Chửụng 2: ẹONG LệẽC HOẽC 41
Chng 2
NG LC HC CHT IM
ng Lc Hc nghiờn cu mi quan h gia s bin i trng thỏi chuyn
ng ca vt v nguyờn nhõn lm bin i trng thỏi ca chuyn ng ú. Chng
ny nghiờn cu mi quan h gia gia tc ca cht im, h cht im vi cỏc lc tỏc
dng lờn nú. Cỏc phng trỡnh ng lc hc rỳt ra ch c ỏp dng cho cỏc vt cú
kớch th
c nh cỏc cht im. Vỡ th, khi núi vt ta hiu vt ú l cht im.
Đ2.1 CC NH LUT NEWTON
C s ca ng Lc Hc l ba nh lut ca Newton. Isaac Newton nh Vt
Lý ngi Anh (1642 1727). Trong cụng trỡnh Cỏc tiờn toỏn hc ca trit hc t
nhiờn, cụng b nm 1687, ụng ó phỏt biu nhng nh lut c bn ca c hc c
i
n, thit lp c nh lut vn vt hp dn, nghiờn cu s tỏn sc ỏnh sỏng v khi
tho nhng c s ca cỏc phộp tớnh vi phõn v tớch phõn.
1 nh lut Newton th I:
Mt vt cụ lp, nghió l hon ton khụng chu tỏc dng ca cỏc vt khỏc, s
mói mói ng yờn (nu nú ang ng yờn) hoc chuyn ng thng u (nu nú ang
chuyn ng). Núi cỏc khỏc, mt vt cụ lp s b
o ton trng thỏi chuyn ng ca nú
(
). õy l mt thuc tớnh ca vt cht, v c gi l quỏn tớnh ca vt. Vỡ
th, nh lut I Newton cũn gi l nh lut quỏn tớnh.

= constv
Trờn thc t, khụng cú vt cụ lp tuyt i, m ch cú nhng vt chu tỏc dng
ca nhng lc cõn bng, khi ú nh lut I Newton cng nghim ỳng.
2 nh lut Newton th II:
a) Khỏi nim v lc: Trong cu
c sng, ta thy rừ nhiu hin tng vt ny tỏc dng

nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm
với các lực tác dụng vào nó.
Nếu tổng vectơ của hai lực đặt vào chất điểm bằng khơng thì sự có mặt c
ủa
các tác động đo bởi các lực đó khơng được phản ánh trong chuyển động của chất
điểm. Hai lực như vậy được gọi là hai lực cân bằng.
Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực:
 Các lực hút tương hỗ giữa các vật – gọi là lực hấp dẫn.
 Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau. Các
lực này có chung bản ch
ất là lực đàn hồi.
 Các lực là kết quả của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển
động tương đối với nhau. Các lực này gọi là lực ma sát.
Bản chất và đặc điểm của các lực này, được trình bày rõ hơn ở §2.2.
b) Khái niệm về khối lượng:
Mọi vật đều có xu hướng bảo tồn trạng thái chuyển động ban đầu c
ủa mình.
Thuộc tính đó gọi là qn tính của vật. Mức qn tính của vật được đặc trưng bởi một
đại lượng vật lý đó là khối lượng. Ta nói: khối lượng là số đo mức qn tính của vật.
Qn tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng
và được định lượng bởi định luật II Newton: F = ma. Ta thấy, với cùng một l
ực tác
dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc càng nhỏ) khi khối lượng
(qn tính) của vật càng lớn và ngược lại.
Khối lượng còn là đại lượng đặc trưng cho mức hấp dẫn giữa vật và các vật
khác. Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái đất và vật là F = mg. Như vậy, đối với cùng
một vật, ta có thể viết:
amF
i
=

0
c
v
1
m
m
−
=
(2.2)
Trong đó m
0
là khối lượng của vật lúc đứng yên (khối lượng nghỉ), c = 3.10
8
m/s là
vận tốc ánh sáng trong chân không. Tuy nhiên, trong phạm vi cơ học cổ điển, v << c
nên
, ta coi khối lượng là đại lượng bất biến.
0
mm ≈
c) Phát biểu định luật Newton thứ II:
Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực
, nó sẽ thu một gia tốc theo hướng
của lực, tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:

→
F
→
a
m
F

Nếu vật A tác dụng vào vật B một lực
thì vật B cũng tác dụng ngược trở lại
vật A một lực
. Hai lực này tồn tại đồng thời, cùng giá, bằng nhau về độ lớn nhưng
ngược chiều:
→
F
→
'F
'FF
→→
−
=
(2.5)
→
F được gọi là lực tác dụng vào vật thì F gọi là phản lực của vật. Lực và phản lực là
hai lực trực đối nhưng không cân bằng nhau, vì đặt vào hai vật khác nhau. Chúng có
cùng bản chất, cùng tồn tại và mất đi đồng thời.
→
'
Định luật III Newton khẳng định tác
dụng giữa các vật bao giờ cũng là “tương tác”
(có tính hai chiều). Điều này thể hiện mối liên
hệ biện chứng giữa các vậ
t.
BA
F'F
→→
=
AB

hai.
0F ≠
→
→
t
F
M
→
n
F
→
n
a
→
a
→
t
a
Khi chất điểm chuyển động cong, vectơ gia
tốc được phân tích làm hai thành phần:
→
F
→→→
+=
nt
aaa hay
→→→
+=
nt
amamam

R
mv
maF
2
nn
== (2.7)
Từ phương trình cơ bản (2.6) suy ra: nếu biết lực tác dụng vào vật (nghiã là
biết được ngun nhân) thì sẽ tìm được gia tốc của vật và từ đó biết được tính chất
chuyển động của vật (kết quả). Bài tốn xác định tính chất chuyển động của vật khi
biết các lực tác dụng vào vật được gọi là bài tốn thuận. Trong một số trường hợp đơn
giản, nế
u biết trước tính chất chuyển động của vật, ta có thể tìm được ngun nhân
gây nên tính chất của chuyển động ấy – bài tốn ngược.
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 45
§2.2 – CÁC LỰC CƠ HỌC
Để tìm được tính chất chuyển động của một vật, ta phải xác định các lực tác
dụng lên nó. Vì vậy cần nghiên cứu bản chất và đặc điểm của các lực trong cơ học.
Trong tự nhiên tồn tại 4 loại lực tương tác: lực hấp dẫn, lực điện từ, lực tương
tác mạnh (lực hạt nhân) và lực tương tác yếu. L
ực hạt nhân và lực tương tác yếu có
bán kính tác dụng vi mô nên không xuất hiện trong cơ học cổ điển – cơ học của các
vật vĩ mô. Đối với vật thể vĩ mô, lực điện từ thể hiện dưới hai dạng: lực đàn hồi và lực
ma sát. Vì vậy trong cơ học cổ điển, xét về bản chất, có ba loại lực gọi là lực cơ h
ọc:
lực hấp dẫn, lực đàn hồi và lực ma sát. Về mặt hình thức, người ta chia các lực cơ học
làm hai loại: các lực trực tiếp tác dụng vào vật (lực hấp dẫn) và các lực liên kết với
chuyển động của vật (phản lực, lực ma sát, lực căng dây). Chúng ta sẽ lần lượt nghiên
cứu đặc điểm của các lực này.
1 – Lực hấp dẫn – Trọng lực:
Các vật trong vũ trụ đều hút lẫn nhau bằng các lực có cùng bản chất – gọi là

2
).
Để tính lực hấp dẫn của một vật thể khối lượng m
1
bất kì lên một chất điểm
khối lượng m
2
, ta chia nhỏ vật thể đó thành những phần tử khối lượng dm
1
rồi vận
dụng (2.8), tích phân trên miền thể tích (V) của vật m
1
:
∫
=
)V(
2
1
2hd
r
dm
GmF
(2.9)
Kết quả tính tích phân (2.9) cho phép rút ra một số kết luận sau:
• Lực hấp dẫn của một quả cầu đồng nhất lên một chất điểm ở ngoài quả cầu tựa
hồ như toàn bộ khối lượng của quả cầu tập trung tại tâm của nó.
• Lực hấp dẫn của một quả cầu rỗng đồng nhất lên một chất
điểm ở trong quả cầu
luôn bằng không. Nói cách khác, vỏ cầu đồng nhất không hấp dẫn bất kì vật nào
bên trong nó.

