ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
NGHIÊN CỨU
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI DẠNG SUY BIẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Ngành: TỰ ĐỘNG HÓA
Mã số:23.04.3898
Học viên: NGÔ PHƯƠNG THANH
Người HD Khoa học: PGS.TS. NGUYỄN HỮU CÔNG
luận văn tốt nghiệp.
Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý đồng nghiệp, bạn cùng lớp Cao học khóa
K12 - TĐH đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như đóng
góp những ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành bản luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những thành viên trong đại gia
đình, chồng và con trai tôi, những người luôn sát cánh động viên tôi về cả tinh thần
và vật chất, giúp tôi hoàn thành khóa học cũng như bản luận văn này.
Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng hoàn thiện bản luận văn này bằng tất cả sự nhiệt
tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
nhận được những đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô giáo và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011
Tác giả Ngô Phương Thanh

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là đề tài do tôi thực hiện. Các kết quả trong luận văn là
trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào của các tác giả
khác. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng.
Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.

phần mềm này sẽ tự động tiến hành việc rời rạc hóa mô hình bài toán dạng phương
trình DAEs hoặc ODEs mô tả hệ thống do người sử dụng cung cấp, sau đó tiến hành
giải bài toán tối ưu tĩnh vừa được hình thành bằng phương pháp tối ưu điểm trong
IP (Interior Point). Phương pháp rời rạc hóa biến điều khiển bằng các đoạn hằng số
(piece-wise constant) đã được sử dụng trong luận văn này cũng phù hợp với phương
pháp điều khiển số hiện hành. 06 ví dụ từ đơn giản đến phức tạp trong điều khiển
tối ưu suy biến đã được dùng để minh họa thuật toán và so sánh với các phương
pháp điều khiển khác.
Từ khóa: tối ưu động, điều khiển tối ưu suy biến, hệ phương trình vi phân đại
số, collocation trực giao, phương pháp tựa tuần tự, tối ưu phi tuyến, phương pháp
tối ưu điểm trong. iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn ………………………………………………………………
i
Lời cam đoan ……………………………………………………………
ii
Tóm tắt luận văn …………………………………………………………
iii
Mục lục ……………………………………………………………………
iv
Danh mục hình vẽ ………………………………………………………

13
1.3.2.1 Phương pháp biến phân ………………………………………….
13
1.3.2.2 Phương pháp quy hoạch động Bellman ………………………….
17
1.3.2.3 Nguyên lý cực đại Pontryagin ……………………………………
21
1.3.3 Các phƣơng pháp trực tiếp ……………………………………….
28
1.3.3.1 Các cơ sở toán học ……………………………………………….
28

v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN Phương pháp collocation trực giao ………………………………
28
Phương pháp Newton-Raphson …………………… …………
30
1.3.3.2 Phương pháp đồng thời (Simultaneous Approach) …………………
31
1.3.3.3 Phương pháp tuần tự (Sequential Approach) ……………………….
33
1.3.3.4 Phương pháp tựa tuần tự (Quasi-Sequential Approach QS-SQA) ….
35
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƢU CHO HỆ CÓ PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI SUY BIẾN
39
2.1 Bài toán điều khiển tối ƣu ………………………………….…

50
2.3.2.7 Method eval_jac_g ……………………………………………
51
2.3.2.8 Method eval_h ……………………………………………….…
52
2.3.2.9 Method finalize_solution …………………………………
54
2.3.2.10 Hàm main()…………………………………………………….
55
Chƣơng 3. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA & KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
56

vi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 3.1 Ví dụ minh họa ………………………………………… …….
56
3.1.1 Ví dụ 1 ……………………………………………………………
56
3.1.2 Ví dụ 2 ………………………………………………………………
58
3.1.3 Ví dụ 3 ………………………………………………………………
60
3.1.4 Ví dụ 4 ………………………………………………………………
60
3.1.5 Ví dụ 5 ………………………………………………………………
63
3.1.6 Ví dụ 6 ………………………………………………………………
65

