LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến thầy
giáo, GS.TS Vũ Văn Hùng, đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý Trường Đại Học
Sư Phạm Hà Nội các thầy cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết đã hết
lòng dạy bảo em trong suốt hai năm học tập và rèn luyên vừa qua.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong ban giám hiệu Trường THPT
Nguyễn Thái Học, cùng toàn thể các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn
đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành
luận văn này.
Xin cảm ơn gia đình, các anh chị và các bạn đã luôn giúp đỡ, ủng hộ,
động viên, chia sẻ những khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian học tập và
làm luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Tác giả
Lê Thị Thanh Bình
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện nay, ngành kim loại
và hợp kim đóng vai trò đặc biệt quan trọng, nhất là ngành kim loại học.
Trên cơ sở nghiên cứu về kim loại sẽ làm tiền đề cho các ngành nghiên cứu
về kỹ thuật mũi nhọn như ngành hàng không, vật liệu mới…….
Mặt khác trong tự nhiên không tồn tại các tinh thể hoàn hảo một cách lý
tưởng. Vì vậy việc nghiên cứu khuyết tật và ảnh hưởng của khuyết tật lên
các tính chất nhiệt động, tính chất cơ học, tính chất hóa học….cũng như
nhiệt độ nóng chảy của kim loại đã và đang được nhiều nhà khoa học quan
tâm nghiên cứu. Đặc biệt là ở vùng nhiệt độ cao, áp suất cao khi mà hiệu
ứng phi tuyến trong tinh thể là mạnh và ảnh hưởng của khuyết tật là đáng
kể. Các khuyết tật tham gia vào hiện tượng khuyếch tán trong tinh thể, dẫn
tới các hiệu ứng có ích và có vai trò quan trọng đối với biến dạng dẻo và

bền vững tuyệt đối của tinh thể. Sau đó vì nhiệt độ nóng chảy của tinh thể
m
T
không khác xa nhiệt độ giới hạn bền vững
s
T
tương ứng với nhiệt độ
bền vững của tinh thể thực có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ cao, áp suất
cao và ảnh hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể.
Như vậy việc nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của các tinh thể và ảnh
hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể vẫn chưa được
nghiên cứu một cách đầy đủ. Đòi hỏi về việc nghiên cứu và ứng dụng nó
chưa kết thúc, hơn nữa đó là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học.
Trong hơn hai mươi năm gần đây một phương pháp mới có tên gọi là
phương pháp thống kê Mômen do Gs Nguyễn Tăng đề xuất và được Gs –
Ts Vũ Văn Hùng cùng các cộng sự phát triển và áp dụng nghiên cứu một
cách có hiệu quả các tính chất nhiệt động của vật liệu kim loại, hợp kim,
bán dẫn và siêu mạng….cho kết quả phù hợp với thực nghiệm và các lý
thuyết trước đó.
Với tất cả những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài: Nghiên cứu ảnh
hưởng của vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của kim loại.
3
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là xây dựng lý thuyết về giới hạn bền vững
tuyệt đối và nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại với hai cấu trúc LPTK
và LPTD. Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất cao và ảnh hưởng của
vacancy lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại là một trong những
mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại ở áp suất cao