, với M’ là khối lượng
phần Trái đất nằm trong hình cầu bán
kính r. Coi mật độ khối lượng Trái
đất phân bố đều thì ta có:
r

O R
Hình 2.3: Phân bố lực hấp dẫn bên
trong và bên ngồi Trái Đất
3
3
R
r
M
V
'V
M'M
V
M
'V
'M
==⇒=
⇒ r).
R
Mm
G(F
3
hd
= (2.11)
Vậy: trong lòng Trái Đất, lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với bán kính r; tại tâm Trái Đất, lực

24
6.10
24
60
6.10
24
3,3.10
23
1,1.10
24
7,4.10
22
60
60
1,5.10
11
5,8.10
10
6.10
12
3,8.10
8
6,37.10
6
1
3,6.10
22
1,3.10
22
4.10

vt; r khong cỏch t tõm ca Trỏi t n vt v:
2
hd
r
M
G
m
F
g ==
(2.13)
Hỡnh 2.4: Gia tc ri t do
ph thuc cao.
l gia tc ri t do hay gia tc trng trng.
Vỡ bỏn kớnh Trỏi t rt ln (R = 6400km), nờn
gn mt t, gia tc g coi nh khụng i (trng trng u):
2
o
R
M
Gg = 8,9

m/s
2
. (2.14)
Khi lờn cao, lc hp dn gim nờn gia tc g gim theo qui lut:

2
2
o
2

==
(2.16)
Thc ra, vt luụn tham gia vo chuyn ng t quay ca Trỏi t, nờn ngoi
lc hp dn ca Trỏi t, nú cũn chu tỏc dng mt lc
- gi l lc quỏn tớnh li tõm
(chỳng ta s nghiờn cu sau). Hp lc:
(2.17)

Q

+= QFP
hd
l trng lc theo ngha chớnh xỏc.
Vy, theo ngha chớnh xỏc, trng lc ca mt vt l lc m Trỏi t hỳt nú khi cú k
n s t quay ca Trỏi t.
Vỡ lc quỏn tớnh li tõm
ph thuc vo v , nờn trng lc cng ph
thuc vo v , kộo theo tr s ca g thay i theo v . Cng xa xớch o, g cng
tng ( xớch o: g = 9,78 m/s

Q

P
2
; i cc: g = 9,83m/s
2
). Cỏc kt qu tớnh toỏn cho
48 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

thấy thành phần qn tính li tâm rất nhỏ, chỉ làm g thay đổi tối đa 0,5%, nên để

cùng một nơi, gia tốc rơi tự do là khơng đổi, nên:
o
o
oo
P
PP
ghaym
mm P
== =m

B
A
O
o
A
A
o
P
→

→
P
Khi cân thăng bằng ta có tỉ lệ:
A
A
o
o
P
P
=

trọng lượng mg của vật. Do đó khối lượng của vật tỉ lệ với độ giãn của lò xo. Dựa vào
độ giãn của lò xo, ta có thể suy ra khối lượng củ
a vật. Phương pháp cân vật bằng các
cân lò xo khá tiện lợi, nhưng kết quả không thật chính xác vì phụ thuộc vào gia tốc g
(nghĩa là phụ thuộc vào địa điểm cân). Tuy nhiên, sai số là không đáng kể, nên trong
đời sống hàng ngày, cân lò xo được sử dụng khá rộng rãi.
2 – Lực đàn hồi:
Khi ngoại lực tác dụng làm biến dạng một vật thì bản thân vật sẽ xuất hiện
một lực có xu hướng chống lạ
i biến dạng đó. Lực ấy gọi là lực đàn hồi.
Xét biến dạng một chiều, lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke: “Trong giới
hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật”.
dh
Fk
→→
=− ∆A (2.19)
Trong đó k: là hệ số đàn hồi (hay độ
cứng) của vật, đơn vị đo là niutơn trên
mét (N/m); ∆
: là độ biến dạng của vật
(m); dấu “ – “ chứng tỏ lực đàn hồi
ngược với chiều biến dạng.
A
Độ cứng của một vật phụ thuộc vào chiều
dài ban đầu
, tiết diện ngang S và bản
chất của vật liệu làm ra nó:

A
A

Niken
(0,82 – 1,03).10
11
(6,3 – 7).10
10
(1,7 – 2,1).10
11
2,4.10
11
Cao su
Đá vơi
Gang
Bêtơng
(1,5 – 8).10
6
3,5.10
10
(1,1 – 1,5).10
11
(1,5 – 4).10
10
a) Lực căng dây:
Trong nhiều máy móc, một số chi tiết được nối với nhau bằng dây curoa, cáp
mềm, thừng,…, ta gọi chung là dây. Dây là vật khơng chống lại lực nén mà chỉ chống
lại lực kéo. Khi bị kéo căng, dây bị giãn một ít và bản thân nó xuất hiện lực đàn hồi
chống lại sự kéo căng đó. Lực đàn hồi trong
trường hợp này được gọi là lực căng dây.
Để đơ
n giản hố các tính tốn, người ta
thường coi dây như khơng bị giãn và khơng có

A
m
Hình 2.7: Lực căng dây.
b) Phản lực vng góc của bề mặt tiếp xúc:
→
Q
→
N

(2)
(1)
Xét hai vật (1) và (2) tiếp xúc nhau, do áp lực của
vật (1) tác dụng vào vật (2) làm bề mặt của vật (2) bị biến
dạng. Khi đó vật (2) xuất hiện lực đàn hồi chống lại sự
biến dạng đó. Lực này tác dụng ngược trở lại vật (1) theo
hướng vng góc với bề mặt tiếp xúc nên được gọi là phản
lực vng góc hay phản lực pháp tuyến (hoặc ngắn gọn là
phản lực) của mặt tiếp xúc, và được kí hiệu là
.
→
N
Phản lực
của bề mặt tiếp xúc có bản chất là lực
đàn hồi, có độ lớn bằng với áp lực vng góc
. Cặp lực
→
N
→
Q
Hình 2.8: Phản lực

R

không vuông góc với mặt tiếp xúc. Nó được phân
tích thành 2 thành phần:
→→→
+= fNR
ms
(2.21)
→
v
→
P
ms
f
→
→
R
Hình 2.9: Lực ma sát trượt
→
N
Thành phần
vuông góc với mặt tiếp xúc, gọi là phản lực pháp tuyến (hay phản lực
vuông góc); thành phần
luôn ngược chiều chuyển động và có xu hướng chống lại
chuyển động của vật, gọi là lực ma sát trượt.
→
N
ms
f
→

vi à: l h s t l, c gi l h s ma sỏt trt. Giỏ tr ca à ph thuc vo bn
cht ca hai vt tip xỳc v tớnh cht ca b mt tip xỳc. Bng 2.3 cho bit h s ma
sỏt trt ca vi vt liu thụng thng.
b) Lc ma sỏt ln:
Khi vt cú chuyn ng ln thỡ xut hin lc ma sỏt ln cn tr chuyn
ng
ca vt. Thc nghim chng t rng, lc ma sỏt ln cng t l vi ỏp lc vuụng gúc
vi mt tip xỳc v t l nghch vi bỏn kớnh R ca vt ln hỡnh tr hoc hỡnh cu:
f
ms ln
= à
L
N =
R
N
'
L
à (2.23)
vi à
L
l h s ma sỏt ln. à
L
nh hn à rt nhiu. Chớnh vỡ th m trong k thut,
gim ma sỏt, ti ch tip xỳc ta thay bng cỏc bi, bỏnh xe.
c) Lc ma sỏt ngh:
Trng hp ngoi lc tỏc dng khụng
mnh, ta thy vt vn ng yờn. iu ny
cú mõu thun vi nh lut II Newton hay
khụng? Thc ra khi vt cú xu hng trt, ti
b mt tip xỳc s xut hin lc ma sỏt ngh

