BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN CÔNG HOAN

NGHIÊN CỨU SINH TRƢỞNG VÀ CẤU TRÚC
LÀM CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT BIỆN PHÁP KỸ THUẬT
GÓP PHẦN KINH DOANH RỪNG TRỒNG TẾCH
(TECTONA GRANDIS L. F.) TẠI SƠN LA
LUẬN ÁN TIẾN SĨ LÂM NGHIỆP
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: 1. GS. TS. VŨ TIẾN HINH
2. PGS. TS. NGUYỄN VĂN SINH

THÁI NGUYÊN - 2014

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Tất cả những
số liệu trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng có ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014
Ngƣời viết cam đoan Nguyễn Công Hoan


iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT vi
DANH MỤC CÁC BẢNG viii
DANH MỤC CÁC HÌNH x
MỞ ĐẦU 1
1. Đặt vấn đề 1
2. Mục đích và yêu cầu của đề tài 2
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2
4. Những đóng góp mới của đề tài 3
Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 4
1.1. Đặc điểm phân loại và phân bố tự nhiên của Tếch 4
1.1.1. Đặc điểm phân loại 4
1.1.2. Phân bố tự nhiên của Tếch 4
1.2. Những nghiên cứu trên thế giới và Việt Nam 5
1.2.1. Những nghiên cứu về cấu trúc rừng trồng trên Thế giới 5
1.2.2. Những nghiên cứu về cấu trúc rừng trồng ở Việt Nam 18
1.3. Những công trình nghiên cứu về cây Tếch trên Thế giới và Việt Nam 26
1.3.1. Thế giới 26
1.3.2. Ở Việt Nam 29

4.1.1. Nguồn gốc rừng trồng Tếch tại khu vực nghiên cứu 51
4.1.2. Đặc điểm rừng trồng Tếch tại khu vực nghiên cứu 53
4.2. Nghiên cứu một số quy luật cấu trúc rừng trồng Tếch 54
4.2.1. Quy luật phân bố số cây theo đường kính 55
4.2.2. Quy luật phân bố số cây theo chiều cao 58
4.2.3. Nghiên cứu một số quy luật tương quan rừng trồng Tếch 61
4.3. Nghiên cứu phân cấp sinh trƣởng cây rừng 69
4.3.1. Xác định cấp đất cho những lâm phần Tếch 69
4.3.2. Xây dựng hàm phân loại cấp sinh trưởng 70
4.3.3. Phân hóa và tỉa thưa rừng trồng Tếch 72

v
4.4. Nghiên cứu sinh trƣởng, tăng trƣởng rừng trồng Tếch 76
4.4.1. Khảo sát các hàm sinh trưởng 77
4.4.2. Nghiên cứu sinh trưởng, tăng trưởng đường kính 80
4.4.3. Nghiên cứu sinh trưởng, tăng trưởng chiều cao 83
4.4.4. Nghiên cứu sinh trưởng, tăng trưởng thể tích 87
4.5. Nghiên cứu sinh khối và tích lũy các bon rừng trồng Tếch 90
4.5.1. Nghiên cứu cấu trúc sinh khối cây tiêu chuẩn 91
4.5.2. Xác định sinh khối khô cây gỗ rừng trồng Tếch 100
4.5.3. Trữ lượng các bon tích lũy trong rừng trồng Tếch 107
4.6. Đề xuất biện pháp kỹ thuật cho rừng trồng Tếch tại Sơn La 116
4.6.1. Cơ sở khoa học cho đề xuất 116
4.6.2. Một số đề xuất 122
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 116
1. Kết luận 129
2. Tồn tại 131
3. Kiến nghị 131
CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ĐÃ CÔNG BỐ 132
TÀI LIỆU THAM KHẢO 133

