BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
( )
( )
( )
1
2 2
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
−
−
−
 
−
+ + +
 
= + + +
+ + −

( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
: 3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
x y
−
−
−
 
 
− + +
+ −

2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
2 3
a a
a a a a a a a
B a
a a
a a
a a a a a
a a
− −
− −
 
 
   
+ + −
− − + − − +
 
   
= + = + = =
 
− −
   
 
− −
   
 
 

= − +
 ÷
+ −
 
Giải
a.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
A
a b a b b a
b a a b a b b a
a b a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ − −
+ − + −
= − = − = =

+ − + −
 
   
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
. 1 2 :
a b
a a b
b a
 
 
− + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
b.
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
−
−
− −

−
.
b/
( )
( )
( )
( )
1 1
1 9 1 3
2 2
4 2
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
2
4 4 2 2 4 2
1 1
1 1 2
1 1
a a b b
a a b b
a a
a a b b a a b b
−
−
− −
− −
− −
− = − = + + = +
− + − −
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :

2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
a b a b ab a b a a b b a b a b
 
 
+ + − = + − + = + = +
 ÷
 
 
 
b/
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
1 1
3 3
3 3
3 3
1 1 2 2 2 1 1
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3
: 2
2
a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a b

A a b
b a
a b
 
   
 
 
= + +
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
   
 
 
b.
2
2
2
4
4
4
2
a
B
a
a
a
+

b a
a b
b a
ab a b
 
 
 
   
     
+
 
 
 
 ÷
= + + = + + = + + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
 ÷
 
 
      ÷
   
 
 
+
 

+ +
= = = =

− ↔ <

 
− +
+
 ÷
 
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
1
2 2
2
2 2
1 1
2 5 2
2 2
x x x x
A x
x x x x
−
 
+ + − +
= + − −
 ÷
+ −
 

 
. Với y = 1,2
Giải
Trang 2
a/
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
2 2
2 2 3
2 2 2
2 2
2 2
4 2 5 2
1 1 4 10
2 5 2 5 2 8 2
2 2
4 5 2
x x
x x x x x
A x x x
x x x x
x x x
−
−
 

10
5
2
1
1
5
5
2
2 3.
2 27
3 32 2 .3 3.2 2 3
2 3
2 3
y
y
B y y
y
y
− −
 
 
 
 
 
 ÷
+
 
 
 ÷
 ÷

−
 
   
= − + + − = =
 
 ÷  ÷
 
   
 
. Với y=1,2 suy ra
2
1,44y =
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
a.
4 1
1
2
3 3
3
3
2 2
3
3 3
8
. 1 2
2 4
a a b b
A a
a
a ab b

a/
( )
1
4 1 1
1
2 2
3
3 3 3
3 3
3
2 2 2 1 1 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3 3 3
8
8
. 1 2 .
2 4 2 4 2
a a b
a a b b a
A a a
a
a ab b a a b b a b
−
 
−
−
= − − = −
 ÷
 ÷
 

8 2 8
6 6
2 4 2 2
4 2
a b a b
b a a b a b b a a b
B
a b a a b b b a
b a b a
− − − − −
 
 
−
 ÷
 
 ÷
− − −
 
 ÷ ÷
= + = + =
 ÷ ÷
 
 ÷
− + + −
 ÷
+ +
 
 ÷
 ÷
 

 
   
 ÷
−
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
Trang 3
a.
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
−
 
   
   
 
   
 
 ÷  ÷
   
    
   
 
( đáp số : A= 15/2 )

2 4 4 4
2
3 32 4 4 2
4 2
3 5 2 .5 2 3 3 5 15
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
2 2 2
−
 
 
   
   
 
 
 ÷
= = =
   
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
   
 
     ÷ 
   
 
 
b/
( ) ( )
( )

4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
−
 
 
− −
 
= − −
 ÷
 
 
+ +
 
 
b.
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
B ab
a b
 
  
− +
 ÷
 ÷ ÷

 ÷  ÷
   
     
   
+ + +
+ + −
 
 
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
 
−
 ÷
= =
 ÷
 ÷
−
 
b/
( )

3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
ax
x a x a
C
x a
x a
   
− −
   
= +
   
−
−
   
   
(đáp số C=1)
. b. Chứng minh :
(
)
3
3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
Giải
Trang 4
a/

