GV: Th.S Lê Thế Sắc
1

BÀI TẬP TUẦN 1
Dạng 1: Các phép toán véc tơ
Bài 1. Cho các véc tơ
1
2 ,
3
u
 
 

 
 
 

3
1 ,
2
v

 
 

 
 

 

2

Bài 2. Cho
1
1
2 ,
3
u

 
 

 
 
 

2
3
4 ,
2
u
 
 

 
 
 

2
6
6
v

2 0 0
1 4 1
B

 
 

 
 
 
.
Hãy tìm: a) 3A; b) A + B; c) A – 3B; d)


3 ;
T
T
A B e) AB; f)
.
T T
B A

Bài 4. Tính Ax theo 2 cách:
1 2 4 2
. 2 3 1 2
4 1 2 3
a Ax
   
   
 

   


 


1
2 5
.
2 2 1
2 4 7
x y z
x y
b
x y z
x y z
  


  


  


  


Dạng 4: Tìm điểu kiện của tham số để hệ có nghiệm
Bài 6. Tìm số m sao cho tồn tại X thỏa mãn:

x y z m
   


   


    


  


2
. 2
2
x y z a
b x y z b
x y z c
  


   


   


2 1
. 2 3 2



   


   


    


2 2
3 5
2.
5 7
2 3 3 14
x y z
x y z
x y z
x y z
  


  


   


  

x x x x
   


   


   


1 2 3
1 2 3
1 2
2 1
5. 2 2
2 3 2
x x x
x x x
x x
   


   


  


Dạng 6: Giải và biện luận hệ bằng phương pháp khử Gauss – Jordan
Bài 9. Giải và biện luận hệ các hệ phương trình sau theo tham số a:

2. 2 3 1
4 7 3
x a y a z
x ay z
a y z

    

   


   


3 5 4
3. 3 2
9 7 8 0
ax y z
x ay z
x y az
  


  


  


2 1

  




1 1
6. 3 2 1
2 3 2
a x y z
x y z
ax y z

   

  


  


1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 1
2 3 4 3
7.
3 4 2 5
4 2 7
x x x x


    


    


   


Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số a và b:

 
2 2
. 2 1
2
x y az
a x y a z
x y z b
  


   


   


2 3
. 2 9

  


  


  


Dạng 7: Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Bài 12. Chứng minh các khẳng định sau:
a. Nếu A là ma trận vuông thỏa mãn
2
3 0
A A I
  
thì ma trận A khả nghịch và
1
3
A I A

 
;
b. Nếu A khả nghịch và ACAB

thì CB

.
Dạng 8: Phương pháp Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo
Bài 13. a. Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phương pháp Gauss – Jordan:

 
 
 

 
 
 
 
 

Bài 15. Cho 2 ma trận
2 3 6
15 4 12
9 6 5
A

 
 

 
 

 
và
3 2 5
14 3 12
8 6 5
B

 


     
     
GV: Th.S Lê Thế Sắc
4

BÀI TẬP TUẦN 2
Dạng 1: Liên hệ giữa ma trận và định thức
Bài 17. Cho ma trận A có cỡ 44 và detA =
2
1
, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A
2
) và det(A
−1
).
Dạng 2: Tính định thức bằng cách sử dụng công thức phần phụ đại số
Bài 18. Tính định thức theo 3 cách (quy tắc 6 phần tử, đưa về ma trận tam giác và công thức phần
phụ đại số):

0 0 1

 
 
 

Bài 20. Sử dụng công thức phần phụ đại số, tính định thức của ma trận sau:















404
6203
5030
121
b
a
A

Dạng 3: Tính định thức bằng cách sử dụng các tính chất
Bài 21. Sử dụng các phép toán hàng để chỉ ra rằng "định thức Vandermonde" bằng:

1
. 1
1
t t
b t t
t t
 
 
 
 
 

2 2
. 2 2
2 2
a b c a a
c b b c a b
c c c a b
 
 
 
 
 
 
 
 

Bài 23. Biết
5.
a b c

1 0 0 3
0 2 0 7
a A
 
 
 

 

 
 

2 1 0 0
1 2 1 0
.
0 1 2 1
0 0 1 2
b B

 
 
 
 

 
 
 

 


0
0
.
0
0
x y z
x z y
d
y z x
z y x

Dạng 5: Ứng dụng của định thức tìm ma trận nghịch đảo
Bài 26. Sử dụng công thức phần phụ đại số tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:

0 1 2
A= 2 3 3
4 4 4
 
 
 
 
 

Bài 27. Dùng tiêu chuẩn về định thức tìm điều kiện của m để ma trận sau khả nghịch:

2 1 0 0
3 2 0 0
1 1 1 1
2 1 0
A

x y z
b x y z
x y z
  


  


  


6 5 2 4 4 0
9 4 13 0
.
3 4 2 2 1 0
3 9 2 11 0
x y z t
x y z t
c
x y z t
x y t
    


    


    