à N (2.24)
Mt cỏch chớnh xỏc thỡ
lc ma sỏt ngh cc i luụn ln
hn lc ma sỏt trt. (y mt
vt no ú thỡ ta phi n lc
nhiu nht lỳc nú sp dch
chuyn. Khi nú bt u dch
chuyn, ta thy d y hn).
th hỡnh (2.11) biu din s bin
thiờn ca lc ma sỏt theo vn
tc tng i v. Khi vt bt
u
trt, lc ma sỏt ngh cc i
ln hn lc ma sỏt trt. Khi
vn tc v tng thỡ lc ma sỏt tng chm. Nu b qua cỏc chi tit nh ny, th (2.11a)
c thay bng th (2.11b). Khi ú, ta cú cụng thc (2.24).
v
F
ms
F
ms
v
a) b)
Hỡnh 2.11: s bin thiờn ca lc ma sỏt
theo vn tc.
d) Vai trũ ca ma sỏt:
Ma sỏt sinh ra do cỏc b mt tip xỳc g gh, cho dự cú lm nhn, vn cú
nhng ch g gh vi mụ. Ma sỏt cú th lm cn tr chuyn ng, mi mũn cỏc chi tit
mỏy.
gim bt tỏc hi ny, ngi ta thay ma sỏt trt bng ma sỏt ln, ngha l cỏc

phần nhỏ là do ma sát, phần lớn là do sự
chênh lệch về áp suất ở mặt trước và sau
vật rắn.
d)
Hình 2.12: Lực cản phụ thuộc
hình dạng vật rắn.
Đặc điểm của lực cản môi trường:
• Tỉ lệ với tiết diện cản S – là tiết diện ngang lớn nhất của vật vuông góc với
phương chuyển động.
• Tỉ lệ với bậc nhất của vận tốc v - nế
u v nhỏ (vài m/s); và tỉ lệ với bình phương
vận tốc – nếu v lớn.
F = k
1
vS (khi v nhỏ) (2.25)
F = k
2
v
2
S (khi v lớn). (2.26)
Các hệ số k
1
, k
2
phụ thuộc vào bản chất môi trường, tính chất bề mặt của vật và nhất là
hình dạng của vật. Hình (2.12) ghi lại kết quả thực nghiệm về lực cản của những vật
có cùng tiết diện cản S, chuyển động trong không khí với cùng vận tốc v, nhưng có
hình dạng khác nhau. Nếu lực cản đối với vật hình trụ là lớn nhất bằng 1 thì lực cản
của v
ật có dạng (d) là nhỏ nhất, chỉ bằng 1/25. Ta gọi dạng (d) là dạng khí động học.

điện tử (như đèn hình chẳng hạn), electron phải có qũi đạo và vận tốc xác định, người
kĩ sư phải tính các lực điện, lực từ tác dụng lên electron, để từ đó thiết kế các mạch
điện hợp lý. Trình tự giải bài tốn này là:
• Từ chuyển động của vật suy ra gia tốc c
ủa nó.
• Vận dụng (2.6) suy ra lực tác dụng lên vật.
Trên thực tế, nhiều bài tốn khơng thuần t là thuận hay ngược. Thí dụ trong
bài tốn thuận, thường ta khơng biết đầy đủ về lực ma sát, lực liên kết, để giải được,
phải có thêm các dữ kiện như hệ số ma sát hoặc biết một vài yếu tố của chuyển động.
Dưới đây là vài ví dụ điển hình.
Ví dụ 2.1: Vật có kh
ối lượng m được kéo trượt trên mặt sàn ngang bởi một lực
khơng đổi, tạo với phương ngang một góc α. Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là µ.
Tính gia tốc của vật. Xác định góc α để gia tốc lớn nhất.
→
F
Giải
• Phân tích lực: Lực tác dụng lên vật gồm:
- Trọng lực
;
→
P
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 55
- Phản lực của mặt sàn ;
→
N
y
O
x
→

→
N
→
F
ms
F
→ →
a
Chiếu (1) lên các trục Ox, Oy ta có:
→
P
Ox: F
t
– F
ms
= ma
x

Hình 2.13: Vật bị kéo trượt
trên mặt phẳng ngang.
hay: Fcosα – F
ms
= ma (2)
Oy: – P + N + F
n
= ma
y
= 0
⇒ N = P – Fsinα ⇒ F
ms

