Chuyên đề 5
Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm
Số Lôgarit
§1. Lũy Thừa
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Các định nghĩa.
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương: a
n
= a.a a
  
n thừa số
(a ∈ R, n ∈ N
∗
).
• Lũy thừa với số mũ 0: a
0
= 1 (a = 0).
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: a
−n
=
1
a
n
(a = 0, n ∈ N
∗
).
• Căn bậc n: b là căn bậc n của a ⇔ b
n
= a.
Lưu ý: Khi n lẻ thì a có đúng một căn bậc n là
n

n
= α

.
2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Cho hai số a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có
• a
α
.a
β
= a
α+β
.
•
a
α
a
β
= a
α−β
.
• (a
α
)
β
= a
αβ
.
• (ab)
α

.
• Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔ a
α
> b
α
.
B. Bài Tập
5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau
a) (0, 04)
−1,5
− (0, 125)
−
2
3
. b)

1
16

−0,75
+

1
8

−
4
3
.
c) 27

125

−
1
3
−

1
32

−
3
5
.
f)
10
2+
√
7
2
2+
√
7
.5
1+
√
7
.
g)


6.
5.2. Rút gọn các biểu thức sau
a)
x
5
4
y + xy
5
4
4
√
x +
4
√
y
.
b)
a
1
3
√
b + b
1
3
√
a
6
√
a +
6

a −b
3
√
a −
3
√
b
−
a + b
3
√
a +
3
√
b
.
e)

a
2
√
3
− 1

a
2
√
3
+ a
√

3
√
a −
3
√
b

2
.
g)
a −1
a
3
4
+ a
1
2
.
√
a +
4
√
a
√
a + 1
.a
1
4
+ 1.
h)

2
3
.
5.3. Hãy so sánh các cặp số sau
a)
3
√
10 và
5
√
20. b)
4
√
13 và
5
√
23.
c) 3
600
và 5
400
.
d)
3
√
7 +
√
15 và
√
10 +

• log
a
(a
α
) = α.
• Khi a > 1 thì log
a
b > log
a
c ⇔ b > c. • Khi 0 < a < 1 thì log
a
b > log
a
c ⇔ b < c.
3. Quy tắc tính.
• log
a
(bc) = log
a
b + log
a
c.
• log
a
b
c
= log
a
b −log
a

c
b.
• log
a
b =
1
log
b
a
.
• log
a
α
b =
1
α
log
a
b.
4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
• Lôgarit thập phân: Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu: log x hoặc lg x.
• Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu: ln x.
B. Bài Tập
5.5. Tính
a) log
3
4
√
3.
b) 2log

e

.
h) log 72 −2 log
27
256
+ log
√
108.
i) log 0, 375 − 2 log
√
0, 5625.
5.6. Đơn giản biểu thức
a)
log
2
4 + log
2
√
10
log
2
20 + log
2
8
.
b)
log
2
24 −

3
√
a.
5
√
a
4
4
√
a

.
e) log
5
log
5
5

5


5
√
5
  
n dấu căn
.
f) 9
2log
3

125
8

49
log
7
2
. i) 72

49
1
2
log
7
9−log
7
6
+ 5
−log
√
5
4

.
5.7. So sánh các cặp số sau:
a) log
3
6
5
và log

5.8. Tính log
4
1250 theo a, biết a = log
2
5.
5.9. Tính log
54
168 theo a, b, biết a = log
7
12, b = log
12
24.
5.10. Tính log
140
63 theo a, b, c, biết a = log
2
3, b = log
3
5, c = log
7
2.
5.11. Tính log
3
√
25
135 theo a, b, biết a = log
4
75, b = log
8
45.

• Dạng: y = x
α
(α ∈ R).
• Tập xác định:
Nếu α nguyên dương thì D = R.
Nếu α = 0 hoặc nguyên âm thì D = R\{0}.
Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞).
• Đạo hàm: y

= αx
α−1
.
• Tính chất: (Xét trên (0; +∞))
α > 0: Hàm số luôn đồng biến.
α < 0: Hàm số luôn nghịch biến.
O O
y y
x x
α > 0 α < 0
2. Hàm số mũ.
• Dạng: y = a
x
(0 < a = 1).
• Tập xác định: D = R.
• Đạo hàm: y

= a
x
ln a.
• Tính chất:


= αx
α−1
. • (u
α
)

= αu
α−1
.u

. • (e
x
)

= e
x
. • (e
u
)

= u

e
u
. • (a
x
)

= a

x ln a
.
• (log
a
u)