D

1,3

Đường kính thân bình quân
D

t

Đường kính tán bình quân
OTC
Ô tiêu chuẩn
G (m
2
)
Tiết diện ngang
H
0

Chiều cao ưu thế
H
vn
(m)
Chiều cao vút ngọn
H
dc
(m)
Chiều cao dưới cành
H


N
i
d
i

Số cây thứ i nằm trong cỡ kính d
i

L (m)
Chiều dài men thân cây chặt ngả
L
n
(m)
Chiều dài đoạn ngọn

vii
PT
Phương trình
P
d
Suất tăng trưởng đường kính
P
h

Suất tăng trưởng chiều cao
P
v

Suất tăng trưởng thể tích
P

Z
d

Lượng tăng trưởng thường xuyên hàng năm của đường kính
Z
h

Lượng tăng trưởng thường xuyên hàng năm của chiều cao
Z
v

Lượng tăng trưởng thường xuyên hàng năm của thể tích
∆
d
Tăng trưởng bình quân chung của đường kính
∆
h

Tăng trưởng bình quân chung của chiều cao
∆
v

Tăng trưởng bình quân chung của thể tích
W
k

Sinh khối khô
W
t

viii
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Các hàm lý thuyết được sử dụng để mô tả quá trình sinh trưởng 49
Bảng 4.1. Tổng hợp diện tích rừng trồng Tếch tại Sơn La 52
Bảng 4.2. Kết quả phân bố N/D
1,3
theo hàm Weibull cho 54 lâm phần Tếch 56
Bảng 4.3. Kết quả phân bố N/H
vn
theo hàm Weibull cho 54 lâm phần Tếch 59
Bảng 4.4. Kết quả phân tích tương quan H
vn
/D
1,3
bằng hàm đường thẳng 62
Bảng 4.5. Kết quả phân tích tương quan H
vn
/D
1,3
bằng hàm Logarit 63
Bảng 4.6. Kết quả phân tích tương quan H
vn
/D
1,3
bằng hàm Parabon 64
Bảng 4.7. Kết quả phân tích tương quan H
vn
/D

D, H, V bằng tiêu chuẩn R
2
78
Bảng 4.20. Mô hình sinh trưởng D

rừng trồng Tếch bằng hàm Schumacher 80
Bảng 4.21. Sinh trưởng và tăng trưởng đường kính rừng trồng Tếch 81
Bảng 4.22. Mô hình sinh trưởng H

rừng trồng Tếch bằng hàm Schumacher 84
Bảng 4.23. Sinh trưởng và tăng trưởng chiều cao rừng trồng Tếch 85
Bảng 4.24. Mô hình sinh trưởng V

rừng trồng Tếch bằng hàm Schumacher 87
Bảng 4.25. Sinh trưởng và tăng trưởng thể tích rừng trồng Tếch 88

ix
Bảng 4.26. Một số chỉ tiêu thống kê 36 cây tiêu chuẩn chặt ngả 90
Bảng 4.27. Cấu trúc sinh khối tươi cây tiêu chuẩn Tếch tại Sơn La 91
Bảng 4.28. Tỷ lệ sinh khối khô các mẫu của 36 cây cá lẻ Tếch chặt ngả 94
Bảng 4.29. Cấu trúc sinh khối khô cho từng bộ phận của cây tiêu chuẩn 96
Bảng 4.30. Phương trình tương quan giữa P
k
với các nhân tố D
1,3
và H
vn
99
Bảng 4.31. Sinh khối khô cây gỗ rừng trồng Tếch tuổi 13 100
Bảng 4.32. Sinh khối khô cây gỗ rừng trồng Tếch trên cấp đất II 102

Hình 4.5. Quy luật phân bố N/H
vn
có dạng đối xứng 60
Hình 4.6. Quy luật phân bố N/H
vn
có dạng lệch phải 61
Hình 4.7. Tỷ lệ % số cây theo từng cấp sinh trưởng trên cấp đất II và III 75
Hình 4.8. Đường cong sinh trưởng D

trên cấp đất II và III rừng trồng Tếch 80
Hình 4.9. Biến đổi Zd và ∆d trên cấp đất II 82
Hình 4.10. Biến đổi Zd và ∆d trên cấp đất III 82
Hình 4.11. Đường cong sinh trưởng H

trên cấp đất II và III rừng trồng Tếch 84
Hình 4.12. Biến đổi Zh và ∆h trên cấp đất II 86
Hình 4.13. Biến đổi Zh và ∆h trên cấp đất III 86
Hình 4.14. Đường cong sinh trưởng V

