GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
BÀI 1: LŨY THỪA
I. Lý thuyết.
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với mọi
*
;a R n N∈ ∈
ta có:
+)
. ....
n
a a a a=
+) Với
0a
≠
:
0
1
; 1
n
n
a a
a
−
= =
+) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Với mọi
*
; ; ,a b R m n Z∈ ∈
ta có:
( )

1a
>
và
m n>
thì
m n
a a>
(mũ càng lớn thì càng lớn).
Nếu
0 1a
< <
và
m n>
thì
m n
a a<
(mũ càng lớn thì càng nhỏ).
VD1: Tính giá trị của biểu thức sau:
( )
10 9
4
3 2 1
1 1
.27 0,2 .25 128 .
3 2
A
− −
−
− − −
   

a/
3
5
4
 
 ÷
 
và
3
6
5
 
 ÷
 
b/
2
8
9
−
 
 ÷
 
và
2
7
8
−
 
 ÷
 

→+∞
=
4. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Cho a, b là các số nguyên dương;
;
α β
là các số thực tùy ý. Khi đó:
+)
.a a a
α β α β
+
=
a
a
a
α
α β
β
−
=
+)
( )
.
a a
β
α α β
=
( )
. .a b a a
α

>
thì
0a b a b
α α
> ⇔ > >
+) Nếu
0
α
<
thì
0a b a b
α α
> ⇔ < <
VD1: Rút gọn biểu thức:
a/
( )
( )
7 1 2 7
2 2
2 2
.
0
a a
A a
a
+ −
+
−
= >
b/

 
 
+ −
 ÷
= − − > ≠
 ÷
 ÷
 ÷
  ÷
− +
 
ĐS:
4
B
x y
=
+
b/
( )
( )
( )
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
2
, 0,
( )
x y x y x y
y

0,75
3
1 1
16 8
− −
   
+
 ÷  ÷
   
VD2: Thực hiện phép tính.
a/
9 6
7 5
7 5
8 : 64 3 . 81−
b/
( )
5
4
2
3
5
4
5 0,2
−
−
−
 
 
+

−
−
−
− −
e/
( )
1
2
3
2
3
3
27 2 3
8
−
−
 
− − + +
 ÷
 
f/
( )
1
4
0,25
3
0,5 625 8
−
− − −
VD4: Tính giá trị các biểu thức sau:

3
4 2 3
1 3
10 6 3
+
= +
+
d/
3
9 5 3 3 1
9 5 3 3 1
− −
=
+ +
VD2: Chứng minh rằng:
a/
3 3
5 2 5 2 1+ − − =
b/
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − =
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 2
GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
c/
4 2 3 4 2 3 2+ − − =
d/
3 3
9 80 9 80 3+ + − =
VD3: Cho
4 10 2 5a = + +

.
VD5: Có thể viết
− = − = −
1/3
3
( 27) 27 3
được không?
Bài toán3: Rút gọn biểu thức.
VD1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
2 1
2
1
.A a
a
−
 
=
 ÷
 
b/
2 4
4
. :B x x x
π π
=
c/
2
1 1
2 2

1
2 3 3 3 3
1a a a
E
a a a
−
−
− −
=
+ +
f/
2 2
2
1 ( )
( ) 2
a
a
b
F
a b ab
−
 
−
 
 
=
− +
VD2: Đơn giản các biểu thức sau:
a/
5

3 32 4 4 2
3 .5 : 2 : 16: (5 .2 .3A
−
 
   
 
=
 
   
 
   
 
2
3 3
3
3
2 2
2
2
3
B= :
( )
a b a a b
a a b b
a ab
−
+ −
−
−
; vơ

va
̀

3
1
2
b =
VD4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/.
1
2 2
2
1 1 1 1 3
2 2 2 2 2
1 2
0
a a a
a
a a a a a
− −
− −
− −
− + + =
− +
b/.
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + + = +
VD5: Trục căn thức ở mẫu:
a/
1

1
3
−
 
 ÷
 
b/
5
3
−
và
7
3
−
c/
( )
7
4
3 1−
và
( )
2
2
3 1−
d/
2
3
2
−
 

và
2 1
1
3 2
−
 
 ÷
+
 
PP: Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ
VD3: So sánh.
a/
3
3
và
4
4
b/
3 2
và
2 3
c/
3
2 3
và
3
3 2
PP: Đưa về cùng căn thức cùng bậc và so sánh biểu thức trong căn.
VD4: So sánh.
a/

b/
3 1
3 1
x−
≥
c/
2 2 1
1 1
3 3
x x+ −
   
<
 ÷  ÷
   
d/
1
2 .3 3 36 6
x x+
>

BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I. Lý thuyết.
1. Khái niệm về hàm số lũy thừa.
Hàm số
;y x R
α
α
= ∈
được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định:

2
5
1y x x
−
= + −
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa.
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 4
GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
( )
1
' .x x
α α
α
−
=
( )
1
' . . 'u u u
α α
α
−
=
4. Khảo sát hàm số lũy thừa.
( )
0y x
α
α
= >
( )
0y x

Bảng biến thiên:
x
0

+∞
'y
+
y

+∞
0
Tập khảo sát:
( )
0;+∞
Sự biến thiên:
1
' . 0 0y x x
α
α
−
= < ∀ >
nên hàm số
nghịch biến trên
( )
0;+∞
Giới hạn đặc biệt:
0
lim ; lim 0
x
x

luôn đi qua điểm
( )
1;1
Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ
cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó.
II. Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tìm TX Đ của hàm số.
VD1: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
a/
( )
3
2
2y x x
−
= + +
b/
3
2
3 4y x x= − −
c/
2
4 3 1y x x= − −
d/
( )
1
2
3
2 5 2y x x= − +
e/
( ) ( )

−
= + + −
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 5
1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
1
α
>
0 1
α
< <
0
α
<
1
α
=
0
α
=