=
u

u ln a
.
B. Bài Tập
5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =

x
2
− 2

−2
.
b) y =

2 −x
2

2
7
.
c) y =

√
2
.
b) y = 3x
2
− ln x + 4 sin x.
c) y = 2xe
x
+ 3 sin 2x.
d) y = log

x
2
+ x + 1

.
e) y = ln
e
x
1+e
x
.
f) y =

x
2
−
1
4


2x
− 2e
x
trên [−1; 2]. c) y = (x + 1) e
x
trên [−1; 2].
d) y = ln

3 + 2x −x
2

trên [0; 2].
e) y = ln

4 −3x
2
− x
4

.
f) y = x
2
− ln (1 − 2x) trên [−2; 0].
g) y = x
2
e
−x
trên [0; ln 8]. h) y = x
2
ln x trên [1; e]. i) y = 5

0 < a < 1: a
x
> b ⇔ x < log
a
b.
Lưu ý. Các dạng a
x
≥ b; a
x
< b; a
x
≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.
http://mathqb.eazy.vn 31
Nguyễn Minh Hiếu
B. Phương Phương Giải Cơ Bản
• Đưa về cùng cơ số. • Đặt ẩn phụ.
• Lấy lôgarit hai vế. • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.
C. Bài Tập
5.18. Giải các phương trình sau
a) 2
2x−1
= 3.
b) 2
x
2
−x
= 4.
c) 2
x
2

2

x+1
=

3 −2
√
2

2x+8
.
h)

5 −2
√
6

x
2
−3x+2
−

5 + 2
√
6

1−x
2
2
= 0.

x−1
+ 3
x−2
.
e) x
2x−1
< x
x
2
.
f)

√
5 + 2

x−1
≥

√
5 −2

x−1
x+1
.
g) 32
x+5
x−1
> 0, 25.128
x+17
x−3

+ 2.7
1−x
− 9 = 0.
e) (D-03) 2
x
2
−x
− 2
2+x−x
2
= 3.
f) 3
2x+1
= 3
x+2
+
√
1 −6.3
x
+ 3
2(x+1)
.
5.21. Giải các bất phương trình sau
a) 4
x
− 3.2
x
+ 2 > 0. b) 32.4
x
+ 1 < 18.2

+

5 + 2
√
6

x
= 10. b) (B-07)

√
2 −1

x
+

√
2 + 1

x
− 2
√
2 = 0.
c)

7 + 3
√
5

x
+ 5.

3

x
− 3

2 −
√
3

x
+ 2 = 0. f)

26 + 15
√
3

x
+ 2

7 + 4
√
3

x
− 2

2 −
√
3


d) 5.2
x
= 7
√
10
x
− 2.5
x
.
e) 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
. f) (A-06) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
5.24. Giải các bất phương trình sau
a) 27
x
+ 12
x
< 2.8

x+1
+ 2 > 3
x
− 9.
e)
4−5
x
5
2x
−5
x+1
+6
≤ 1. f)
4−7.5
x
5
2x+1
−12.5
x
+4
≤
2
3
.
5.25. Giải các phương trình sau
a) 12 + 6
x
= 4.3
x
+ 3.2

x
2
+x
+ 2
1−x
2
= 2
(x+1)
2
+ 1.
f) x
2
.2
x−1
+ 2
|x−3|+6
= x
2
.2
|x−3|+4
+ 2
x+1
.
5.26. Giải các bất phương trình sau
a) 12 + 6
x
> 4.3
x
+ 3.2
x

x−2
.
5.27. Giải các phương trình sau
a) 3
x
= 11 −x. b) 2
x
= x + 1.
c) 3
x
+ 4
x
= 5
x
.
d) 1 + 8
x
2
= 3
x
.
e) 5
x
2
−2x+2
+ 4
x
2
−2x+3
+ 3


.3
x
2
− 2x
2
+ 2 = 0.
d) 3
2x
− (2
x
+ 9) .3
x
+ 9.2
x
= 0.
32 http://mathqb.eazy.vn
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
5.29. Giải các phương trình sau
a) 2
2x
−
√
2
x
+ 6 = 6. b) 3
2x
+
√
3

.8
x−1
x
= 500.
d) 8
x
x+2
= 4.3
4−x
.
5.31. Giải các phương trình sau
a) 3
x
2
= cos 2x.
b) 2
|x|
= sin x.
c) 2
x−1
+ 2
x
2
− x.2
x−1
− 2
x
2
−x
= (x −1)

a
x > b ⇔ x > a
b
.
0 < a < 1: log
a
x > b ⇔ 0 < x < a
b
.
Lưu ý. Các dạng log
a
x ≥ b; log
a
x < b; log
a
x ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.
B. Phương Phương Giải Cơ Bản
• Đưa về cùng cơ số. • Đặt ẩn phụ.
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit.
C. Bài Tập
5.32. Giải các phương trình sau
a) log
3
(x −2) = 2. b) log
3
(5x + 3) = log
3
(7x + 5).
c) log
2