Chương II. Nghiên cứu giới hạn bền vững tuyệt đối và nhiệt độ
nóng chảy của kim loại bằng phương pháp mômen
Phần đầu chương này chúng tôi trình bày những nét chính về phương
pháp thống kê Mômen khi nghiên cứu các tính chất cơ, nhiệt của tinh thể có
cấu trúc lập phương tâm diện (LPTD) và lập phương tâm khối (LPTK) như:
biểu thức năng lượng tự do Helmholtz, khoảng lân cận giữa các nguyên tử, hệ
số nén đẳng nhiệt, …
Phần hai của chương, chúng tôi áp dụng phương pháp thống kê
Mômen nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của tinh thể kim loại. Cụ thể, chúng
tôi xác định được các đại lượng như: biểu thức năng lượng tự do, khoảng
lân cận gần nhất, phương trình trạng thái và biểu thức xác định nhiệt độ
nóng chảy của tinh thể kim loại lý tưởng, tinh thể kim loại khuyết tật ở áp
suất thấp và áp suất cao.
Chương III. Tính số và thảo luận kết quả
Chọn dạng thế thích hợp, tính số các đại lượng như: khoảng lân cận
gần nhất, nhiệt độ nóng chảy kim loại có cấu trúc LPTK, LPTD ở các áp
suất khác nhau có kể đến ảnh hưởng của vacancy và thảo luận kết quả.
5
Nội dung cơ bản của luận văn này đã được trình bày tại HNVL lần thứ
35 (TPHCM, 1 – 6/8/2010):
V. V. Hung, and N. T. Hai, L.T.T.Binh, ( 2010) “Melting curve of
transition and rare-earth metals : pressure dependence” HNVLTQ, lần thứ
35(TPHCM)
6
Chương I: TỔNG QUAN VỂ NÓNG CHẢY VÀ
TINH THỂ KHUYẾT TẬT
I.1 Khái quát chung về kim loại và nóng chảy
I.1.1 Kim loại
Kim loại là vật thể sáng, dẻo, có thể rèn luyện được, có tính dẫn điện và
dẫn nhiệt cao.

7
Lục giác xếp chặt
Các kim loại nguyên chất đều là chất rắn tinh thể. Đa số các kim loại
có khối lượng riêng lớn chứng tỏ ở mạng tinh thể của chúng các nguyên tố
kim loại đuợc sắp xếp chặt khít, tức là sự sắp xếp sao cho các khoảng trống
còn lại là nhỏ nhất. Nếu xem các nguyên tố kim loại như như quả cầu có
bán kính bằng nhau, thì sự sắp xếp quả cầu thành mặt phẳng sau cho
khoảng trống trên mặt phẳng là nhỏ nhất, chỉ có 1 cách là sắp xếp sao cho
quả cầu được tiếp xúc với 6 quả cầu bao quanh (các quả cầu A, nét liền trên
hình 1.2. Cách sắp xếp tạo ra một lớp vô hạn.
A
A
C
B
(a)
8
A
B
A
B
C
A
A
B
(b)
Hình 1.2. Mô phỏng cấu trúc lục phương xếp chặt (a) và lập phương
tâm mặt (b)
Tinh thể kim loại có thể tạo nên bằng cách chồng các lớp cầu đó lên
nhau. Để cho sự sắp xếp là chặt khít thì mỗi quả cầu là lớp thứ 2 (kí hiệu là
lớp B) phải nằm vào chỗ lõm tạo ra bởi 3 quả cầu của lớp thứ nhất (kí hiệu

Những tính chất vật lí chung của kim loại như trên chủ yếu do các
electron tự do trong kim loại gây ra.
b). Tính chất riêng
•Khối lượng riêng: phụ thuộc vào khối lượng nguyên tử, bán kính
nguyên tử và kiểu cấu trúc mạng tinh thể. Li là kim loại có khối lượng
riêng nhỏ nhất (d = 0,5 g/cm
3
) và Osimi (Os) có khối lượng riêng lớn nhất
(d = 22,6 g/cm
3
). Các kim loại có khối lượng riêng nhỏ hơn 5 g/cm
3
được
gọi là kim loại nhẹ (như Na, K, Mg, Al…) và lớn hơn 5 g/cm
3
được gọi là
kim loại nặng (như Fe, Zn, Pb, Cu, Ag, Au…).
•Nhiệt độ nóng chảy: phụ thuộc chủ yếu vào độ bền liên kết kim loại.
Kim loại có nhiệt độ nóng chảy thấp nhất là Hg (–39
o
C), điều kiện thường
tồn tại ở trạng thái lỏng) và kim loại có nhiệt độ nóng chảy cao nhất làW
(vonfam,3410
o
C).
10
•Tính cứng: phụ thuộc chủ yếu vào độ bền liên kết kim loại. Kim loại
mềm nhất là nhóm kim loại kiềm (như Na, K…do bán kính lớn, cấu trúc
rỗng nên liên kết kim loại kém bền) và có những kim loại rất cứng không
thể dũa được (như W, Cr…)

 
và
năng lượng của hệ biến đổi nhảy vọt, một số đại lượng nhiệt động khác
11
như nhiệt dung riêng đẳng tích
v
dQ
C =
dT
 
