ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Mạnh Hân
PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2010
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Mạnh Hân
PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60.46.30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh
Hà Nội - 2010
Lời nói đầu
Phương trình với toán tử đơn điệu, lớp mô hình toán học tiêu biểu cho
nhiều bài toán thực tiễn, trong nhiều trường hợp là bài toán đặt không chỉnh
theo nghĩa Hadamard.
Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu như a) nó có nghiệm, b) nghiệm
duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một nghĩa nào đó) vào dữ liệu
của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì ta
nói rằng bài toán đặt không chỉnh.
Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý
vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Tuy nhiên, nhiều
bài toán của thực tiễn, khoa học công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh.
Chính vì những lý do này, vào đầu thập kỷ 50 của thế kỷ trước, nhiều nghiên
cứu đã đề cập tới bài toán đặt không chỉnh. Các nhà toán học A.N. Tikhonov,

pháp Newton hiệu chỉnh song song giải bài toán đặt không chỉnh. Phần cuối
của chương, trình bày một số ví dụ minh hoạ cho kết quả lý thuyết.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người
hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, người đã đưa ra
đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu
ii
Lời nói đầu
của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn
trong thời gian học tập tại trường, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu
và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng
chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có
thế hoàn thành khóa học. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là
bạn bè trong nhóm Toán học tính toán 08-10, đã động viên và cổ vũ rất nhiều
trong suốt thời gian vừa qua.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
quý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Học viên
Trần Mạnh Hân
iii
iv
Bảng ký hiệu
Bảng ký hiệu
R = R ∪{−∞, +∞} tập số thực mở rộng
P
Ω

(x) đạo hàm Frechet của toán tử A tại x
A

w
(x) đạo hàm Gâteaux của toán tử A tại x
S tập nghiệm của phương trình A(x) = f
x
†
nghiệm với chuẩn nhỏ nhất
x
δ
α
nghiệm hiệu chỉnh theo tham số α
(trong trường hợp dữ liệu có nhiễu)
x
α
n
xấp xỉ hiệu chỉnh thứ n theo tham số α
v
Mục lục
1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev 1
1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . 12
1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh 16

Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
ban đầu f, có nghĩa là x = R(f). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là
những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρ
X
(x
1
, x
2
)
và ρ
Y
(f
1
, f
2
), x
1
, x
2
∈ X, f
1
, f
2
∈ Y .
Giả sử nghiệm của một bài toán được xác định theo công thức x = R(f).
Nghiệm x được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi số  > 0
có thể tìm được một số δ() > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1

2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
mãn ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.
Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm
tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên
cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian
metric khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1), dữ kiện ban đầu
ở đây chính là toán tử A và vế phải f.
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi
2
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
f
δ
với sai số ρ
Y
(f
δ
, f) ≤ δ. Như vậy, với (f
δ
, δ) ta cần phải tìm một phần tử
x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1.1) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có tính

dựng thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán không chỉnh.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán đặt không
chỉnh dạng phương trình toán tử
A(x) = f, (1.2)
ở đây A là một toán tử từ không gian Hilbert H vào chính nó, f ∈ H. Nghiệm
của bài toán (1.2) có thể tồn tại không duy nhất. Do vậy, ta cần đưa ra một
tiêu chuẩn đối với nghiệm. Trong thực tế, người ta hay chọn nghiệm của bài
toán gần một điểm cho trước nào đó.
1.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.1.2. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
y(t) =

b
a
K(t, s)x(s)ds := Ax(t) (1.3)
3
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
với x ∈ C[a, b], y ∈ L
2
[a, b] và nhân tích phân K(t, s) cùng với
∂K
∂t
là các hàm
liên tục.
Nếu x ∈ X thì Ax ∈ C
1
[a, b]. Vậy với mọi y ∈ L
2
\C
1

− y
1
 =


b
a
[y
2
(t) − y
1
(t)]
2
dt

1
2
= |ω|



b
a


b
a
K(t, s) sin (Ns)ds

2

− x
2
 = |ω| > 0. Vậy bài toán đặt không chỉnh do điều kiện (3)
không thỏa mãn.
Ví dụ 1.1.3. Xét bài toán truyền nhiệt