= + = +
       
−
  
− −
− +
   
   
   
 ÷ ÷
   
  
   
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
x a
x a
 
+
 ÷
 
= =
 
+
 ÷

1
3 2 3 2 3 2
3 2
= − + +
+
Giải
a/ Đặt y=
3
3 3
3
3
847 847 847 847 847
6 6 12 3 6 6 12 3 36
27 27 27 27 27
y y y
 
  
 ÷
+ + − ⇒ = + + + = + − =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
 ÷
  
 
( )
( )
3 2
3
125
12 3 12 5 5 12 0 3 3 4 0 3

b a
D ab
a b
= >
Giải
1 1
1 1 1
5 5
3 1 3
1 3 1
3 3 5
5
3
2 5 102 2 2
. 2 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2a A
 
   
 
     
 
   
= = = = = =
 
 ÷  ÷  ÷
   
     
 
   
   
 

 
   
= = = = = =
 
 ÷
 ÷  ÷
   
     
 
   
   
 
 
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
a.
2 1
2
1
.a
a
−
 
 ÷
 
b.
2 4
4
. :a a a
π π

4
2
. :
a
a a a a a a
a
π π π
π
= = =
c/
( )
3
3 3. 3 3
a a a= =
d/
2. 1,3
3
2. 1,3 3 2 1,3
2
.
. :
a a
a a a a
a
= =
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
( )
2 2 2 3
2

a b−
) d.
( )
1
2
4a b ab
π
π π
π
 
+ −
 ÷
 
(đáp số :
a b
π π
−
Giải
a/
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 3
2 3
2 3 2 3
2

− + +
c/
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
5 7
5 7
3 3
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
a b
a b
a a b b a a b b
  
− + +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
  
= = −
+ + + +
d/
( ) ( )
1
2 2
2 2
4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
π
π π π π π π π π π π π π
π

∨
 ÷  ÷
   
f.
5 7
4 4∨
Giải
a/
3 5
30 20∨
. Ta có
15 155 5
3
3 5
15 153 3
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10

= =

⇒ >

= =


b/
3
4

3 6
17 17 4913
17 28
28 28 784

= =

⇒ >

= =


d/
5
4
13 23∨
. Ta có :
20 5
20
4
5
4
20 4
5 20
13 13 371.293
13 23
23 23 279.841

= =


1,7 0,8
1 1
2 2
   
∨
 ÷  ÷
   
c.
1,2 2
3 3
2 2
   
∨
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
d.
5
2
5
1
7
−
 
∨
 ÷
 
e.
2,5
12

∨ ⇒ <

 ÷  ÷  ÷  ÷
< <
       


c/
1,2 2 1,2 2
1,2 2
3 3 3 3
; :
3
2 2 2 2
0 1
2
do

<
       

∨ ⇒ >
 ÷  ÷  ÷  ÷

 ÷  ÷  ÷  ÷
< <
       


d/

( )
( )
( )
2
2,5
2,5 6,25
12 12
12 6,251
2 ; : 2 2 2
2
2 1
do
− −
− −

− < −

 
∨ ⇒ < =

 ÷
>
 


f/
2
2
5 5 4 1
5 1 5 1

30
2 1 1
2 3 2
3 1 1

> =

⇒ + >

> =


Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a.
3
x x
y
− +
=
b.
( )
2
sin
0,5
x
y =
Giải
a/
3
x x

y =
. Vì :
2 2
2 sin 1 sin
1 1
0 sin 1 0 0,5 0,5 0,5
2 2
x x
x y GTLNy≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ = ≤ ↔ =
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
a.
2 2
x x
y = +
b.
1 3
2 2
x x
y
− −
= +
c.
2 2
sin os
5 5
x c x
y = +
e.
2
1

y y x
x x
− −
− − − + −

=
= + ≥ = = ⇔ = ⇔ ⇔ =

↔ − = −

c/
2 2
2 2 2 2
sin os
sin os sin os
2 2
5 5
5 5 2 5 2 min 2 os2x=0 x=
4 2
sin os
x c x
x c x x c x
y y c k
x c x
π π
+