 ÷
 
, hệ số nở nhiệt
1 dV
β=
V dT
 
 ÷
 
v.v có
giá tri vô hạn.
Một số hiện tượng chuyển pha loại 1
• Hiện tượng hóa hơi
Trong quá trình hệ chuyển từ pha lỏng sang pha hơi nhiệt độ của hệ
không đổi, điều đó có nghĩa rằng phần năng lượng ứng với chuyển động
nhiệt của hệ không đổi. Nhiệt lượng cung cấp dùng để tăng số lượng những
phân tử bay ra khỏi pha lỏng. Nếu gọi dA
1
là công các phân tử thoát khỏi
liên kết phân tử (công thoát) và dA

Lμ
-
RT
P=const e
. Áp suất hơi bão hòa của sự
thăng hoa nhỏ hơn nhiều so với áp suất hơi bão hòa của sự bay hơi. Sự bay
hơi diễn ra trong khoảng nhiệt độ ( 0K < T < T
K
), còn sự thăng hoa diễn ra
trong khoảng nhiệt độ từ
0T K≠
đến nhiệt độ nóng chảy (
m
T
). Từ đó chúng
ta suy ra giản đồ chuyển pha của quá trình từ pha rắn sang pha khí là một
đường cong hàm mũ, bắt đầu từ 0K đến nhiệt độ nóng chảy. Ngoài ra sự
nóng chảy được trình bày ở phần 1.2.3
b). Chuyển pha loại 2
Trong quá trình chuyển pha hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài, thể
tích riêng biến đổi liên tục, một số tính chất vật lý biến đổi đột ngột.
Chuyển pha loại 2 có những đặc điểm sau :
- Hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài .
- Không có sự thay đổi ngột về cấu trúc tinh thể
- Thể tích riêng, mật độ, nội năng, entropi của hệ không thay đổi
nhảy vọt, trong khi đó các đạo hàm bậc nhất của chúng theo nhiệt độ biến
đổi nhảy vọt, như hệ số nở nhiệt, hệ số nén và nhiệt dung. Chuyển pha loại
2 thường dẫn đến sự thay đổi đặc biệt, nhảy vọt những tính chất vật lý như
tính dẫn điện , dẫn nhiệt, nội ma sát v.v
I.1.2.2 Sự nóng chảy

trong chất nóng chảy các điểm ấy gọi là mầm kết tinh hoặc nhân kết tinh.
Sự tạo thành các nhân kết tinh là những biến cố ngẫu nhiên. Do chuyển
động nhiệt một vài phần tử va chạm vào nhau có thể liên kết mạnh hơn
những phân tử khác, cũng có thể do một tạp chất nào đó có lực hút mạnh
hút một số phân tử khác về phía mình và hình thành nên nhân kết tinh.
Trong một chất lỏng sạch, tinh khiết, việc hình thành các nhân kết tinh trở
nên khó khăn hơn, do đó xẩy ra hiện tượng chậm kết tinh. Trong trường
14
hợp đó, chỉ cần đưa vào một nhân kết tinh thì quá trình kết tinh bắt đầu
ngay.
Trong trường hợp này, nó biểu diễn sự liên hệ giữa áp suất, nhiệt độ
nóng chảy, ẩn nhiệt nóng chảy, thể tích riêng của vật chất ở pha lỏng ( V
l
)
và pha rắn ( V
r
) có dạng cụ thể là :

l r
dP q
=
dT T(V -V )
( 1.1 )
Từ hệ thức ( 1.1 ), chúng ta có thể tìm hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của
áp suất vào nhiệt độ P(T). Là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc ấy. Người ta gọi
là giản đồ nóng chảy. Mỗi điểm ở trên đồ thị ứng với trạng thái hai pha
cùng tồn tại trong quá trình chuyển pha. Giá trị áp suất và nhiệt độ ứng với
mỗi điểm trên đường cong là giá trị của áp suất và nhiệt độ kết tinh. Giản
đồ không bị giới hạn ở phía áp suất và nhiệt độ T lớn. Điều đó có nghĩa
rằng có những chất tồn tại ở pha rắn trong điều kiện áp suất và nhiệt độ rất