R
là không
gian con của
3
R
.
a. Mặt phẳng chứa các vectơ
( , , )
x y z
sao cho
x y


b. Mặt phẳng chứa các vectơ
( , , )
x y z
sao cho
0
x


c. Tập




3
W , , 0
x y z R xyz
  

Bài 31. Cho




3
W , ,
x y z R x y z m
    
. Tìm m để W là một không gian con của
3
.
R

Bài 32. Kí hiệu


2 2,
M R
 là tập các ma trận vuông cấp hai với phần tử thực và G là tập các ma
trận khả nghịch của


2 2,
M R
 . Chứng minh rằng G không là không gian con của


2 2,
M R

 

 
 
 

Bài 34. Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận sau:

1 2 3
2 4 6
1 4 6
A
 
 

 
 

 

Từ đó chỉ ra các véc tơ




0;0;6
u C A
  và



3 3
1 4 2
. 2 8 4
1 4 2
x b
a x b
x b
   
 
   
 

   
 
   
 
  
 
   

1
1
2
2
3
1 4
. 2 9
1 4
b
x

 

a. Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian C(A);
b. Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian N(A)
Bài 38. Xây dựng 1 ma trận mà không gian cột chứa véc tơ (1,1,5) và (0,3,1) còn không gian
nghiệm chứa véc tơ (1,1,2). GV: Th.S Lê Thế Sắc
8

BÀI TẬP TUẦN 3
Dạng 1: Tìm hạng của ma trận
Bài 39. Tìm hạng của các ma trận sau đây:
a. Ma trận cấp 3

4 có tất cả các phần tử đều bằng 1;
b. Ma trận cấp 3

4 với
1;

 

 
 
 

Bài 41. Tìm hạng của ma trận sau:
1 4 0
. 2 11 5
1 2 10
a A
 
 

 
 

 

2 1 3 2 4
. B 4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
b
 
 
 
 
 
 


 
 
.
Bài 43. Tìm hạng của ma trận
, , :
T T
A A A AA1 1 5
.
1 0 1
a A
 
 

 
 
 

2 0
. 1b A

 
 
 
 
 

 

 

 

 

Bài 45. Tùy theo m hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình Ax = 0 biết:

1 1 2 2
2 2 4 4
1 2 2
A
m
 
 

 
 
 

GV: Th.S Lê Thế Sắc
9

Dạng 3: Tìm nghiệm tổng quát của hệ
Ax b


Bài 46. Tìm nghiệm tổng quát của các hệ phương trình sau:
1 3 1 2 1
. 2 6 4 8 3


  


  


1
2
3
4
2 3 5 7 1
. 4 6 2 3 2
2 3 11 15 1
x
x
c
x
x
 

   
 
   
 
 
   
 
   
  

1
0
0
1
cx
. Hãy tìm ma trận A.
Bài 48. Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với
3 2 1
5 3 0
0 1 5
A

 
 
 
 
 

 
,
biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng
(0,1,1)
p
x  .
Dạng 4: Mối liên hệ giữa hạng của ma trận và số nghiệm của hệ
Bài 49. Cho hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3

2 5 4
4 9 8
x y z b
x y z b
x y z b
  


  


  


Dạng 5: Kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của hệ véc tơ
Bài 51. Cho các véc tơ


1
1, 3,2, 4 ;
v
  



2
3,4, 1,3 ;
v  







1 2 3
1,3,2 ; 2,1,3 ; 3,2,1 ;
v v v  
b.






1 2 3
1, 3,2,1 , 2,1, 3,0 , 3,2,0,1 .
v v v      GV: Th.S Lê Thế Sắc
10

Dạng 6: Kiểm tra hệ véc tơ là cơ sở của không gian cho trước
Bài 53. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R
3
?
a.





1,2,2 ; 1,2,1 ; 0,8,6 .

Dạng 7: Tìm một cơ sở và số chiều của một không gian véc tơ
Bài 54. Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con sau đây của R
4
:
a. Tất cả các vectơ mà các thành phần của chúng đều bằng nhau;
b. Tất cả các vectơ mà tổng các thành phần của chúng bằng 0.
Bài 55. Cho các vectơ






1 2 3
2,1,3 , 3, 1,4 , 2,6,4 .
v v v   

Ký hiệu W là không gian con của
R
3
sinh bởi các véc tơ
1 2 3
, , .
v v v
Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Bài 56. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con sau đây:
a.

Bài 57. Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận:
1 2 4
.
2 4 8
a A
 
 

 
 
 

1 2 4
.
2 8
b B
 
 

 

 

1 3 0 5
. 2 6 1 16
5 15 0 25
c E
 
 


Bài 58. Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của các ma trận sau:
1 4
.
2 3
a A
 

 
 

3 1
.
1 1
b B

 

 
 

0 0 1
. C 0 2 0
3 0 0
c
 
 

 
 
 

 

 
 
.
Bài 61. Cho A là ma trận vuông cấp 2 với


8
tr A

và
det 12.
A

Hãy tìm các giá trị riêng của A
Bài 62. Cho

là giá trị riêng của ma trận A tương ứng với véc tơ riêng
.
x
Chứng minh rằng:
1.
2

là giá trị riêng của
2
A

2.

det .
A I


Bài 64. Cho A là ma trận vuông cấp 3 có 3 giá trị riêng là
1
1,



2
2,



3
3.