⇒ cosα + µsinα
2
1 µ+≤ = const
⇒ (cosα + µsinα)
max
=
2
1 µ+ khi µ cosα = sinα
⇒ tgα = µ (2.28)
Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợp với mặt nghiêng một góc α
o
sao tgα
o
= µ.
Ví dụ 2.2: Vật có khối lượng m được kéo trượt lên một mặt phẳng nghiêng có góc
nghiêng α so với mặt phẳng ngang bởi lực
hợp với mặt nghiêng một góc β. Hệ số
ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ.
→
F
a) Tìm gia tốc của vật. Từ đó suy ra lực kéo tối thiểu để vật có thể đi lên.
b) Giả sử lực kéo có độ lớn không đổi, hãy tìm góc β để gia tốc lớn nhất.
c) Trong trường hợp không có lực kéo, hãy tìm biểu thức tính gia tốc trượt xuống
của vậ
t. Từ đó suy ra góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu trượt xuống.
56 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Gii



Hỡnh 2.14: Vt b kộo lờn mt phng nghiờng.
Lc tỏc dng lờn vt gm:
Trng lc
; Phn lc phỏp tuyn ; Lc kộo v Lc ma sỏt .

P

N

F

ms
f
p dng (2.6) ta cú:
(1)

=+++ amfFNP
ms
Chiu (1) lờn phng Ox // mt phng nghiờng, ta cú:
P
t
+ 0 + F
t
f
ms
= ma mgsin + Fcos à N = ma (2)
Chiu (1) lờn phng Oy vuụng gúc vi mt nghiờng, ta cú:
P
n
+ N + F

b) T (2.29) suy ra: khi lc kộo cú ln khụng i, gia tc ca vt l ln nht khi
(cos + à sin)
max
. p dng bt ng thc Bunhiacopxki, tng t nh vớ d 1, ta cú:
tg = à . Vy gia tc nht thỡ lc kộo phi hp vi mt nghiờng mt gúc
o
sao
cho tg
o
= à.
c) Nu khụng cú lc kộo, vt cú th s trt xung dc. Khi ú lc ma sỏt hng
ngc lờn trờn dc. Lm tng t nh cõu a, ta s thu c gia tc ca vt khi nú trt
xung dc: a = g(sin à cos) (2.32).
Vt thc s trt xung khi a 0. (2.32) sin à cos tg à.
Vy gúc nh nht vt bt u trt xung dc (khi khụng cú lc kộo) l:

min
= arctgà (2.33)
Vớ d 2.3: Thang mỏy chuyn ng vi
th vn tc nh hỡnh (2.15). Khi
lng ca thang mỏy l 500 kg, lc
cng ln nht ca dõy cỏp cho phộp s
an ton ca thang mỏy l T
max
= 12000
N. Tớnh trng ti ca thang mỏy.
10
13
2
5

P + T = (m + M)a
T = P + (m +M)a = (m + M)(g + a) (2)
Hỡnh 2.16 : Lc tỏc dng
lờn h (thang mỏy +ngi).
trong ú gia tc a cú giỏ tr i s, nú cú
giỏ tr dng hay õm tựy theo vect

hng lờn hay hng xung.

a
58 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Khi thang mỏy chuyn ng i lờn nhanh dn hoc i xung chm dn thỡ hng
lờn , suy ra a > 0, khi ú t (2) ta cú lc cng dõy ln nht :

a
T = T
max
= (m + M)(g + a
max
) v do ú:
m
ag
T
M
max
max

+
=

= .
Vớ d 2.4: Hai vt cú khi lng m
1
, m
2
buc
vo hai u si dõy, vt qua rũng rc. B qua
khi lng dõy v rũng rc. Coi dõy khụng gión.
Chng t hai vt chuyn ng ngc chiu vi
cựng ln gia tc. Tớnh gia tc ca cỏc vt v
lc cng dõy.

2
P

1
P

1
T

2
T
m
1

m

1
(3)
x
P
2
T
2
= m
2
a
2
(4)
Gi x
1
v x
2
l ta ca m
1
v m
2
. Do dõy
khụng gión nờn chiu di dõy:
Hỡnh 2.17: H vt vt
qua rũng rc
A = x
1
+ x
2
+C = const. (5)
vi C l hng s biu din phn dõy vt qua rũng rc.

a
1

Hay
21
21
mm
gmm
T
+
=
(9)
Thay s: m
1
= 6kg; m
2
= 4kg; g = 10m/s
2
vo (8) v (9) ta c: a = 2m/s
2
; T = 24N. Chửụng 2: ẹONG LệẽC HOẽC 59
Đ2.4 NG LNG XUNG LNG
1 ng lng:
ng lng ca cht im l i lng vect bng tớch khi lng vi vn
tc ca cht im:
(2.34)


