó
a
ur
∧
b
r
.
c
r
=
a
ur
∧
c
r
.
b
r
=
b
r
∧
c
r
.
a
ur
III/ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

b
r
.
c
r
= 0. Nếu
a
ur
và
b
r
không cùng phương thì
a
ur
∧
b
r
⊥
a
ur
⊥
và
a
ur
∧
b
r
⊥
b
r

c
r
không đồng phẳng thì theo định lí 7, tích hỗn
tạp
( , , )a b c
r r r
có trị số tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên các vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
nghĩa là
( , , )a b c
r r r
0
≠
. Điều này trái với giả thiết, vậy
a
ur
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng.

. Ba đường thẳng ấy được gọi là ba trục tọa độ:trục hoành, trục tung và
trục cao.
•
1 2 3
, ,e e e
ur uur ur
là các vectơ cơ sở
• O là gốc tọa độ
II/ Tọa độ điểm .
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng Oxy. Ta có :
1 2
OM xe ye= +
uuuu u uuv v v
thì x,y gọi là tọa độ của điểm M
Kí hiệu: M(x, y).
 Trong không gianOxyz, giả sử M là một điểm tùy ý trong không gian.
Ta có:
1 2 3
OM xe ye ze= + +
uuuur ur uur ur
các số x, y, z gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu: M(x,y,z).
III/Tọa độ của vectơ:
1/Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ tự do
a
v
. Ta có:

1 2
a xe ye= +
ur uur

= − + −
uuuur uuuur uuur
uuur ur uur
uuuur ur uur
uuuur uuur ur uur
uuuur ur uur
1 2
A A
uuuur
= (
2 1 2 1
,x x y y− −
) là tọa độ của vectơ buộc .
Tổng , hiệu của hai vecto tự do.Cho hai vectơ:
a
r
(
1 1
,x y
),
b
r
(
2 2
,x y
)
=>
a b+
r r
=(

,b b
) khác vectơ O cùng phương khi và chỉ khi:

1 2
1 2
a a
b b
=
2/) Trong không gian Oxyz cho vectơ tự do
a
r
. Ta có:

1 2 3
a xe ye ze= + +
r ur uur ur
thì x, y, z gọi là tọa độ của vectơ tự do
a
r
trong Oxyz
Nếu có điểm
1 1 1 1 2 2 2 2
( , , ) à A ( , , )A x y z v x y z
và . Tương tự ta cũng có vectơ buộc
1 2
A A
uuuur
(
2 1 2 1 2 1
, ,x x y y z z− − −

IV/Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ theo tọa độ của chúng:
Trong mặt phẳng Oxy cho
a
r
(
1, 2
a a
) và
b
r
(
1 2
,b b
) ta có:
19
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

1 1 2 2
1 2 2
1
a a e a e
b b e b e
= +
= +
r ur uur
r ur uur
Vậy
1 1 2 2 1 1 2 2
. ( ).( )a b a e a e b e b e= + +
r r ur uur ur uur

2 2
1 2
.a a a a a a= = = +
uur
r r r2 2
1 2
a a a⇒ = +
uur
•
Gọi α là góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
Cosα =
.
.
a b
a b
r r
uur uur
.
hay cosα =
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Ta có:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
a a e a e a e
b b e b e b e
= + +
= + +
r ur uur ur
r ur uur ur
Áp dụng tính chất của tích có hướng của hai vectơ ta có:
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
à 0
a b a b e e a b e e a b e e
a b e e a b e e a b e e
a b e e a b e e a b e e
M e e e e e e
∧ = ∧ + ∧ + ∧
+ ∧ + ∧ + ∧
+ ∧ + ∧ + ∧
∧ = ∧ = ∧ =
r r ur ur ur uur ur ur
uur ur uur uur uur ur
ur ur ur uur ur ur

, ,
a a
a a a a
a b
b b b b b b
 
⇒ ∧ =
 ÷
 
r r
HỆ QUẢ.Nếu α là góc giữa hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ) à ( , , )a a a a v b b b b
r r
thì:
Sinα=
2
2 2
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a a
a a a a
b b b b b b
a a a b b b
+ +
±


VD2:mCho vecto
(0,1,1) à (1,2,3)a v b
r r
. Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vecto đó
và đường cao ứng với cạnh đáy
a
r
.
Giải: Gọi S là diện tích của hình bình hành. Ta có:
S=
a b∧
r r
Mà :
{ }
2 2 2
11 1 0 01
, , 1,1, 1
23 31 1 2
1 1 ( 3) 11
a b
S
 
∧ = = −
 
 
⇒ = + + − =
r r
11
2

1 2 3
, ,
.
:( , , )
a a
a a a a
a b
b b b b b b
a a
a a a a
a b c c c c
b b b b b b
a a a
Hay a b c b b b
c c c
 
 
∧ =
 
 
 
⇒ ∧ = + +
=
r r
r r r
r r r

HỆ QUẢ: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ:
, ,a b c
r r r

nào đó, đặc trưng cho mọi điểm của mặt S. nếu điểm
( , , )M x y z
nằm trên mặt S thì tọa độ của
nó thỏa mẵn phương trình
( , , ) 0F x y z =
. nếu điểm
( , , )M x y z
không nằm trên mặt S thì tọa
độ của nó không thảa mãn phương trình
( , , ) 0F x y z =
.
Một số mặt không gian
2/ Ví dụ 1: Lập phương trình của mặt cầu tâm
( , , )I a b c
, bán kính R.
Giải:
Lấy một diểm M(x,y,z) tùy ý trên mặt càu (h.29). Ta có
IM R=
; từ đó:
2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình tương đương ( vì hai vế
của phương trình dều không âm) :
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
24
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Từ đó ta có
2 2

trên mặt phẳng
Oxy
.Gọi
u
là góc tạo bởi
3
e
ur
và
OM
uuuur
,
v
là góc tạo bởi
1
e
ur
và
'OM
uuuuur
. Ta có:
'z MM=
. Trong tam giác vuông
'OMM
ta có
' cos cosMM OM u u
= =
. Ta
suy ra:
cosz u=

=


=


=

 Mọi đường trong không gian đều có thể xem như giao tuyến của hai mặt.
Vì vậy trong không gian
Oxyz
, phương trình của đường có dạng:

1
2
( , , ) 0
( , , ) 0
F x y z
F x y z
=


=

25