trên cấp đất II và III rừng trồng Tếch 87
Hình 4.15. Biến đổi Zv và ∆v trên cấp đất II 89
Hình 4.16. Biến đổi Zh và ∆h trên cấp đất III 89
Hình 4.17. Cấu trúc sinh khối tươi các bộ phận cây tiêu chuẩn Tếch 93
Hình 4.18. Cấu trúc sinh khối khô các bộ phận cây tiêu chuẩn 98
Hình 4.19. Cấu trúc sinh khối khô theo bộ phận rừng trồng Tếch 101
Hình 4.20. Cấu trúc sinh khối khô các bộ phận cây trên cấp đất II và III 104
Hình 4.21. Cấu trúc sinh khối khô cây bụi thảm tươi và thảm mục 105
Hình 4.22. Cấu trúc sinh khối khô của rừng trồng Tếch 107
Hình 4.23. Cấu trúc các bon tích lũy bộ phận cây gỗ rừng trồng Tếch 113
Hình 4.24. Lượng các bon tích lũy trong cây bụi, thảm tươi và thảm mục 114

dự án nhằm phủ xanh đất trống đồi núi trọc, đáp ứng nhu cầu về gỗ đồ mộc cao cấp,
giảm áp lực khai thác gỗ từ rừng tự nhiên đồng thời mở ra hướng mới trong kinh

2
doanh rừng trồng, tạo công ăn việc làm, phát triển kinh tế cho người dân sống trên
địa bàn. Tuy nhiên, muốn làm được điều đó thì cần phải có những hiểu biết về đặc
điểm lâm học, các quy luật cấu trúc lâm phần, quy luật sinh trưởng, động thái quần
thể và ảnh hưởng của điều kiện lập địa đến sản lượng và năng suất rừng. Đối với
cây Tếch, trong những năm qua đã có một số công trình khoa học nghiên cứu ở
nhiều lĩnh vực khác nhau, trong đó phải kể đến kết quả nghiên cứu của tác giả
Nguyễn Xuân Quát (1995) [51], Nguyễn Ngọc Lung (1988, 1995) [33, 35], Bảo
Huy (1995a, 1995b 1998) [23, 24, 26], Nguyễn Văn Thêm (2002) [40], Mạc Văn
Chăm (2005) [3] ở khu vực Nam Trung Bộ và Tây Nguyên. Tuy nhiên, cho đến nay
giá trị thực tế được công nhận cho rừng trồng Tếch mới chỉ được tính thuần túy
thông qua trữ lượng gỗ. Trong khi đó, giá trị bảo vệ môi trường của rừng chưa được
định lượng một cách cụ thể. Tại Sơn La, chưa có công trình khoa học nào nghiên
cứu cho đối tượng này.
Xuất phát từ thực tiễn đó, chúng tôi thực hiện đề tài: “Nghiên cứu sinh
trưởng và cấu trúc làm cơ sở khoa học đề xuất biện pháp kỹ thuật góp phần kinh
doanh rừng trồng Tếch (Tectona grandis L. f.) tại Sơn La”.
2. Mục đích và yêu cầu của đề tài
2.1. Mục đích của đề tài
Xác định được đặc điểm cấu trúc, sinh trưởng, sinh khối và tích lũy các bon
theo cấp đất làm cơ sở khoa học đề xuất biện pháp kỹ thuật trong kinh doanh rừng
trồng Tếch bền vững ở Sơn La.
2.2. Yêu cầu của đề tài
- Số liệu nghiên cứu phải đại diện cho rừng trồng Tếch ở Sơn La
- Phải kế thừa được những phương pháp nghiên cứu về cấu trúc, sinh trưởng,
sinh khối đã có
- Phải có những điểm mới so với những đề tài đã nghiên cứu về cây Tếch đã có