=== (2.36)
Ly o hm (2.35) theo thi gian t v s dng h thc (2.36), ta cú:





+=+==
iiii
fF)fF(
pd
pd
d
t
d
t
i
heọ

trong ú
v l tng cỏc ngoi lc v ni lc tỏc dng lờn cht im th i.
i
F

i
f

Theo nh lut III Newton, cỏc vt trong h tng tỏc nhau bng nhng cp lc trc
i, vỡ th
. Suy ra: 0f

(2.38)
dtFpd

=
22 2
11
1
pt t
21
tt
p
dp Fdt hay p p p Fdt



===

60 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Đại lượng gọi là xung lượng của ngoại lực trong thời gian từ t
∫
→
2
1
t
t
dtF
→
F
1

riêng của (2.36) khi vật có vận tốc nhỏ.
Từ (2.38) suy ra, với một lực khá lớn, nhưng tác dụng vào vật trong thời gian
rất ngắn thì chưa chắc đã làm thay đổi vận tốc của vật bằng một lực nhỏ nhưng thời
gian tác dụng lâu. Vậy xung lượng của lực trong khoảng thời gian
∆
t đặc trưng cho
tác dụng của lực vào vật trong khoảng thời gian ấy.
4 – Định luật bảo tồn động lượng:
Nếu hệ mà ta khảo sát là hệ cơ lập (hay hệ kín
= 0) thì từ (2.37) suy ra động
lượng của hệ khơng đổi. Ta có định luật bảo tồn động lượng: Tổng động lượng của
một hệ cơ lập được bảo tồn.
→
F

(2.39)
∑
→→→
== constpp
ihệ
Trên thực tế khơng có hệ nào cơ lập tuyệt đối cả! Tuy nhiên, định luật bảo
tồn động lượng vẫn được áp dụng trong các trường hợp sau:
• Hệ cơ lập theo một phương Ox nào đó. Trường hợp này hệ có ngoại lực tác
dụng, nhưng hình chiếu của ngoại lực lên phương Ox ln bằng khơng thì
động lượng của hệ theo phương Ox cũng được bảo tồn.
• Hệ có ngoại l
ực, nhưng tổng các ngoại lực triệt tiêu.
Chương 2: ĐỘNG LỰC HỌC 61
• Hệ có nội lực rất lớn so với ngoại lực. Trong các bài tốn về va chạm, đạn nổ,
thì trong thời gian va chạm là rất ngắn, ngoại lực là rất nhỏ so với nội lực, nên

M
cosmuMv
'v
0
+
−
=
+
α−
=
= 2,3 m/s
5 – Một số ứng dụng của định luật bảo tồn động lượng:
a) Súng giật khi bắn:
Ta có thể giải thích hiện tượng súng giật khi bắn bằng cách vận dụng định luật
bảo tồn động lượng. Gọi M và m là khối lượng của súng và đạn;
là vận tốc
của súng và đạn khi đạn rời nòng. Hệ (súng + đạn) là hệ kín (vì tổng các ngoại lực triệt
tiêu) nên động lượng của hệ được bảo tồn. Mà trước khi bắn, động lượng của hệ bằng
khơng, nên sau khi bắn, ta cũng có:
→→
vvà V

0ppp
h
=+=
→→→
đạnsúngệ
hay
→→→→
−=⇒=+ v

0
==
α
=
Vậy, súng bị giật lùi với vận tốc 0,35m/s.
b) Chuyển động bằng phản lực:
Xét chuyển động của tên lửa: Giả sử ở thời điểm t, tên lửa có khối lượng m,
chuyển động với vận tốc
, thì động lượng của tên lửa là . Ở thời điểm
t + dt, vận tốc của tên lửa là
. Lúc này khối lượng của tên lửa giảm một
lượng dm và khối lượng nhiên liệu phụt về phiá sau là – dm (dm < 0). Gọi
là vận
tốc nhiên liệu, ta có động lượng của hệ ở thời điểm t’ là:
→
V
→→
= Vmp
1
→→→
+= VdV'V
→
v
→→→→→→
−++=−++= vmd)VdV)(mdm(v)md('V)mdm(p
2
→→→→

