Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Phần 1: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Kiến thức nền tảng:
- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A.
- Chiều dài quỹ đạo: 2A.
2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động
tròn đều.
Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ
góc là ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M
0
và tạo với trục
ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với
trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là
OP có độ dài đại số .
Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.
* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh"
trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới
hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện
xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần
thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán.
3. Các dạng bài toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều. Các
bước thực hiện như sau :
- Xác định các vị trí x

Trang 2
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
b.
c.
NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài
toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại thì
Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác
sau:
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t
2
– t
1
= n.T + T/2 + T/4 + t
0
(n ЄN; 0 ≤ t
0
< T/4)

2
- x
1
|
Trang 3
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
• Nếu trong thời gian t
0
mà vật đổi chiều chuyển động (v
1
và v
2
trái dấu) thì để tính quãng đường đi được
trong thời gian cuối t
0
ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S
2
. Từ đó quãng đường tổng cộng là
S = S
1
+ S
2

CHÚ Ý :
+ Nếu Δt = T/2 thì S
2
= 2A
+ Tính S
2
bằng cách định vị trí x

- Tại thời điểm t = 2s :
- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s
cuối là S
2
= .
Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =
Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S
1
= 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên
đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng
đường đi được. Độ dài hình chiếu này là .
Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =
Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2.
Cách giải:
NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một
khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí
biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán. Góc quét Δφ =
ωΔt.
• Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục sin (hình 1)
Trang 5
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
• Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M

ta có:
c. Do Quãng đường mà vật đi được trong luôn là 2A. Quãng đường nhỏ
nhất mà vật đi được trong chính là quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong . Theo câu a ta tìm
được quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là .
Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là
Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ
trung bình lớn nhất của vật trong .
Hướng dẫn giải : Góc quét
Trang 7
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt. Biết tại thời
điểm t vật có li độ x = x
0
.
Cách giải:
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x
0
Lấy nghiệm ωt + φ = α với
ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (vật
chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:
hoặc
Ví dụ điển hình :
Một vật dao động điều hòa với phương trình:
a. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,25s
b. Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,125s
c. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s
Hướng dẫn giải:
4. Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Gọi M và N là hai biên của vật

= -A/2 đến x
2
= -A
e) x
1
= A đến x
2
= A f) x
1
= A đến x
2
= A g) x
1
= A đến x
2
= -A/2
Phần 2: NĂNG LƯỢNG GIAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Động năng
- Là năng lượng sinh ra do sự chuyển động của vật, được tính theo công thức
2. Thế năng
a. Thế năng của con lắc lò xo (Thế năng đàn hồi)
- Là năng lượng sinh ra do sự đàn hồi của lò xo, được tính theo công thức
b. Thế năng của con lắc đơn (Thế năng trọng trường)
- Là năng lượng sinh ra do trọng lực của vật năng, được tính theo công thức
Khi góc lệch α nhỏ thì có thể dùng công thức gần đúng
Thay
Vậy với con lắc đơn ta có công thức tính gần đúng thế năng: 3
Trang 9
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
3.Cơ năng trong dao động điều hòa

t
, để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như
sau.
• Tính li độ thì quy về theo Thế năng:
• Tính vận tốc thì quy về theo Động năng:
6. Ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang với cơ năng W = 0,02J. Lò xo có chiều dài tự nhiên là ℓ
0
=
20cm và độ cứng của lò xo k = 100 N/m. Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là bao
nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Từ công thức tính cơ năng ta có:
Do lò xo chuyển động theo phương ngang nên Δℓ
0
= 0 → Chiều dài cực đại của lò xo là ℓ
max
= ℓ
0
+ A = 22cm
Chiều dài cực tiểu của lò xo là ℓ
min
= ℓ
0
- A = 18cm
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có m = 100 g, k = 10 N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo ℓ
0
=
30cm. Lấy g = 10 m/s
2

thì lò xo có chiều dài là 40 - 1,5 = 38,5cm
c. Khi lò xo có chiều dài 38,5 cm thì nó có cách vị trí cân bằng 1,5 cm. Khi đó |x| = 1,5 cm. Áp dụng hệ thức liên hệ
ta tính được tốc độ v của vật:
Khi đó động năng của vật là:
d. Khi W
d
= W
t
thì ta có:
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,314s. Khi vận tốc của vật có độ lớn 40 cm/s thì động năng
bằng thế năng. Tính biên độ dao động của vật.
* Hướng dẫn giải:
Tần số góc
Khi động năng và thế năng bằng nhau ta có:

Áp dụng hệ thức liên hệ ta có:

Vậy biên độ dao động của vật là .
Trang 14
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Ví dụ 4: Một con lắc lò dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω. Thế năng của vật gấp ba lần động năng khi
tốc độ của vật có giá trị là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy khi thì thế năng gấp ba lần động năng.
Phần 3: CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN
1. Cấu tạo:
- Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn
lại gắng vào vật có khối lượng m.
- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và