3
5.
g) log
3
x + log
4
x = log
5
x. h) log
2
x + log
3
x + log
4
x = log
20
x.
5.33. Giải các bất phương trình sau
a) log
8
(4 −2x) ≥ 2.
b) log
3

x
2
+ 2

+ log
1

2
24. b) log

x
3
+ 8

= log (x + 58) +
1
2
log

x
2
+ 4x + 4

.
c)
1
2
log
√
2
(x + 3) +
1
4
log
4
(x −1)
8

8
(x −1)
3
= 0.
f) log
1
2
(x −1) + log
1
2
(x + 1) −log
1
√
2
(7 −x) = 1.
g) log
2

8 −x
2

+ log
1
2

√
1 + x +
√
1 −x


2
− 1

= 2.
b) (A-08) log
2x−1

2x
2
+ x −1

+log
x+1
(2x −1)
2
= 4.
c) log
2

x −
√
x
2
− 1

.log
3

x +
√

1
2
x
2
−3x+2
x
≥ 0.
d) log
0,5
x+1
2x−1
> 1.
e)
log
2

3.2
x−1
− 1

x
≥ 1.
f)
log
2
(1 −3log
27
x) −1
log
2

1
2
log
3
x+1
x−1
≥ 0.
c) log
3
log
4
3x−1
x+1
≤ log
1
3
log
1
4
x+1
3x−1
.
d) log
1
3
log
5

√
x

x = 2.
c) 2log
2
x −log
3
x = 2 −log x. d) log
2
x
3
− 20 log
√
x + 1 = 0.
e)

log
3
x +

4 −log
3
x = 2.
f) log
2
(2
x
+ 1) .log
2

2
x+1

(x −1) −3log
3
(x −1) + 1 ≤ 0.
c) log
x−1
4 ≥ 1 + log
2
(x −1).
d) log
2
(2
x
− 1) log
1
2

2
x+1
− 2

> −2.
e) log
4
(19 −2
x
) log
2
19−2
x
8

3

log
1
2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.
c)

log
2
2
x + log
1
2
x
2
− 3 >
√
5

log
4
x
2
− 2


3
2
+ log
2
5
x.
c) (CĐ-2012) log
2
(2x). log
3
(3x) > 1.
d) log
1
3
x +

1 −4 log
2
1
2
x < 1.
5.42. Giải các phương trình sau
a) x + 2.3
log
2
x
= 3. b) x
2
+ 3
log

= log
6
x.
5.43. Giải các phương trình sau
a) log
2
2
x + (x −4) log
2
x −x + 3 = 0. b) log
2
2
(x + 1) + (x −5) log
2
(x + 1) −2x + 6 = 0.
c) log
2

x
2
+ 1

+

x
2
− 5

log


√
x +
3
√
x) = 2log
2
√
x.
d) log
1
2
(3 + |x|) = 2
|x|
− 4.
e) log
2

x
2
− 4

+ x = log
2
[8 (x + 2)]. f) 4 (x − 2) [log
2
(x −3) + log
3
(x −2)] = 15 (x + 1).
5.45. Giải các bất phương trình sau
a) 3

√
x + 2).
f) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2.
§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit
5.46. Giải các hệ phương trình sau
a)

3
y+1
− 2
x
= 5
4
x
− 6.3
y
+ 2 = 0
. b) (D-02)

2
3x
= 5y

. d) (B-2010)

log
2
(3y −1) = x
4
x
+ 2
x
= 3y
2
.
5.47. Giải các hệ phương trình sau
a)

log
3
(x + 2) < 3
log
1
2

x
2
+ 2x −8

≥ log
1
2
16

x −1 +
√
2 −y = 1
3log
9
9x
2
− log
3
y
3
= 3
.
5.48. Giải các hệ phương trình sau
a)

3
x
− 3
y
= y −x
x
2
+ xy + y
2
= 12
. b)

x
3

− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1
. d)

ln (1 + x) −ln (1 + y) = x − y
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0
.
5.49. (D-06) Chứng minh với mọi a > 0, hệ phương trình

e
x
− e
y
= ln (1 + x) −ln (1 + y)
y −x = a
có nghiệm duy nhất.
34 http://mathqb.eazy.vn