Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Bài giảng môn học
TOÁN CAO CẤP A1
ThS. Trần Bảo Ngọc
Bộ môn Toán, Khoa Khoa học
Trường Đại học Nông Lâm TP HCM
Học kỳ 1, Năm học 2013-2014
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Giới thiệu : Quy định môn học
Cách tính điểm kết thúc môn học
Điểm giữa kỳ : 30% điểm kết thúc môn học.
Điểm cuối kỳ : 70% điểm kết thúc môn học.
Sinh viên vắng từ 30% số tiết học sẽ nhận điểm 0 giữa kỳ
và trừ 3 điểm vào điểm kết thúc môn học.
Sinh viên sử dụng giáo trình photocopy sẽ nhận điểm 0
giữa kỳ.
Cấu trúc đề thi
Thời gian và cấu trúc đề thi giữa kỳ sẽ dặn dò trên lớp và trên
website.
12 cầu Trắc nghiệm × 0,5 điểm = 6,0 điểm.
2 câu Tự luận × 2,0 điểm = 4,0 điểm.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Giới thiệu : Quy định môn học
Giáo trình, bài giảng và tài liệu tham khảo
GT. Toán cao cấp A1, Ngô Thiện - Đặng Thành Danh.
BG. Toán cao cấp A1, Trần Bảo Ngọc.
Các tài liệu tham khảo thêm sẽ được post lên website.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số

3
√
x
2
,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ :
5
x
, 2
−x
:=
1
2
x
, 3
2x
= (3
x
)
2
= 9
x
, 3
x
= e
x ln 3
,. . .
Hàm lượng giác
Ví dụ : sin x, cosx, tanx, cot x.



−1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ π
x = cosy
3
y = arctan x ⇐⇒





x ∈ R
−
π
2
< y <
π
2
x = tany
4
y = arccot x ⇐⇒



x ∈ R
0 < y < π
x = coty
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số

x→0
sin x
x
= 1.
2
lim
x→0
ln (1 + x)
x
= 1.
3
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1.
Định lý 2
lim [u(x)]
v(x)
( có dạng 1
∞
) = e
lim[u(x)−1].v(x)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Các định lý và hệ quả
Hệ quả của định lý 1

1
e
.
2
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e và lim
x→∞
(1 −
1
x
)
x
=
1
e
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếu
lim α(x) = 0 trong quá trình đó.
Ví dụ 1 : x, sin x, arcsin x, tan x, arctan x, x
α

Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1 − cos u ∼
u
2
2
.
ln (1 + u) ∼ (e
u
− 1) ∼ u.
e) Dạng vô định
0
0
và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
lim
α(x)
β(x)
= lim
α(x)
β(x)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.4. Sự liên tục của hàm số
Nhắc lại
Nếu lim

f(x) = f(a).
Chú ý
Ta phân loại điểm gián đoạn thành 2 loại (tham khảo giáo
trình). Các khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng cũng như
các tính chất cơ bản của hàm liên tục có thể xem trong giáo
trình (tr. 32-34).
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Chương 2.
Đạo hàm và vi phân
"Ngủ dậy muộn thi phí mất cả ngày, ở tuổi
thanh niên mà không học tập thì phí mất cả
cuộc đời."
Ngạn ngữ phương Đông.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.1. Đạo hàm
Các định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm của các
hàm sơ cấp cơ bản và cũng như đạo hàm hàm hợp có thể
xem trong giáo trình (đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn
mạnh :
Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược
(arcsin x)

=
1
√
1 − x
2
, (arccos x)


k=0
C
k
n
f
(n)
g
(n−k)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.1. Đạo hàm
Đạo hàm cấp cao hàm lượng giác
(sin x)
(n)
= sin

x +
nπ
2

(cos x)
(n)
= cos

x +
nπ
2


1
ax + b

(n−1)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.2. Vi phân và ứng dụng
Cho hàm số y = f(x) xác định tại x
0
. Gọi ∆x là số gia theo
hoành độ tại x
0
. Đặt
∆f = f (x
0
+ ∆x) −f (x
0
).
Định nghĩa
Nếu ∆f = A.∆x + α(∆x) với A là hằng số, α(∆x) là một VCB
bậc cao hơn ∆x xét trong quá trình ∆x → 0 thì ta nói :
Hàm số y = f(x) khả vi tại x
0
.
Biểu thức A.∆x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x
0
. Ký
hiệu df(x
0

f(x
0
) = f
(n)
(x
0
).dx
n
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.3. Qui tắc L’Hospital và khử dạng vô định
Qui tắc L’Hospital
Nếu f(x), g(x) là hai hàm số khả vi trên một lân cận của x
0
và
lim
x→x
0
f

(x)
g

(x)
tồn tại thì
lim
x→x
0
f(x)

x→x
0
f(x)
g(x)
tồn tại hay không tồn tại.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.3. Qui tắc L’Hospital và khử dạng vô định
Khử các dạn vô định ∞− ∞, 0.∞, 0
0
Đưa các dạng vô định này về dạng vô định
0
0
hoặc
∞
∞
(được sử
dụng quy tắc L’Hospital) như sau :
∞ − ∞ : Quy đồng đưa về dạng
0
0
.
0.∞ : Viết thành
0
(
1
∞
)
(dạng
0

1

1
x
2
− a
2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C.
2

1
x
2
+ a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C.
3


− x
2
+ C.
4

1
√
x
2
+ b
dx = ln



x +

x
2
+ b



+ C


x
2
+ bdx =
b
2