được cho bởi biểu thức . Mà nên
. Từ đó ta có công thức tính chu kỳ tần
số dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:
Trang 16
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động:
• Chiều dài tại VTCB:
• Chiều dài cực đại :
• Chiều dài cực tiểu :
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (F
dh
):
• Phương : cùng phương chuyển động của vật.
• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng.
• Độ lớn : , với là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén).
Gọi x là vị trí đang xét .
Chú ý :
Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta
chọn như thế nào.
• Đơn vị : Fdh (N); k(N/m); (m)
Các trường hợp đặc biệt:
- Lực đàn hồi cực đại :
- Lực đàn hồi cực tiểu :
Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số thì ta hiểu là .
4.3. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang.
Trang 17
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Đặc điểm :
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức .
Mà nên :

2
,
vào vật khối lượng (m
1
+ m
2
) được chu kỳ T
3
, vào vật khối lượng (m
1
– m
2
), (m
1
> m
2
) được chu kỳ T
4
. Khi
đó ta có : và .
6. Ví dụ điển hình
Ví dụ 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 500g được treo vào đầu một lò xo theo phương thẳng đứng, độ cứng lò xo
k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s
2
.
a. Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc
b. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động.
c. Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động.
Hướng dẫn giải :

Ví dụ 4 :
Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài , được treo thẳng đứng phía dưới treo
một vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29cm
đến 35cm. Cho g = 10m/s
2
.
a. Tính chu kỳ dao động của con lắc.
b. Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5cm và đang
chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.
Trang 21
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Hướng dẫn giải:
a. Theo bài ta có chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là:

Mà ;
Độ biến dạng của lò xo tại ví trí cân bằng là :
b. Gọi phương trình dao động là :
ở vị trí cân bằng lò xo dài 32cm nên khi lò xo có chiều dài 33,5cm và chiều dương hướng lên trên thì li độ
của vật là
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 5 :
Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc so với mặt phẳng nằm ngang. Vật đang ở vị trí
cân bằng O thì lò xo dãn một đoạn lấy g = 10m/s
2
. Kích thích cho vật dao động điều hòa nó sẽ
dao động với tốc độ cực đại là 40cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc thời gian
là khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động là:

Nguyên nhân làm cho con lắc lò xo dao động điều hòa là do có lực phục hồi
F kx
= −
1. Xét con lắc lò xo nằm ngang.
Lực đàn hồi tác dụng vào con lăc có độ lớn
F k x
=
• Lực đàn hồi cực đại: F
Max
= kA (Vật ở VT biên)
• Lực đàn hồi cực tiểu: F
Min
= 0 (Vật ở VT CB)
2. Con lắc lò xo treo thẳng đứng.
Lực đàn hồi tác dụng lên con lắc trong quá trình dao động là
Trang 23
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
( )F k l x
= ∆ +
(Chiều dương con lắc hướng xuống)
Hoặc
( )F k l x
= ∆ −
(Chiều dương con lắc hướng lên)
(
l
∆
là độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng). Lực này có:
+ Phương thẳng đứng.
+ Chiều ngược với hướng biến dạng của lò xo.

= k(A - ∆l) lúc này lò xo chiều dài ngắn nhất.
• Lực đàn hồi cực tiểu: F
Min
= 0 (Vật ở x = - ∆l)
c. Trường hợp 3: A =
l
∆
(Biên độ dao động bằng độ biến dạng của lò xo tại VTCB).
• Lực kéo đàn hồi cực đại: F
Max
= k(A + ∆l) lúc này lò xo có chiều dài lớn nhất.
• Lực đàn hồi cực tiểu: F
Min
= 0 (Vật ở x = - ∆l)
II. PHƯƠNG PHÁP
Khi gặp bài toán con lắc lò xo nằm ngang thì việc giải bài toán dễ dàng. Ở đây ta chỉ chú trọng làm sao để
giải nhanh bài toán lực khi con lắc lò xo treo thẳng đứng. Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Xác định độ biến dạng ∆l.
mg
l
k
∆ =
hoặc
2
g
l
ω
∆ =
Bước 2: Thực hiện tính toán theo yêu cầu của đề ra:
• Nếu bài toán tìm lực kéo đàn hồi cực đại thì dù trong trường hợp nào (A

thì F
Min
= k(∆l - A)
III. BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Một con lắc lò xo gồm một quả nặng có khối lượng m = 200g. lò xo có độ cứng k = 100N/m. Cho
vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A. Tìm lực kéo đàn hồi cực đại, lực nén đàn hồi
cực đại, lực đàn hồi cực tiểu trong các trường hợp:
a. A = 1,5cm.
b. A = 3cm.
Bài 2: Một vật có khối lượng m = 200g treo vào lò xo có độ cứng k = 50N/m. Kéo vật xuống dưới VTCB
một đoạn 3cm rồi truyền cho nó một vận tốc
20 3 /cm s
π
cùng phương. Tìm lực đàn hồi lớn nhất, nhỏ
nhất trong quá trình dao động của con lắc.
Bài 3: Vật có khối lượng m = 1kg treo vào đầu dưới của lò xo có hệ số đàn hồi k, vật dao động theo pt: x =
10cos
π
(2 t )
6
cm
π
+
.Tính lực phục hồi, lực đàn hồi của lò xo tại thời điểm t = 1s. Biết trục 0x có chiều
dương hướng xuống, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng.
Phần 5: LỰC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động với biên độ 4cm, chu kỳ 0,5s. Khối lượng quả nặng
400g. Lấy π
2
= 10, cho g = 10m/s