cây già gốc có bạnh nhỏ, rụng lá theo mùa. Cành non vuông, cành phủ nhiều lông
màu gỉ sắt, khi dập có màu đỏ, lá đơn mọc đối hình trứng ngược, chiều dài có thể
đạt tới 40 cm hoặc hơn, chiều rộng lá khoảng 15 cm, phiến xoan bầu dục có màu lục
tươi, mặt dưới lá có lông hình sao vàng, lá rụng vào tháng 2 tháng 3 dương lịch
hàng năm. Hoa có dạng chùm tụ tán, mọc ở ngọn nhánh, kích thước có thể đạt
đường kính gần 40 cm, hoa gần đều nhỏ và nhiều, có màu trắng, đài hoa có từ 5 - 6
răng, vành có 5 tai, tiểu nhụy nhỏ. Quả hạch cứng và tròn, đường kính khoảng 2 cm
phủ đầy lông. Gỗ mầu vàng nâu hay nâu đậm có sọc, chứa dầu, độ bền cao, ít co
giãn, thớ mịn, ít bị mối mọt [95].
Theo Kadambi A. (1979) [95], Tếch là loài cây có ở rừng nửa rụng lá nhiệt đới
gió mùa. Ở rừng tự nhiên, Tếch trưởng thành có thể đạt chiều cao 40 m, đường kính
từ 1 - 2 m, thân thẳng có nhiều hoa nhưng số hoa hình thành quả chiếm tỷ lệ thấp.
Tếch sinh sản sớm, thông thường từ 8 - 10 năm. Thời kỳ ra hoa là giữa tháng 7 đến
đầu tháng 9 hàng năm, quả chín và rụng từ tháng 12 năm trước đến tháng 2 năm
sau, quả chín vỏ có mầu nâu vàng, Tếch có khả năng tái sinh chồi tốt ở tuổi non.
1.1.2. Phân bố tự nhiên của Tếch
Tếch phân bố tự nhiên ở Ấn Độ, Thái Lan, Lào, Myanmar. Vùng phân bố tự
nhiên của Tếch nằm trong khoảng giữa 25
0
30’ - 90
0
0’ độ vĩ Bắc và 73
0
- 103
0
độ
kinh Đông. Tếch đã xuất hiện từ 400 - 600 năm trước ở quần đảo java với diện tích
khoảng 1 triệu ha (Inđônêxia). Vì Tếch sinh trưởng khá tốt ở Inđônêxia, nên hiện

5

lĩnh vực này, có thể dẫn ra một số công trình nghiên cứu của những tác giả sau:
Đầu tiên là công trình nghiên cứu của Meyer H. A. (1952) [117]. Ông đã mô tả
phân bố số cây theo đường kính bằng hàm toán học có dạng đường cong giảm liên
tục. Phương trình này được gọi là phương trình Meyer.
Balley R. L., and Isson J. N. (1973) [73] đã sử dụng hàm Weibull để mô tả
phân bố số cây theo đường kính cho rừng trồng loài Kiefer thuần loài đều tuổi,
trong đó hàm mật độ và hàm phân bố được viết dưới dạng:
Hàm mật độ:
f(d) = (β/α)[(d-d
min
)/α]
β-1
với d > d
min
(1.1)
f(d) = 0 với d ≤ d
min6
Hàm phân bố:
F(d) = 1- exp{-[(d-d
min
)/α]
β-1
} (1.2)
Bailey và Dell (dẫn theo tài liệu [80]) coi d
min
là một tham số và kí hiệu là a.
Trong trường hợp này, phân bố Weibull có 3 tham số, đó là tham số a đặc trưng cho

d
M
= a
0
+ a
1
.N + a
2
.logN + a
3
.A.S + a
4
.A.N (1.4)
Trong khi đó, Burkhart H và Strub U. (1973) (dẫn theo tài liệu [7]) tính toán
các tham số d
m,
d
M
, α, β của phân bố Bêta theo các phương trình:


= 
0
+
1
.
0
+ 
2.
. .  + 

Với h
0
là chiều cao tầng trội; A là tuổi; N là mật độ lâm phần.
Bliss C. I. và Reinker K. A. (1964) [75] xác lập quan hệ giữa các tham số a,
M, S của phân bố chuẩn Logarit với đường kính bình quân theo dạng Logarit tự
nhiên hai vế:

7
 = 
0
+ 
0
.  (1.8)
 = 
0
+ 
0
.  (1.9)
 = 
0
+ 
0
.  (1.10)
Trong đó: a và b là hai tham số của phương trình.
Lembcke, Knapp và Dittmar (dẫn theo tài liệu [7]) sử dụng phân bố Gamma
với các tham số thông qua các phương trình biểu thị mối tương quan giữa tuổi và
chiều cao tầng trội như sau:
 = 
0
+ 