sai khác nào của tinh thể có nguyên nhân từ bề mặt tự do, sự lệch mạng, tạp
chất, sự hỗn độn mạng, lỗ trống và những điểm xen kẽ giữa các nút, dao
động mạng hay ranh giới hạt được gọi là khuyết tật mạng tinh thể.
I.2.2. Phân loại tinh thể khuyết tật
Cấu trúc tinh thể được trình bày ở trên là cấu trúc lý tưởng vì khi xét
đã bỏ qua dao động nhiệt và các sai hỏng (lệch mạng) trong trật tự sắp xếp
của các nguyên tử (ion phân tử). Trong thực tế không phải
100%
nguyên tử
đều nằm đúng vị trí quy định, gây nên những sai hỏng gọi là sai lệch mạng
hay khuyết tật mạng. Tuy số nguyên tử nằm lệch vị trí chiếm tỷ lệ raart
thấp (chỉ
1 2%
÷
) song gây ra ảnh hưởng rất lớn đến các đại lượng nhiệt
động của tinh thể trong đó có nhiệt độ nóng chảy vì vậy việc nghiên cứu
ảnh hưởng của nó lên nhiệt độ nóng chảy của tinh thể có ý nghĩa lý thuyết
và thực tế lớn lao.
Phụ thuộc vào kích thước ba chiều trong không gian khuyết tật mạng
chia làm các loại như sau:
• Khuyết tật mặt: là loại sai lệch có kích thước lớn theo hai chiều
đo và nhỏ theo chiều thứ ba, tức là có dạng một mặt (có thể là mặt phẳng,
16
mặt cong hay uốn lượn). Sai lệch mạng tinh thể gồm các loại chủ yếu: biên
giới hạt, biên gới siêu hạt và mặt ngoài tinh thể.
• Khuyết tật đường: là loại có kích thước nhỏ (kích thước nguyên
tử) theo hai chiều và kích thước lớn theo chiều thứ ba. Sai lệch đường có
thể là một dãy các sai lệch điểm, song cơ bản và chủ yếu vẫn là sai lệch với
hai dạng biên và xoắn.
• Khuyết tật điểm: có kích thước cỡ nguyên tử về cả ba chiều trong

nhiệt độ xác định. Nồng độ này sẽ tăng lên khi nhiệt độ tăng lên. Vì vậy mà
người ta còn gọi khuyết tật điểm là khuyết tật nhiệt.
Ở nhiệt độ thông thường ngay cả khi không có khuyết tật đường và
mặt, tinh thể vẫn tồn tại các khuyết tật điểm. Do đó không có cấu trúc tinh
thể hoàn hảo một cách lý tưởng đặc trưng bằng tính tuần hoàn ba chiều
trong không gian.
I.2.3. Vai trò của việc nghiên cứu tinh thể khuyết tật
Nhiều tính chất vật lý và hóa học của tinh thể phụ thuộc vào cấu trúc
thực của tinh thể như tính dẫn điện, tính cơ học, biến dạng dẻo, tính nhiệt
động,… Do vậy, các tính chất này, nhiệt độ nóng chảy của tinh thể cũng
phụ thuộc vào khuyết tật cấu trúc tinh thể.
Việc nghiên cứu khuyết tật cấu trúc giúp giải thích sự khác biệt giữa
các đại lượng vật lý được tính toán dựa trên lý thuyết mạng lý tưởng và đại
lượng đó được tính toán trên mạng tinh thể thực với kết quả đo được trên
mẫu tinh thể thực.
18
I.3. Các phương pháp nghiên cứu
I.3.1. Phương pháp trường phonon tự hợp [1]
Khi tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến trong các tinh thể cấu
trúc lý tưởng, phương pháp trường phonon tự hợp đã cho kết quả phù hợp
thực nghiệm tốt hơn phương pháp động lực mạng tinh thể. Tổng số hạt
trong mạng tinh thể được xác định bằng :
∑
=
=
l
N
l
l
tN

=
 
+ − + −
 
= + = + − −  
 
− −
 
 
∑ ∑
∑ ∑
∑
r
r r
r
r r
l n l n l n
l n l
v l n
l n l
l
l
P
r r
P
M
H H H r r
M
n
σ φ σ σ σ σ