=

= + ≥ = ⇔ = ⇔ ↔ → +

c.
1
2
2
y x y x= ∨ =
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2 2
2
x x
y
−
−
=
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2 2 1
2 2 1 2 2 1
1 1

x x
y x y x
− −
>

− −

⇒ > ⇔

>


. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a.
3
x
y
π
 
=
 ÷
 
b.
2
x
y
e
 
=

π
 
=
 ÷
 
. Do
1
3 3
x
y
π π
 
> ⇒ =
 ÷
 
. Là một hàm số đồng biến
b/
2
x
y
e
 
=
 ÷
 
. Do
2 2
0 1
x
y

( )
1 1 3 2
3
3
3 2
3 3 2
x
x
x
x
y
−
 
 
+
 
 ÷
= = =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
−
− 
 
 
là một hàm số đồng biến (
3 2 3+ >
)
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT

c.
2
3
log
1
x
y
x
−
=
+
f.
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
 
+
=
 ÷
+
 
d.
2
1 2
2

Giải
Trang 9
a/
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
. Điều kiện :
1
2
1
1
log 0
1 2
1
1 0 0 1
1
1
1 1
1
1
1 1 1 1
0

+ +
   
−
−
   
< − ∨ > < − ∨ >
>
>
 


+

+

Vậy D=
( )
1;+∞
b/
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 
+

3
0 5
3
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x

 
+

− −
≥

 ÷
≥

+
 
+


3 2 7
x x
x
x x
− < < − ∨ >

⇔ ⇒ ∈ − − ∪

−∞ < < − ∨ − < <

Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
 
+
 ÷
 
b.
2 5
4
1
log 3 3log 5

3
9
3
9
125 7 5 7
1 1
1 1
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
4 2
4 2
81 25 .49 3 5 7
 
−
−
 ÷
 
 
 
+ = +
 ÷
 
 
 
=
5
3 7
1

+
+
+ = + = + =
c/
( )
7 7
5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
−
−
− −
 
 
+ = + = + = +
 ÷
 ÷
 
 
4,5=22,5
d/
6 9 6
log 5 log 36 log 25

Giải
Trang 10
a/
3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A = + − = = = =
b/
2 4
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = −
 ÷
 
c/
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C = − = + = =
d/

log log 216 2log 10 4log 3
3
x= = − +
Giải
a/
2 2 2 2 2
1
log 2sin log os log 2sin . os log sin log 1
12 12 12 12 6 2
A c c
π π π π π
     
= + = = = = −
 ÷  ÷
 
     
b/
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4
log 7 3 log 49 21 9 log 7 3 49 21 9 log 7 3 1B
 
= − + + + = − + + = − =
 
c/ C=
( )
10 10
log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0+ = = =

x
+
=
+
•
( )
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
Giải
a/
2 3 4 2011
1 1 1 1
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
log log log log
x x x x
A
x x x x
= + + + + = + + + =

log 2011!

x
+
= = = ⇒
+
Chứng minh :
( )
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
Trang 11
VT=
( )
( )
2
1
log log log 1 2 3 log
2log
k
x x x x
a
k k

e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A =
Giải
a/
1 1
3
3
5
2 5
1 1 37
log log 3
2 5 10
a a
A a a a a
+ +
 
= = = + + =
 ÷
 
b/
1
3
1
1 1
1 2
3
2
3
2 5

2 4
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
 
 
 ÷
= − = − − = −
 ÷
 ÷
 
 ÷
 

d/
0 0 0 0 0 0 0 0 0
log tan1 log tan 2 log tan3 log tan89 log tan1 tan89 .tan 2 .tan 87 tan 45 0
 
+ + + + = =
 
( vì :
0 0 0 0 0 0
tan89 cot1 tan1 tan89 tan1 cot1 1= ⇒ = =

−
= ≠
−
c. Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
( )
2log .log
log 0 , , , , , 1
log log
a c
b
a c
x z
y x y z a b c
x z
= < ≠
+
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn :
2 2
7a b ab+ =
. Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Giải

log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c/ Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì
log log 2log
x z y
a c b+ =
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
a c
b
a c b a c
x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+
d/ Nếu :

12
log 27 x=
b.
125
log 30B =
. Biết :
log3 ;log 2a b= =
c.
3
log 135C =
. Biết:
2 2
log 5 ;log 3a b= =
d.
6
log 35D =
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14 a=
Giải
a/
6
log 16A =
. Từ :