Hình 3.2b: Tín hiệu điều khiển với J
min
=0.2683938 trong [18] (ví dụ 2)….… 59
Hình 3.3a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái và điều khiển (ví dụ 3)…………… 61
Hình 3.3b: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=0.7539845 trong [18] (ví dụ 3)… 61
Hình 3.4a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái và điều khiển (ví dụ 4)……………. 62
Hình 3.4b: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=1.2521134 trong [18] (ví dụ 4) 62
Hình 3.5a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 5)………………………… 63
Hình 3.5b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 5)……………………….…. 64
Hình 3.5c: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=0.11928 trong [18] (ví dụ 5)… 64
Hình 3.6a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 6)………………………….… 66
Hình 3.6b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 6)………………………… 66
Hình 3.6c: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=2.335x10
-9
trong [18] (ví dụ 6)… 67 viii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
LỜI NÓI ĐẦU
Cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật và công nghệ ở các nước trong khu vực và
trên thế giới đang trong thời kỳ phát triển như vũ bão đã đưa Việt Nam đứng trước
rất nhiều cơ hội và thách thức mới trên con đường công nghiệp hóa – hiện đại hóa
đất nước.
Quá trình công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước đòi hỏi đội ngũ các nhà khoa
học, cán bộ kỹ thuật phải không ngừng nghiên cứu, học tập nâng cao trình độ để kịp
thời tiếp cận, từng bước làm chủ các kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại và công
nghệ tiên tiến.
Chương trình đào tạo thạc sĩ tại Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái
Nguyên nhằm đào tạo những cán bộ khoa học có trình độ cao để tiếp thu và làm chủ
công nghệ hiện đại để phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy và sản xuất. Là
một giáo viên đang tham gia giảng dạy tại một trường kỹ thuật, tôi đã rất cố gắng nỗ
lực tham gia khoá đào tạo thạc sĩ khoá 12 của trường. Để đánh giá kiến thức đã lĩnh
hội được trong toàn khoá học, thể hiện bằng kết quả học tập cụ thể cuối khóa, tôi đã
nhận đề tài luận văn tốt nghiệp: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển
có phương trình trạng thái dạng suy biến bằng phương pháp số” dưới sự hướng
dẫn khoa học trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Hữu Công.
Nghiên cứu phương pháp số trong điều khiển tối ưu cho hệ thống động nói
chung và điều khiển tối ưu suy biến nói riêng luôn là vấn đề thời sự trong kỹ thuật
điều khiển tự động bởi các hệ thống cần được điều khiển ngày càng phức tạp hơn.
Để thực hiện đề tài nêu trên, cấu trúc luận văn được chia thành 04 chương:
 Chƣơng 1: Bài toán tối ưu tổng quát.

sống, kinh tế cũng như trong lĩnh vực khoa học, công nghệ. Tối ưu tĩnh (static
optimization) và tối ưu động (dynamic optimization) là hai lĩnh vực gắn bó mật thiết
với nhau. Xét về mặt toán học, tối ưu tĩnh liên quan đến bài toán tối ưu trong không
gian thực hữu hạn chiều R
n
, cảm sinh từ không gian chuẩn Euclide. Các bài toán tối
ưu động là các bài toán tối ưu trong các không gian hàm vô số chiều. Do đó bài toán
tối ưu động trên thực tế có thể được xem như là trường hợp suy rộng của bài toán
tối ưu tĩnh.
1.1 Giới thiệu và phân loại bài toán tối ƣu
1.1.1 Giới thiệu chung
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng
đến hầu hết các lĩnh vực khoa học – công nghệ và kinh tế – xã hội. Trong thực tế,
việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan
trọng. Phương án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài
nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao.
Để có thể hình thành bài toán tối ưu, trước hết chúng ta cần xác định hàm mục
tiêu, chính là sự đánh giá chất lượng hoạt động của hệ thống cần nghiên cứu. Hàm
mục tiêu này có thể là lợi nhuận, thời gian, năng lượng, hoặc bất kì một đại lượng
nào hoặc tổng hợp của một số đại lượng mà được đại diện bằng một giá trị vô
hướng duy nhất. Hàm mục tiêu phụ thuộc vào các đặc tính nhất định của hệ thống,
mà được gọi là các biến hoặc các ẩn số. Mục tiêu của chúng ta là tìm ra giá trị của
các biến làm tối ưu hàm mục tiêu. Thông thường thì các biến bị giới hạn, hay bị
Giới thiệu và phân loại bài toán tối ưu 2
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
ràng buộc theo các điều kiện nào đó. Ví dụ như số các điện tử trong một phân tử và
lãi suất thì không thể là số âm.
Quá trình xác định hàm mục tiêu, các biến, và các ràng buộc cho một bài toán