=
,trung
bình thống kê <…>được lấy theo phân bố Gibbs lớn. Trong gần đúng,
trường trung bình σ
1
không phụ thuộc vào bán kính
1
r

.
Bằng phương pháp trường phonon tự hợp, năng lượng tự do của
tinh thể có nút khuyết hạt được xác định. Áp dụng cho tinh thể kim loại và
sử dụng thế năng tương tác cặp Morse, các tác giả thu được nồng độ khuyết
hạt ở vùng nhiệt độ cao cỡ 5 ÷ 8 %. Tuy vậy trong công trình này, biểu
thức của các đại lượng nhiệt động cũng như nhiệt độ nóng chảy của tinh thể
19
còn chưa được xây dựng. Các biểu thức thu được khá cồng kềnh tính toán
gặp rất nhiều khó khăn.
I.3.2. Phương pháp hàm phân bố một hạt
Sử dụng phép gần đúng chuẩn hóa học cho hệ nhiều thành phần và
phương pháp trường tự hợp, tác giả đã nghiên cứu đóng góp của các nút
khuyết hạt trong tinh thể phi điều hòa mạnh. Năng lượng tự do Gibbs của
tinh thể đơn nguyên tử có chứa N nguyên tử và n nút khuyết (n << N) theo
[1] có dạng:
G (T, p) = G
o
+ n.g
f
v
– T.S

nút khuyết n
v
:

}
.
),(
exp{
Tk
pTg
Nn
n
n
B
f
v
v
−=
+
=
(1.6)
Từ đó, tác giả thu được biểu thức của các đại lượng nhiệt động như:
hệ số giãn nở nhiệt α, nhiệt dung đẳng áp C
p
, nhiệt dung đẳng tích C
v
, mô
đun đàn hồi đẳng nhiệt β
T
, nhiệt độ nóng chảy

N
r r r
r r r
có Spin tương
ứng là
1 2
, , ,
e
N
S S S
. Hamilton của hệ có dạng theo [7]
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
1 1 ,
ee
1 1
2 2 2 2
, ,
e
N
N
i j
l i l
l i i j i j i l
l i
l i
i j i j

V r V R V r R
r r
r r
lần lượt là các toán tử thế năng tương tác giữa
electron, hạt nhân và hạt nhân với các electron.
Phương trình trị riêng của toán tử H có dạng
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ee
, , , ,
N e NN eN
T T V r V R V r R X R E X R
ψ ψ
 
+ + + + =
 
r r r r r r
r r
(1.8)
vì electron nhẹ hơn hạt nhân cỡ hàng nghìn lần, có thể áp dụng phương
pháp tách biến để tìm nghiệm
( )
,X R
ψ
r r
. Nghiệm của
( )
,X R
ψ
r r

E X R R
φ χ φ χ φ χ
φ χ
 
+ + + + =
 
=
r r r r r r r r r r r
r r
r r r
(1.10)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ee
NN
,
, ,
,
e eN
N
T V r V r R
T V R
X R E R
X R R
φ χ

với các hạt nhân. Với mỗi
( )
R
ε
r
là mọt trị riêng của H hạt nhân

( ) ( ) ( ) ( )
NN
,
N n
T V R R R E R
ε χ χ
 
+ + =
 
r r r r
(1.13)
Do đó phương trình Schrodinger của hạt nhân có dạng

( ) ( ) ( ) ( )
, ,
N NN n
i R t T V R R R t
t
χ ε χ
∂
 
= + +
 

 
∂
r r r r
h
(1.15)
Năng lượng ở trạng thái cơ bản
( )
0
R
ε
r
ở cấu hình đã cho của hạt nhân
tìm được bằng cách cực tiểu hóa một hàm nào đó của
( )
n
ε
đối với tất cả
các hàm mật độ của electron
( )
n r
r
. Theo lý thuyết Kohn – Sham, trạng thái
đơn hạt electron
( )
i
r
ψ
r
với i = 1, 2,…, Ne/2, trong đó mỗi hàm song gồm
22