3 3
x x
x
x x x
−
−
=
+ +
c/ Từ :
3
2
3 3 3
2
log 5 3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+
= = = + = + = + =
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b= = ⇒ = = = → =
(*)
Suy ra :
( )

log 32
log 7 2log 7 2 1a
= = =
−
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a.
( ) ( )
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a= + + − −
b.
( )
( )
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
+
= + +
c.
( )
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p= + + −

− − = − − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
+ +
           
log 1
1
1 log
log log
a
b
a a
b
a
b b
+
= − = =
b/
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x
x

( )
( )
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
a a
a a
p
p
p p
p p
+
 
= =
 ÷
+
 
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
a a
b c= = −

b/Ta có :
( )
4
3
3
1 1 2 28
log log 4 log 3log 4 2 6 10
3 3 3 3
a a a a
a b
x c c
c
 
= = + − = + − + = − =
 ÷
 ÷
 

c/ Ta có :
2 2
4
4
3
1 1 1 3 1 161
log log 2 log 2log 4log log 2 4 12 1
4 3 2 4 3 12
a a a a a a
a bc
x b c b c
ab c

a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết :
( )
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab> > + = ⇔ − + = ⇔ − =
Ta lấy log 2 vế :
( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log 2 log log log 3 log 2 log log
2
a b a b a b a b− = + + ⇔ − − = +
b/ Chứng minh :
2 2
log log
a a
b c
c b
=
.
* Thật vậy :
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a

một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
• Ví dụ 1: so sánh hai số :
3 4
1
log 4 log
3
∨
. Ta có :
3 3 4 4 3 4
1 1
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
3 3
> = < = ⇒ >

• Ví dụ 2. So sánh :
6 6
log 1,1 log 0,99
3 7∨
. Ta có :
6 6 6 6 6 6
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7> = < = ⇒ >
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a.
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
b.
5 3
3 4
3 2

+
∨
h.
3 1
9
8
log 2 log
9
9 5
+
∨
k.
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
 
∨
 ÷
 
Giải
a/
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨

1 0 1 log log 1 0
3 4 4
2 3
log log
3 2 2
5 4
0 1,0 1 log log 1 0
4 5 5

> → < < ↔ < =


⇒ >


< < < < ↔ > =


c/
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
. Ta có :
5 5
5
5

2 3
2 2 2 2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2
log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
< < ⇒ < <

⇒ >

< < → < <

e/
2 3
log 3 log 11∨
. Ta có :
2
3 2
3 3
1 log 3 2
log 11 log 3
log 11 log 9 2
< <

⇒ >

> =

f/
2 1
2

= = < = ⇒ <
g/
2 4
5
log 3 log
11
4 18
+
∨
. Ta có :
2
2 2
2 4 2 2
9 11
5
5 1 5
log
log 9 log
log 3 log 2log 3 log
5
11
11 2 11
9 11 81.11
4 2 2 2
5
5
−
+ −
= = = = =
Nhưng :

log 2 log
2log 2 log
9
8
9
9
6 36 40
9 3 3 3 5
8 8
8
 
+
−
−
 ÷
 
= = = = = < =
k/
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
 
∨

b.
3 7
log 5 log 4∨
c.
3
1
2ln 8 lne
e
∨ −
Giải
a/
2 5
log 10 log 30∨
. Ta có :
2 2
2 5
5 5
log 10 log 8 3
log 10 log 30
log 30 log 36 3
> =

⇒ >

< =

b/
3 7
log 5 log 4∨
. Ta có :


= =

⇒ − >

− = + =


Bài 3. Hãy chứng minh :
a.
1 3
2
1
log 3 log 2
2
+ < −
b.
5 5
log 7 log 4
4 7=
c.
3 7
log 7 log 3 2+ >
d.
2 2
log 5 log 3
3 5=
e.
1
log3 log19 log 2

2
= ⇒ + ≥
Nhưng :
3 3 3
3 3
1 1 1 1 1
log 0 log 2 log 2
1 1
2 2 2
log log
2 2
< ⇒ − − > ⇔ + < −
b/
5 5
log 7 log 4
4 7=
. Ta có :
( )
5
5 7 5 7 5
log 7
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7= = =
. Vậy 2 số này bằng nhau
Trang 16
c/
3 7
log 7 log 3 2+ >
. Ta có :
3 3 7 3