Giới thiệu và phân loại bài toán tối ưu 3
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

Phƣơng pháp
gián tiếp
Phƣơng pháp
đồng thời
Phƣơng pháp
trực tiếp
Phƣơng pháp
lần lƣợt
TỐI ƢU HÓA
Tối ƣu tĩnh
Tối ƣu động
Tối ƣu
tiền định
Tối ƣu
ngẫu nhiên
Phƣơng pháp
tựa lần lƣợt
Rời rạc hóa
đầy đủ
Rời rạc hóa
(biến điều khiển)
Tính Gradient
Mô phỏng
hệ điều khiển

 Interger Programming: tối ưu nguyên,
 Stochastic Programming: tối ưu ngẫu nhiên,
 Constrained: (tối ưu) có ràng buộc (hay giới hạn),
 Network Programming: tối ưu mạng,
 Bound Constrained: ràng buộc biên trị,
 Nonlinearly Constrained: (tối ưu) với ràng buộc phi tuyến,
 Linear Programming: tối ưu tuyến tính,
 Unconstrained: (tối ưu) không có ràng buộc (hay giới hạn),
 Nonlinear Equations: tối ưu phi tuyến,
 Nonlinear Least Squares: tối ưu bình phương cực tiểu phi tuyến,
 Global Optimization: tối ưu toàn cục,
 Nondifferentiable Optimization: Tối ưu (với hàm) không khả vi.
Các phương pháp toán học giải các lớp bài toán tối ưu tổng quát như nêu trên
đây được gọi là các phương pháp tối ưu toán học (hay các phương pháp quy hoạch
toán học). Trong số các bài toán trên thì các BTQHTT đã được giải quyết khá tốt
nhờ phương pháp đơn hình (Simplex) nổi tiếng. BTQHPT liên tục là dạng phổ biến,
bao trùm và hiện đang được quan tâm nhất. Do đó trong đề tài này, tác giả chỉ tập
trung vào dạng bài toán này. Bài toán tối ưu tĩnh 5
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1.2 Bài toán tối ƣu tĩnh Hình 1.2: Sơ đồ hình cây của bài toán tối ưu tĩnh tổng quát.
(Nguồn:
1.2.1 Khái niệm


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
12
22
12
,
2
12
2
1
min ( 3) ( 2)
saocho
30
10
0
xx
xx
xx
x
x
  
  


(1.2)
Hàm mục tiêu và ba bất phương trình giới hạn lần lượt là:

Hình 1.3: Đồ thị của bài toán 1.1.
22
1 2 1 2

K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1.2.2 Bài toán tối ƣu phi tuyến liên tục
Bài toán tối ưu phi tuyến liên tục được mô tả ở dạng tổng quát như sau:

min ( )
n
xR
fx

(1.4a)
sao cho

( ) 0gx
(1.4b)

( ) 0hx
(1.4c)
trong đó
( ), ( ), ( )f x g x h x
là các hàm liên tục khả vi đến cấp 2.
Hàm Lagrange của bài toán (1.4) được viết như sau:
( , , ) ( ) ( ) ( )
TT
L x f x g x h x     
(1.5)
trong đó  vector nhân tử Lagrange của ràng buộc dạng phương trình,  là vector
nhân tử Lagrange của ràng buộc dạng bất phương trình.
Gradient của (1.5) với biến x được cho bởi:

(1.8e)
trong đó s là các biến phụ được thêm vào để biến các ràng buộc không cần bằng
thành các ràng buộc dạng phương trình,
[1 1] , { }, { }.
T
e S diag s V diag   