. . 
100
(1.13)
Trong đó:
- a
0
, a
1
, a
2
, a
3
là tham số của phương trình.
- A là tuổi,
- h
100
chiều cao tầng cây trội.
Roemisch K. (1975) (dẫn theo tài liệu [7]), nghiên cứu khả năng dùng hàm
Gamma mô phỏng sự biến đổi theo tuổi của phân bố số cây theo đường kính cây
rừng, xác lập quan hệ của tham số β với tuổi, đường kính trung bình và chiều cao
tầng trội đã khẳng định quan hệ giữa tham số β với chiều cao tầng trội là chặt chẽ
nhất. Trên cơ sở kết quả nghiên cứu, tác giả đã đề nghị mô hình xác định tham số β
cho phân bố N/D
1,3
của lâm phần sau tỉa thưa như sau:

,
= 
0
+ 

, a
3
, , a
6
là tham số của phương trình.
Ngoài các nghiên cứu trên còn có quan điểm cho rằng đường kính cây rừng là
một đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian và quá trình biến đổi của phân bố
đường kính theo tuổi là quá trình ngẫu nhiên.

8
Theo hướng nghiên cứu này có các tác giả Suzuki (1971) [136] và Preussner,
K. (1974), Bock W., và Diener (1972) (dẫn theo tài liệu [1]). Theo các tác giả này,
quá trình đó biểu thị một tập hợp các giá trị x của đại lượng ngẫu nhiên tại một thời
điểm (t) và lấy trong một khoảng thời gian nào đó. Nếu trị số đường kính tại thời
điểm (t) chỉ phụ thuộc vào trị số ở thởi điểm t-1 mà không phụ thuộc vào trạng thái
ở những thời điểm trước đó là quá trình Markov. Nếu x
t
= x, có nghĩa là ở thời điểm
(t) có trạng thái x. Nếu tập hợp các trạng thái có thể xảy ra của quá trình Markov có
thể đếm được thì đó là chuỗi Markov.
Sự biến đổi của phân bố N/D
1,3
theo tuổi ngoài phụ thuộc vào sinh trưởng
đường kính còn chịu ảnh hưởng sâu sắc của quá trình tỉa thưa. Từ đó Preussner đã
đề nghị mô hình tỉa thưa mới trên cơ sở quan niệm sự biến đổi của phân bố đường
kính là một quá trình xác định, nghĩa là tổng hợp của hai mô hình: Mô hình tỉa thưa
và mô hình tăng trưởng đường kính.
Với mô hình tỉa thưa tác giả dùng hàm:



. 0,001 (1.17)
Trong đó:
- Y
i
là phần trăm số cây tỉa thưa theo cỡ kính i,
- d
i
là đường kính trung bình cỡ kính i,
- d
m
là đường kính nhỏ nhất,
- S là tham số,
- n, g là mật độ và tiết diện ngang các đại lượng biểu thị loại tỉa thưa,
- n’ là tỷ lệ phần trăm cây chặt,
- t là tuổi.
Hàm trên được dùng để xác định phân bố N/D
1,3
của bộ phận tỉa thưa. Để xác
định được phân bố này cần phải biết phân bố N/D
1,3
trước tỉa thưa, tuổi và tỷ lệ cây
chặt. Số cây tỉa thưa. Với mô hình tăng trưởng, đã có tác giả sử dụng hàm:

9


=




Do cây tăng trưởng, một số cây nhất định sẽ chuyển dịch từ cỡ kính thấp lên
cỡ kính cao hơn. Số cây này được xác định theo công thức hệ số chuyển cấp:
 =


(1.19)
Hệ số này được phân thành hai bộ phận f
1
và f
2
trong đó f
1
biểu thị phần
nguyên và f
2
biểu thị phần thập phân. Từ đó, số cây cỡ kính j tại thời điểm t chuyển
lên cỡ kính i và i+1 tại thời điểm  +  được xác định như sau:

+1
= 

. 
2
(1.20)


= 

 