∂u
∂t
=
∂
2
u
∂
2
x
,

∞

n=1
a
n
e
−n
2
T
sin (nx) =
2
π

π
0
K(x, s)u
0
(s)ds,
4
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
với K(x, s) =
∞

n=1
e
−n
2
T
sin (nx) sin (ns). Để tìm u
0

0
cũng đơn điệu.
• A, B là đơn điệu thì tổng A + B, tích λA, λ > 0 và toán tử nghịch đảo
A
−1
cũng là toán tử đơn điệu.
• Nếu trong toán tử đơn điệu A và B có ít nhất một toán tử đơn điệu chặt
thì tổng A + B cũng đơn điệu chặt.
5
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
• Với A : X → X
∗
là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương với
tính xác định không âm:
Ax, x ≥ 0 ∀x ∈ D(A).
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A : H → H, trong đó H là không gian Hilbert,
được gọi là đơn điệu nếu
x − y ≤ x − y + λ(A(x) − A(y)) ∀x, y ∈ D(A) và λ ≥ 0.
Dễ thấy các Định nghĩa 1.2.3 và 1.2.1 là tương đương.
Ví dụ
1. Giả sử rằng ϕ : X → R là hàm lồi chính thường và tồn tại dưới vi phân
∂ϕ : X → 2
X
∗
. Khi đó toán tử ∂ϕ là đơn điệu. Thật vậy, ∀x, y ∈ domϕ ta có
ϕ(y) −ϕ(x) ≥ f, y − x, f ∈ ∂ϕ(x),
ϕ(x) − ϕ(y) ≥ g, x −y, g ∈ ∂ϕ(y).
Cộng hai bất đẳng thức ta thu được
f − g, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ domϕ, f ∈ ∂(x), g ∈ ∂(y).
2. Cho H là không gian Hilbert, A : H → H là toán tử không giãn, tức là

Ω
(x) − x, z −P
Ω
(x) ≥ 0 ∀z ∈ Ω. (1.5)
Thật vậy, ta có
x − z
2
≥ x − P
Ω
(x)
2
+ 2x − P
Ω
(x), P
Ω
(x) − z ∀z ∈ Ω,
Vậy, từ (1.5) suy ra (1.4).
Từ (1.4) và t ∈ (0, 1) cho trước, do Ω là tập lồi nên (1 − t)P
Ω
(x) + tz ∈ Ω.
Ta có
x−P
Ω
(x)
2
−x−(1−t)P
Ω
(x)−tz
2
≥ 2x−P

Ω
(y), x − y − P
Ω
(x) − P
Ω
(y)
2
≥ 0.
Như vậy, P
Ω
là toán tử đơn điệu. Từ đây cũng suy ra toán tử chiếu P
Ω
là không
giãn trong H.
7
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử A : X → Y được gọi là
1) liên tục tại điểm x
0
∈ D(A) nếu A(x
n
) → A(x
0
) khi x
n
→ x
0
;
2) hemi-liên tục tại điểm x
0

0
) (rõ ràng là tính hemi-liên tục của A được suy
từ tính demi-liên tục);
4) Lipschitz-liên tục nếu tồn tại hằng số L > 0 thỏa mãn A(x
1
) − A(x
2
) ≤
Lx
1
− x
2
 với mọi x
1
, x
2
∈ X;
5) liên tục mạnh nếu x
n
 x kéo theo A(x
n
) → A(x);
6) liên tục yếu-yếu (hoặc liên tục yếu theo dãy) tại điểm x
0
∈ D(A) nếu với
dãy bất kỳ {x
n
} ⊂ D(A) thỏa mãn x
n
 x

| y, x = y
∗
x, µ(x) = y
∗
},
được gọi là ánh xạ đối ngẫu của X.
Khi µ(t) = t thì J
µ
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, kí hiệu là J. Khi
đó ta có
J(x) =

y ∈ X
∗
| y, x = y
∗
x = x
2

.
8
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Nhận xét 1.2.8.
 Trong không gian Hilbert H, thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J chính là toán
tử đồng nhất I trong không gian H.
 Trong không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu J
µ
: X → X
∗
luôn tồn tại và

Gr(A) = {(x, A(x)) ∈ X × X
∗
| x ∈ D(A)}.
Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ X, ∀x
∗
∈ A(x), ∀y
∗
∈ A(y).
Định nghĩa 1.2.9. Tập G ⊂ X × X
∗
được gọi là tập đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0,
với mọi cặp (x, x
∗
) và (y, y
∗
) thuộc G.
9
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Định nghĩa 1.2.10. Tập đơn điệu G ⊂ X × X
∗

hàm lồi. Cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 1.2.13. Nếu F : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, nửa liên
tục dưới trong X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực đại
từ X vào X
∗
.
Nhận xét 1.2.14. Vì đồ thị của toán tử A và nghịch đảo A
−1
trùng nhau nên
từ A đơn điệu mạnh suy ra A
−1
đơn điệu mạnh và ngược lại.
Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A + αJ (J là ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X) là toàn bộ không gian X
∗
, đó là nội dung của
định lý sau.
Định lý 1.2.15. Cho X và X
∗
là các không gian Banach thực phản xạ và
lồi chặt, J : X → X
∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X, A : X → X
∗
là
một toán tử đơn điệu. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu
R(A + αJ) = X
∗
với mọi α > 0.
Định lý sau đây (A ≡ O) chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên

Hệ quả 1.2.20. Cho A : X → X
∗
là toán tử bức, hemi-liên tục và đơn điệu
với D(A) = X. Khi đó R(A) = X
∗
Định lý 1.2.21. Nếu A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại thì với mỗi
x ∈ D(A) tập {f | f ∈ A(x)} lồi và đóng trong X
∗
.
Hệ quả 1.2.22. Nếu A : X → 2
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại thì với mỗi
f ∈ R(A) tập {x | f ∈ A(x)} lồi và đóng trong X.
Định nghĩa 1.2.23. Tập G ⊂ X × X
∗
được gọi là nửa đóng nếu từ điều
kiện x
n
→ x, f
n
 f hoặc x
n
 x, f
n
→ f, trong đó (x
n

) được gọi là
nghiệm của phương trình A(x) = f với toán tử A đơn trị, đơn điệu cực đại.
Định lý 1.2.27. Nếu A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại thì tập nghiệm
S := {x ∈ D(A) | f = A(x)} lồi và đóng trong X.
Khi đó nghiệm x
†
∈ S thỏa mãn x
†
= min{x
∗
 | x
∗
∈ S} được gọi là nghiệm
với chuẩn nhỏ nhất.
Từ Định lý 1.2.17 và 1.2.18 suy ra định lý Minty-Browder sau:
Định lý 1.2.28. Giả sử rằng A : X → X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại, f ∈ X
∗
và tồn tại số r > 0 sao cho A(x) − f, x ≥ 0 khi x ≥ r. Khi đó tồn tại
¯
x ∈ X
thỏa mãn f = A
¯
x và 
¯
x ≤ r.
Nhận xét 1.2.29. Từ các điều kiện của Định lý 1.2.18, 1.2.28 và Hệ quả

0
− tz) − A(x
0
), z| ≤
1
3
zA(x
0
) − f. (1.8)
Từ điều kiện của Định lý ta có
A(x
0
− tz) − f, (x
0
− tz) − x
0
 ≥ 0,
hay
A(x
0
− tz) − A(x
0
), −tz + A(x
0
) − f, −tz ≥ 0,
suy ra
A(x
0
− tz) − A(x
0

2
, ∀ x, y ∈ H,
trong đó c là hằng số dương nào đó.
13
Chương 1. Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Nhận xét 1.2.33.
1) Mọi toán tử compact, tự liên hợp, không âm trong không gian Hilbert đều
là ngược đơn điệu mạnh, và hiệu của toán tử đồng nhất và toán tử không giãn
là toán tử ngược đơn điệu mạnh.
2) Mọi toán tử ngược đơn điệu mạnh là đơn điệu nhưng chưa chắc đã đơn điệu
mạnh.
1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Xét bài toán đặt không chỉnh phi tuyến
A(x) = y, (1.9)
trong đó A : D(A) → H là toán tử phi tuyến đơn điệu với miền D(A) ⊂ H và
H là không gian Hilbert thực.
Giả sử rằng y
δ
∈ H là dữ liệu có nhiễu, y −y
δ
 ≤ δ. Phương trình (1.9) có
nghiệm x
†
và A có đạo hàm Frechet A

(·) bị chặn đều địa phương trong hình
cầu B
r
(x
†

(phương trình Euler)
A

(x)
∗
[A(x) − y
δ
] + α(x − x) = 0
của phiếm hàm M
α
(x). Ở đây, A

(x)
∗
là liên hợp của đạo hàm Frechet A

(x).
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu, ta có thể sử dụng phương pháp
hiệu chỉnh Lavrentiev đơn giản hơn
A(x) + α(x − x) = y
δ
. (1.10)
Trong phương pháp này, nghiệm xấp xỉ hiệu chỉnh x
δ
α
thu được từ việc giải
phương trình toán tử (1.10).
Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, xấp xỉ hiệu chỉnh x
δ
α

trong hình cầu B
r
(x
†
).
Chứng minh.
Định lý 1.3.2. Cho x
†
∈ D(A) là nghiệm của (1.9) và A : D(A) → H khả vi
Frechet và đơn điệu trong hình cầu B
r
(x
†
) ⊂ D(A) với bán kính r = x −x
†
+
δ/α. Khi đó nghiệm hiệu chỉnh x
δ
α
hội tụ về x
†
khi δ → 0.
Chứng minh.
15
Chương 2
Phương pháp Newton hiệu chỉnh
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một phương pháp hiệu chỉnh giải
phương trình toán tử
A(x) = f, (2.1)
trong không gian Hilbert thực H với A : H → H là toán tử đơn điệu và f ∈ H.