Hiện nay trong việc giải bài toán tối ưu liên tục phi tuyến có khá nhiều phương
pháp với những ưu nhược điểm và phạm vi ứng dụng đặc thù với mỗi loại bài toán
riêng biệt [12]. Tuy nhiên có hai nhóm phương pháp khá mạnh đang được áp dụng
rộng rãi là: Sequential Quadratic Programming methods (SQP) - quy hoạch toàn
phương liên tiếp và Interior Point (IP) methods - phương pháp điểm trong [12].
Bài toán tối ưu tĩnh 8
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Phương pháp tối ưu toàn phương liên tiếp (Sequential Quadratic Programming -
SQP) đã được chứng minh là rất hiệu quả để giải BTQHPT liên tục. Hai phương án
phân biệt được ứng dụng trong phương pháp SQP để giải quyết các ràng buộc dạng
bất phương trình theo phương pháp Tựa-Newton (Newton-like) là: phương pháp tập
ràng buộc tích cực AS-SQP (active-set SQP) và phương pháp hàm chặn IP-SQP
(barrier SQP), hay còn gọi là phương pháp điểm trong (Interior-Point IP).
1.2.3 Phƣơng pháp SQP với tập giới hạn tích cực (AS-SQP)
Hệ KKT (1.8) bao gồm điều kiện bù (1.8d) và điều kiện không âm (1.8e), mà
chính là phần khó khăn nhất trong việc giải hệ phương trình KKT. Khi giải hệ KKT,
phương trình ràng buộc (1.8d) và bất phương trình (1.8e) phụ thuộc lẫn nhau và làm
cho hệ KKT có ma trận điều kiện yếu tại vị trí gần nghiệm.
Phương pháp AS-SQP thay thế (1.8d) bằng các giá trị
0, và 0,
ii

   
  
    
(1.9)
và tìm tập tích cực (x) trong bài toán QP nhằm thỏa mãn các điều kiện (1.8d-1.8e).
Hệ KKT cho bài toán QP này là:

( , , ) ( ) ( ) ( ) 0
k k k k k T k k T k
x x x x
W x d f x g x h x       
(1.10a)

( ) ( ) 0
k T k
xk
g x d g x  
(1.10b)

( ) ( ) 0
k T k
xx
h x d h x s   
(1. 10c)

0SVe 
(1. 10d)

( , ) 0s 
(1. 10e)

min ( ) ln( )
i
xs
i
f x s



I
(1.11a)
sao cho

( ) 0gx
(1.11b)

( ) 0h x s
(1.11c)
Đại lượng logarit trong (1.11) sẽ tự chặn trong hàm mục tiêu khi các ràng buộc
dạng bất phương trình (1.4c) tiến tới các điểm trên biên. Bằng cách giảm dần giá trị
tham số  đến 0, nghiệm của bài toán (1.11) sẽ tiến tới nghiệm của bài toán (1.4).
Hàm Lagrange của bài toán (1.11) được viết như sau:
 
( , , , ) ( ) ln( ) ( ) ( )
TT
i
i
L x s f x s g x h x s

      



( , , , ) 0
x
L x s   
(1.16a)

( , , , ) 0
s
L x s   
(1.16b)

( ) 0gx
(1.16c)

( ) 0h x s
(1.16d)
Thay (1.13-1.14) vào (1.16a-1.16b) ta được:
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
TT
x x x
f x g x h x
SVe
gx
h x s
       




x
x
W x s g x h x
L x s
s
VS
L x s
gx
gx
h x I
h x s
  

   
  





  










     
          
     
(1.19)
trong đó  chính là độ rộng bước tính (
01  
) và giá trị này được tính toán nhờ
các phương pháp tìm kiếm theo đường thẳng (line search) hoặc phương pháp vùng
tin cậy (trust-region) sử dụng hàm chất lượng.
Với giả thiết
1
( , , ) ( )( ) ( )
k k k k T
xx
W x h x S V h x

   
xác định dương trong hạch
(null space) của
()
x
gx
[6], việc tìm nghiệm
k
x
của hệ (1.18) tương đương với
việc gải bài toán QP sau:
Bài toán tối ưu tĩnh 11
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh


pháp tập tích cực đã trình bày ở trên. Khi đó, hệ KKT của (1.20) được cho bởi:

( , , ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
k k k k k T k k T k
x x x x
k k k
s
k T k
xk
k T k
x x s
W x d f x g x h x
Vd S V e
g x d g x
h x d h x d s
        
  
  