Vd
m
→→
→→
→
→
+=
−
+= (2.41)
Trong đó:
là vận tốc tương đối của nhiên liệu phun ra so với tên lửa.
→→→
−= Vvu
(2.41) chính là phương trình chuyển động của tên lửa. Vế phải chính là tổng các lực
tác dụng lên tên lửa, trong đó số hạng thứ 2 có thứ ngun của lực nên được gọi là
phản lực.
Nếu ngoại lực rất nhỏ so với phản lực thì ta có:

dt
dm
u
dt
dm
)Vv(
dt
Vd
m
→→→
→
=−=

Ví dụ 2.7: Tên lửa được phóng lên thẳng đứng từ mặt đất. Vận tốc khí phụt ra so với
tên lửa là 1000m/s. Tại thời điểm phóng, khối lượng tên lửa là 6000kg. Tính vậ
n tốc
của tên lửa sau 5 giây. Biết rằng, cứ mỗi giây khối lượng khí phụt ra là 200kg. Bỏ qua
sức cản không khí, có tính đến ảnh hưởng của trọng lực.
Giải
Áp dụng (2.41) ta có:
dt
dmu
P
dt
Vd
m
→
→
→
+=
với
là trọng lực tác dụng lên tên lửa; là vận tốc khí phụt ra so với tên lửa. Do tên
lửa phóng theo phương thẳng đứng, nên chiếu phương trình vectơ lên phương thẳng
đứng, chiều dương hướng lên, ta có:
→
P
→
u
dt
dm
umg
dt
dV

Với t = 5s thì khối lượng còn lại của tên lửa là: m = 6000 – 200.5 = 5000kg
Thay vào (*) ta có vận tốc tên lửa là: V = – 10.5 +1000.ln(6/5) = 132m/s.
64 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Đ2.5 MễMEN NG LNG MễMEN LC
Phng trỡnh (2.36) l mt trong nhng phng trỡnh c bn ca ng lc
hc. Trong nhiu trng hp, nht l khi kho sỏt cỏc chuyn ng quay, chuyn
ng di tỏc dng ca trng lc xuyờn tõm, ngi ta din t phng trỡnh ng
lc hc (2.36) di dng khỏc: ú chớnh l nh lớ v mụmen ng lng.
1 Mụmen ca mt vect i vi im O:
Cho mt vect cú gc ti A v mt im O c nh. Ta nh ngha
mụmen ca vect
i vi O l mt vect, kớ hiu l , c xỏc nh bi
tớch hu hng:
(2.44)

= ABu

u )u(M
o/







=



- ln: M
/O
= ursin = ud (2.45)
vi d = OH l cỏnh tay ũn chớnh bng
khong cỏch t O n giỏ ca
.

u
Hỡnh 2.19: Mụmen ca mt vect
T nh ngha trờn, ta cú cỏc tớnh cht
sau:
a) Nu
cú phng qua O thỡ = 0.

u
)u(M
o/

b) Nu
= thỡ = . , l s thc.

u

1
u )u(M
o/

)u(M
1
o/



=






=

v,rmp,rL (2.46)
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 65
⇒ L = rpsinθ = mrvsinθ (2.47)

→
p
→
L
θ
→
r
M
O
với θ là góc giữa
→
r
và .
→
p

=
iii
vmp
3 – Mômen lực:
Tương tự, mômen của lực
đối với điểm O là: (2.49)
→
F
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
→→→→→
F,r)F(MM
O/
Suy ra độ lớn của mômen lực: M
/O
( ) = r.F.sinθ = F.d (2.50)
→
F
Với d = Fsinθ là cánh tay đòn (khoảng cách từ O đến giá của lực
).
→
F
Phương, chiều, điểm đặt của vectơ mômen lực được xác định như ở mục 1.
Trong hệ (SI), đơn vị đo mômen lực là niutơn mét (Nm).
Trong các chuyển động quay tròn quanh tâm O, mômen lực còn được gọi là

tO/t
O/
RFM]F,R[)F(M =⇒=
→→→→
Chỉ có thành phần tiếp tuyến của lực mới tạo ra mômen quay.
4 – Định lí về mômen động lượng:
Lấy đạo hàm (2.48) theo thời gian, ta có:

∑∑
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
→
→→
→