drdr
m r r
n drn r V r R
ε ψ ψ ψ
ε
′
′
 
= − ∇ + +
 
′
−
+ +
∑
∫
∫
r r
h
r r
r r
r
r r r
(1.16)
trong đó số hạng thứ nhất là động năng, số hạng thứ hai là tương tác
Coulomb, số hạng thứ ba là các năng lượng tương quan và trao đổi, số hạng
thứ tư là tương tác giữa mật độ electron với thế năng ngoài gây bởi hạt
nhân. Hàm
{ }
i
ε ψ

r r r
(1.17)
cần thiết phải tiến hành cực tiểu hóa ở mỗi cấu hình hạt nhân. Do đó nếu
phương trình (1.17) được giải nhờ phương pháp mô phỏng động lực học
phân tử thì sự cực tiểu hóa cần được tiến hành ở mỗi bước mô phỏng.
Như đã trình bày ở trên phương pháp ab initio được sử dụng khá rộng
rãi trong các nghiên cứu các tinh thể kim loại và hợp kim. Trong quá trình
sử dụng, phương pháp này đã bộc lộ cả mặt tích cực và mặt hạn chế. Mặt
tích cực như: Có khả năng nghiên cứu nhiều pha vật liệu khác nhau, có thể
sử dụng mô hình hóa các môi trường liên kết phức tạp như thủy tinh hoặc
các chất vô định hình. Nó cũng có thể sử dụng để mô hình hóa các vật liệu
không có sẵn số liệu thực nghiệm, các tính chất cấu trúc, điện tử và dao
23
động của các vật liệu mô hình đều có thể tính được.v…v Nhờ các giả thế
thích hợp, phương pháp này nghiên cứu nhiều loại tinh thể khác nhau.
Tuy nhiên bên cạnh những ưu điểm phương pháp này còn một số
những hạn chế như: quá trình tính toán đòi hỏi giới hạn các hệ tương đối
nhỏ, các hệ có cấu trúc đơn giản. Hơn nữa các số liệu tính toán của phương
pháp này thường tập trung vào vùng nhiệt độ thấp, áp suất thấp.
Để khắc phục những hạn chế mà các phương pháp nêu trên trong quá
trình nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của các tinh thể nói chung và của tinh
thể kim loại nói riêng chung tôi sử dụng phương pháp thống kê mômen [2].
Đây là môt phương pháp mới, có hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính
chất nhiệt động của tinh thể, đặc biệt là khi áp dụng nghiên cứu nhiệt độ
nóng chảy của kim loại. Nội dung của phương pháp này được trình bày
trong phần đầu của chương hai.

Chương II
NGHIÊN CỨU GIỚI HẠN BỀN VỮNG TUYỆT ĐỐI VÀ
NHIỆT ĐỘ NÓNG CHẢY CỦA TINH THỂ KIM LOẠI

q q q
q q q q q dq dq
ω
〈 〉=
∫ ∫
(2.1)
1 2
1 1 1 1 1 2 1
( , , )
( ) ( ) ( , , )
n
m m
n n
q q q
q q q q q q q dq dq
ω
〈 − 〈 〉 〉 = − 〈 〉
∫ ∫
(2.2)
Như vậy, đại lượng trung bình thống kê <q> chính là mômen cấp
một và phương sai < (q
1
– <q
1
>)
2
> chính là mômen trung tâm cấp hai. Từ
các định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng: về nguyên tắc, nếu biết hàm phân
bố ω(q
1

tuân theo phương trình Liouville lượng tử:

ˆ
ˆ
ˆ
, ,i H
T
ρ
ρ
∂
 
=
 
∂
h
(2.5)
trong đó […] là dấu ngoặc Poisson lượng tử.
Như vậy, nếu biết
ρ
ˆ
có thể tìm được mômen các cấp. Tuy nhiên,
việc tính các mômen không phải đơn giản, không những đối với hệ không
cân bằng mà ngay cả đối với hệ cân bằng nhiệt động. Để khắc phục khó
khăn đó, ta tìm cách biểu diễn mômen cấp cao qua mômen cấp thấp hơn.
Các hệ thức thu được đóng vai trò quan trọng và thuận tiện trong việc
nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến.
Xét một hệ lượng tử chịu tác dụng của các ngoại lực không đổi a
i
theo hướng các tọa độ suy rộng Q
i