Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 1
MỘT VÀI THỂ HIỆN CỦA THẾ GIỚI QUAN VÀ PHƯƠNG PHÁP
LUẬN DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG VIỆC XEM XÉT TOÁN HỌC
VÀ VẬN DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU, GIẢNG DẠY TOÁN HỌC
ThS Nguyễn Thành Trung
I. Mở đầu.
Mối quan hệ biện chứng giữa toán học và triết học làm bộc lộ vai trò định
hướng to lớn của triết học đối với toán học. Là người nghiên cứu toán học, hơn
hết, phải biết vận dụng triết học vào công tác chuyên môn, định hướng cho việc
nghiên cứu, giảng dạy toán học. Do thế giới quan và phương pháp luận của chủ
nghĩa duy vật biện chứng là khoa hoc, đúng đắn nhất, nên phần này sẽ sử dụng
nó để kiến giải sự phát triển của toán học qua đó rút ra ý nghĩa, phục vụ cho
công tác nghiên cứu, giảng dạy toán học.
Do phần này chủ yếu viết theo hướng vận dụng nên những vấn đề nghiên
về lí thuyết cũng như những vấn đề mang tính chuyên môn cao sẽ không được
trình bày sâu. Chỉ đi sơ lượt để thấy được hướng vận dụng như thế nào mà thôi.
Do đó, những ví dụ chọn minh hoạ là những ví dụ cơ bản, phổ thông, nhưng trực
quan, dễ hiểu không đòi hỏi phải có kiến thức sâu về toán học.
II. Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học.
II.1. Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển
của toán học.
Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mac và Ăng-
ghen đã chứng minh được khoa học, trong đó có toán học, không những phát
sinh mà luôn phát triển trên cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống,
hoạt động sản xuất, và những vấn đề của các khoa học khác.
Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh các tập hợp người lao
động và công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảy sinh số đếm, nhu
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 2
cầu đo đạt ruộng đất ở sông Nil sau mỗi trận lụt làm hình học hình thành và phát
triển… Nhu cầu nghiên cứu vận động, trước hết là vận động cơ học, làm nảy
sinh phép tính vi phân rồi tích phân.

+1/27 =0
Rõ ràng phương trình cuối này vô nghiệm nên phương trình (*) là vô
nghiệm (mâu thuẫn).
Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai của số
âm và làm nảy sinh số phức.
II.3. Mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình
thành làm cho toán học phát triển không ngừng.
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 3
Theo lịch sử toán học, do nhu cầu chia vật làm xuất hiện số hữu tỷ, đến đây
thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng mâu thuẫn mới lại xuất
hiện làm nảy sinh số phức….
Tóm lại, mâu thuẫn luôn xuất hiện và là động lực thúc đẩy toán học. Khi
mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là toán học đã làm hết công việc của
mình, mà vấn đề mới luôn đặt ra, mâu thuẫn mới luôn xuất hiện, đòi hỏi và thúc
đẩy toán học ngày càng phát triển, ngày càng hoàn thiện và mở rộng không
ngừng.
II.4. Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán học.
II.4.1. Trong công tác nghiên cứu toán học.
Phát hiện và giải quyết mâu thuẫn. Nghiên cứu toán học không có nghĩa là
tự bản thân nhà toán học nghĩ ra điều gí đó mới lạ, mà vấn đề nghiên cứu phải
bắt nguồn từ mâu thuẫn- đó là những bài toán học mà thực tiễn cuộc sống đang
đặc ra cũng như những vấn đề mà nội bộ toán học đang bế tắc.
Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ toán học
cần gì thì ta sẽ giải quyết điều đó. Cần có cái nhìn biện chứng, tự thân phủ định
và tạo mâu thuẫn trong toán học.
Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu. Khi bài
toán đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không cho phép nhà toán
học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu. Khi đó có thể trả lời những câu hỏi
sau :
1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?

hàm tại x
0
không?”
3) Quy nạp tuong tự
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có
Trong tứ diện ABCD vuông tại A , đường cao AH ( tứ diện tương tự tam
giác là có đỉnh ít nhất) ta có: hay không?
4) Khái quát hoá.
5) Phát hiện sai lầm và nguyên nhân sai lầm.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AB AC AD
= + +
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 5
6) Ví dụ và phản ví dụ. v.v…
III. Cái chung - cái riêng; Phủ định của phủ định- cơ sở các phát minh
toán học.
III.1. Các phát minh toán học là sự mở rộng cái riêng và là sự phủ
định biện chứng.
III.1.1. Các hình thứ mở rộng.
Mở rộng hoàn toàn. Ví dụ việc mở rộng tập hợp số là một mở rộng hoàn
toàn.
Mở rộng là một thu hẹp tương đối.
Ví dụ trong không gian Topo (X,T), người ta đưa vào thêm khái niệm
khoảng cách, metric, ta được không gian Metric (X,d); đưa vào khái niệm
chuẩn, được không gian định chuẩn (X,