1. Tính


det 2 ;
A



det . ;
T


 

 

Bài 66. Chéo hoá ma trận A và tính
2013
A

biết :
2 1
1 2
A
 

 
 

Bài 67. Chéo hoá ma trận B và tính
k
B
biết:
3 1
0 2
B
 

 
 


2,0,0
u  và


2
0,0,3 .
u  Hãy tìm
.
S


Bài 69. Cho các vectơ v
1
= (1, 0, -2, 1), v
2
= (0, 1, 3, -2). Ký hiệu W là không gian con của R
4

gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v
1
, v
2
.
a. Hãy tìm W

;
b. Tính số chiều của W

.
Dạng 5: Tìm cơ sở của phần bù trực giao


 sao cho


6,4,5 .
u v 
Bài 72. Cho S là không gian sinh bởi các véc tơ


1,2,3
u  và


0,1,2
v  . Tìm một cơ sở và số
chiều của
.
S


Bài 73.
a. Hãy tìm một cơ sở của không gian con S trong R
4
sinh bởi tất cả các nghiệm của:

1 2 3 4
– 0;
x x x x
  




1 2 3
, ,
v v v
độc lập tuyến tính;
b. Dùng trực giao hóa Gram – Schmidt xây dựng tập trực giao


1 2 3
, ,
u u u
từ


1 2 3
, , .
v v v

GV: Th.S Lê Thế Sắc
13

BÀI TẬP TUẦN 5
Dạng 1: Chứng minh ánh xạ là phép biến đổi tuyến tính và tìm ảnh
Bài 76. Cho M là ma trận vuông cấp 2 và
1 2
3 4
A
 


, , 1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1 .
v x y u u u
   

Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến tính. Tìm ma trận chính tắc của T.
Bài 78. Cho


1 2 3
, ,
E v v v

là một cơ sở của
3
R
với
1
1
1 ,
1
v
 
 

 
 
 

2
1







1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 3 2 2 3 3
2 – 2
T x v x v x v x x x v x x v x x v
       

a. Tìm ma trận chính tắc của T
b. Với


1, 1, 1 ,
v
 
tìm T(v)
c. T có khả nghịch không?
Bài 79. Cho ánh xạ
2 3
:
T R R
 xác định như sau:

1 2 3
( ) ( ) 2
T v x y u xu yu
   

{ , , }
e e e
là cơ sở chính tắc của
3
R
, T là phép biến đổi tuyến tính từ
3
R
vào
3
R
,
thoả mãn điều kiện:
GV: Th.S Lê Thế Sắc
14      
1 2 3 1 2 3
3 4 1
3 , 2 1 , 2
3 4 0
T e e e T e e T e
     
     
     
     
     
     









1 2 1 2
= 1, 1 , 2 0, 1 .
T e e T e e
  

a. Tìm ma trận chính tắc của T.
b. Chứng minh rằng T khả nghịch và tìm ma trận chính tắc của T
-1
.
c. Tìm vectơ u R
2
sao cho




2, 1 .
T u
 

Dạng 2: Tìm ma trận chuyển cơ sở và ma trận của phép biến đổi tuyến tính
Bài 83. Cho E = {(1, 2); (2, 3)} và F = {(1, 1); (2, 1)} là 2 cơ sở của
2

2 2
:
T R R

có ma trận trong cơ sở
1 2
1 2
,
1 1
E u u
 
   
  
 
   
   
 
là
1
0
A

 

 

 
. Tìm ma trận B của T trong cơ sở
1 2
1 0

F v v
  
   
  
 
   
 
   
 

Bài 87. Cho phép biến đổi tuyến tính
GV: Th.S Lê Thế Sắc
15 2 2
1
1
1 2
:
2
( )
2
T R R
x
x
v T v
x x
x



GV: Th.S Lê Thế Sắc
16

BÀI TẬP TUẦN 5
Dạng 1: Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu
Bài 88. Cho dữ liệu
T 0 1 2 3
B 2 3 5 7
Dùng phương pháp bình phương tối thiểu tìm đường thẳng b = C + Dt gần tập hợp điểm này nhất.
Bài 89. Hãy tìm parabol tốt nhất để căng b = 4, 2, -1, 0, 0 tại thời điểm t = 0, 1, 2, 3, 4
Bài 90. Cho dữ liệu
T -2 -1 0 1 2
B 4 2 -1 0 0
Dùng phương pháp bình phương tối thiểu:
a. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = C + Dt
b. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = Dt
c. Tìm parabol tốt nhất dạng b = C + Dt + Et

 

Bài 92. Cho hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 3 1
4 2 3
2 4 3
x x x
x x x
x x x
  


  


   


a. Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss.
b. Giải hệ bằng phương pháp lặp Jacobi với độ chính xác
1 25


,
.
c. Giải hệ bằng phương pháp lặp Seidel, tính lặp 4 lần.
Lấy x

10 5 16
10 2 6 3
2 4 20 10 24
2 3 25 31
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
  


   


    


     


Với )2,1;1,1;8,0;9,0(
)0(
x .