− = =


361 1
log 900 log log3 log19 log 2
4 2
⇒ > ⇔ + > −
f/
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
+ + +
≥ ⇒ ≥ =
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
3 3
6 5
log log
5 6
∨


> =


⇒ >


< =


. Hoặc :
3 3
6 5
6 5
log log
5 6
5 6
3 1

>

⇒ >


>

b/
1 1
3 3
log 9 log 17∨

e
π
π

< <

⇒ >


<

HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
( )
2
2 2
x
y x x e= − +
b.
( )
2
sinx-cosx
x
y e=
c.
x x
x x
e e

2 2 2 2
sinx-cosx ' cosx+sinx 2 sinx-cosx 3sin osx
x x x x
y e y e e x c e= ⇒ = + = −
c/
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
4
'
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
e e e e e e e e
e e
y y
e e
e e e e
− − − −
−
−
− −
+ + − − −
−
= ⇒ = =
+
+ +
Trang 17
d/

+ +
= + ⇒ = + =
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
(
)
2 2
ln 1y x x= +
b.
( )
2
2
log 1x x− +
c.
3 2
lny x=
d.
2
4
log
4
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 

(
)
(
)
( )
(
)
( )
2 3
2 2 2 2
2 2
ln 1 ' 2 .ln 1 2 .ln 1
2 1 2 1
x x x
y x x y x x x x
x x
= + ⇒ = + + = + +
+ +
b/
( )
( )
2
2
2
2 1
log 1 '
1 ln 2
x
y x x y
x x

4 ln 2
4
x x
y y
x x
x
x
 
− −
 
= ⇒ = =
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
−
 
+
 
e/
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
3
2
2
2 5 9

ln10
2 16 2
8 ln10 1
x x
x x
y y
x x x x
x x
 
+ +
 
− −
 
= ⇒ = =
 ÷
 ÷
 
−
 
 
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a.
( ) ( )
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x x
x

e e
x
+
→
−
e.
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
→
−
+ −
f.
( )
3
0
ln 1
lim
2
x
x
x
→
+
Giải

x
x
x
x
x
x
x
→ →
+
+
= =
, c/
( ) ( )
0 0
ln 4 1 ln 4 1
lim lim4 4
4
x x
x x
x x
→ →
+ +
= =
d/
( )
( )
5
5 3 3 3
3
0

x
→ →
− −
= + + = =
+ −
Trang 18
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a.
( )
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
→
+
b.
2 3
0
lim
5
x x
x
e e
x
→
−
c.

2
0
1 os5
lim
x
c x
x
→
−
Giải
a/
( )
( )
0 0
ln 2 1
2
ln 2 1
2
lim lim 2
tan
tan
x x
x
x
x
x
x
x
x
x

e e
x x
→ →
− −
= =
d/
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1
1
x
x x
x x x
e
xe x x e
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
 ÷
   
−
− = − = =
 ÷
 ÷  ÷
   
 ÷
 
e/
0 0

 ÷
 
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a.
2
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
→
−
b.
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
 
−
 ÷
 
c.
( )
3

a/
( )
2
2 2 2
0 0 0
2sin 2 sin
osx os3 4cos .sin
lim lim lim 4
sin sin sin
x x x
x x
c c x x x
x x x
→ → →
− −
−
= = =
b/
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
 
−
 ÷
 

2 2
t
t
t
c
= =
. Khi
0
2
tan
1 2
2
; 0 lim t anx lim
2 os
2
t
x
t
x t
t
c x t
π
π
→
→
 
→ → ⇒ − = = ∞
 ÷
 
c/

+ = + = +
 ÷

 

Trang 19
d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
π
π
→
 
 ÷
−
 ÷
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 
. Đặt :


 ÷
−
−
 

= =

 
−
 ÷

 

Do đó :
( )
2
t t t
2sin 2sin os sin os
2 1 ost+sint
2 2 2 2 2
2 2 2 tan 2
t t
sint 2
2sin os os
2 2 2
t t
c c
c
t

−
 ÷
 ÷
 
 
Trang 20