Curtis R. O. (1967) [81] đã đề nghị các dạng phương trình dưới đây:
h = a +b
1
d +b
2
d
2
(1.22)
h = a +b
1
d +b
2
d
2
+ b
3
d
2
(1.23)
h -1,3 = d
2
/(a +bd) (1.24)
h = a +b.logd (1.25)
h = a +b
1
d +b
2
logd (1.26)
h = k.d
b

theo tuổi thì cũng không đơn giản vì
chiều cao cây rừng ngoài yếu tố tuổi còn phụ thuộc vào mật độ, cấp đất, biện pháp
tỉa thưa. Khi đối tượng nghiên cứu là những lâm phần chưa được tạo lập và dẫn dắt
bằng một hệ thống kỹ thuật lâm sinh thống nhất thì phương pháp tìm hàm toán học
để mô tả sự phụ thuộc của chiều cao và đường kính vào tuổi sẽ không thích hợp.
Khi đó nên dùng phương pháp của Kennel gợi ý, nghĩa là tìm một dạng phương
trình biểu thị mối quan hệ giữa chiều cao với đường kính, sau đó nghiên cứu xác
lập mối quan hệ của các tham số phương trình trực tiếp hoặc gián tiếp theo thời
gian tuổi lâm phần.

11
1.2.1.3. Nghiên cứu quy luật tương quan giữa đường kính tán và đường kính thân
Tán cây là bộ phận quyết định đến sinh trưởng, tăng trưởng cây rừng, là chỉ
tiêu quan trọng để xác định không gian dinh dưỡng của từng cây cá lẻ. Qua nghiên
cứu, nhiều tác giả đã đi đến kết luận chung, có mối quan hệ mật thiết giữa đường
kính tán và đường kính thân cây như: Zieger, Erich. (1928), Cromer O. A. N, Ahken
J. D. (1948), Wiling J. W. (1948), Heinsdifh D. (1953), Miller J. (1953),
Hollerwoger F. (1954) (dẫn theo tài liệu [7])….Tùy theo từng loài cây và kiều kiện
khác nhau, mối liên hệ này được thể hiện khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng
phương trình đường thẳng:
D
t
= a +b×D
1,3
(1.30)
1.2.1.4. Nghiên cứu về sinh trưởng, tăng trưởng
Nghiên cứu quy luật sinh trưởng của cá thể và lâm phần phần lớn được xây
dựng thành các mô hình toán học chặt chẽ và được công bố trong các công trình của
Gompertz (1925) (dẫn theo tài liệu [27]), Meyer H. A. (1952) [117], Schumacher F.
X., and Coile T. X. (1960) [132], Clutter J. L et al (1983) [80], Alder D. (1980)

Phương trình vi phân mà hàm Gompertz dựa vào sau này mới được Richard P.
W. (1952) [68], Whittaker R. H., and Woodweel G. M. (1968) [143] đưa ra. Năm
1973, Wenk chứng minh được là b trong công thức trên tương ứng với tốc độ sinh
trưởng tương đối tại thời điểm tăng trưởng đạt cực đại.
Verhults (1845) (dẫn theo tài liệu [1]) cũng đưa ra dạng hàm toán học để mô
phỏng quá trình sinh trưởng của cây rừng:
 =
1
1+
..()
(1.33)
Peschel (1938) (dẫn theo tài liệu [1]) đã tổng hợp các hàm sinh trưởng khác.
Wenk (1969) đã sử dụng hàm Gompertz để xây dựng hàm suất tăng trưởng:
 = 

1
..(1

2
.

1

3
.

)
(1.34)
Trong việc mô tả quy luật tăng trưởng Petterson (1929) và Buckman
(1931,1938, 1943) (dẫn theo tài liệu [7]) cho thấy sự phù hợp của hàm:

 = . 
.

(1.37)
Mitscherlich (1919) (dẫn theo tài liệu [1]) đã lập “Quy tắc sản lượng” trên cơ
sở phương trình vi phân đơn giản:
Y = m.(l-e
(-b.x)
) (1.38)
Với giả thuyết các yếu tố tác động là hằng số, tác giả đã đi đến dạng tổng quát
biểu diễn dưới dạng phương trình:
 = .

  


2
.



3
(1.39)
Trong đó: c
3
được sử dụng như một hàm nguyên.
Phương trình trên có liên quan trực tiếp với phương trình của Richards (1959):
 = .

  