    
(1.21)
1.2.5 Những so sánh giữa hai phƣơng pháp AS-SQP và IP-SQP
Nhóm phương pháp AS-SQP nhìn chung được áp dụng rất hiệu quả với các bài
toán từ cỡ nhỏ đến trung bình, trong khi các phương pháp IP-SQP lại tỏ ra đáp ứng
tốt với các bài toán tối ưu toàn phương lồi cỡ lớn.
Đối với bài toán tối ưu toàn phương lồi, nhóm phương pháp AS-SQP thực hiện
một số lượng lớn các bước tính toán mà trong đó hướng tìm nghiệm được tính toán
một cách khá dễ dàng, trong khi nhóm phương pháp IP-SQP lại sử dụng một số
lượng ít hơn những bước tính toán khó khăn hơn [12]. Điều này xuất phát từ sự

những giá trị ở chế độ làm việc xác lập, v.v Các hệ thống mạch điện bao gồm
những phần tử cơ bản như điện trở, tụ điện và điện cảm được mô tả bằng những hệ
phương trình vi phân mà được tổng hợp lại bằng các định luật Kirchhoff dưới dạng
các phương trình đại số. Trong các hệ thống cơ khí, những hệ phương trình vi phân
thường được dùng để mô tả các quá trình động học của những hệ thống con và các
phương trình đại số được dùng để tổng hợp các ràng buộc tại các khớp nối.
Nhiệm vụ của bài toán tối ưu động là thực hiện việc tìm kiếm một luật điều
khiển cho một hệ thống cho trước nhằm đạt được một tiêu chí tối ưu nhất định. Bài
toán như vậy bao gồm một hàm chi phí chứa các biến trạng thái (còn gọi là biến phụ
thuộc) và các biến điều khiển (còn gọi là biến độc lập) cùng với một tập hợp các
phương trình vi phân-đại số mô tả hệ thống động học cần được tối ưu. Việc giải bài
toán tối ưu động nói trên chính là việc đi tìm quỹ đạo của các biến điều khiển nhằm
giảm thiểu giá trị hàm chi phí như: tìm đường đi ngắn nhất, tìm thời gian xảy ra quá
trình ngắn nhất, cực tiểu hóa chi phí, cực tiểu hóa thời gian tác động, giảm giá thành
sản phẩm, v.v
1.3.1 Khái niệm
Một bài toán tối ưu với hệ thống động học được mô tả bằng hệ phương trình
DAEs dưới dạng tổng quát như sau:

 
( ), ( ), ( ),
min ( ), ( ), ( ),
z t y t u t t
z t y t u t t
(1.22a)
sao cho
Bài toán tối ưu động 13
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

pháp được chia thành hai nhánh: phương pháp gián tiếp và phương pháp trực tiếp.
Phương pháp gián tiếp tập trung tìm nghiệm theo hướng giải tích dựa vào điều
kiện cần của nghiệm tối ưu để giải bài toán hai điểm đầu-cuối [9,11]. Phương pháp
này chỉ phù hợp với các bài toán tương đối đơn giản và không có các điều kiện biên.
Với các bài toán phức tạp và tồn tại điều kiện biên cũng như các ràng buộc thì
phương pháp này tỏ ra không hiệu quả.
Trái lại, phương pháp trực tiếp tiến hành tìm nghiệm tối ưu một cách trực tiếp
theo phương pháp số. Trong phương pháp này, người ta tiến hành rời rạc hóa bài
toán tối ưu động vô số chiều (1.22) thành bài toán toán tối ưu phi tuyến hữu hạn
chiều. Do tính tương đối đơn giản và nhờ khả năng tính toán và lập trình ngày càng
được nâng cao, phương pháp trực tiếp ngày càng thu hút được sự quan tâm nghiên
cứu.
1.3.2 Các phƣơng pháp gián tiếp
1.3.2.1 Phương pháp biến phân
Nhiệm vụ của điều khiển tối ưu là giải bài toán tìm cực trị của phiếm hàm
 
( ), ( ), ( ),z t y t u t t
bằng cách chọn tín hiệu điều khiển u(t) với những điều kiện
hạn chế của đại lượng điều khiển và biến trạng thái. Một trong những công cụ toán
học để xác định cực trị là phương pháp biến phân cổ điển Euler-Lagrange.