CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
, trong đó
f(x, y) = f(y, x)
g(x, y) = g(y, x)
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
S 4P³
.
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.

GIẢI
Đặt
S x y, P xy= + =
, điều kiện
2
S 4P³
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï
=
ì
ï
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
xy(x y) 2
x y 2
ì
- = -
ï
ï
í
ï
- =
ï
î
.
GIẢI
Đặt
t y, S x t, P xt= - = + =
, điều kiện
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í

ï
ï
ï
í
ï
ï
+ + + =
ï
ï
ï
î
.
GIẢI
Trang
1

Điều kiện
x 0, y 0¹ ¹
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷

2
1 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + = + + ³
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è øè ø
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4
S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï

÷ ÷
÷ ÷
ç ç
ï
è øè ø
ï
î
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ì
ï
ï
+ =
ì
ï
=
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï ï

xy t=
và
(2) x y 16 2t+ = -Þ
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = =
ï ï
î î
.
II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
S 4P³
(*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:

ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - + = -
ï ï
ï ï
î î
Đặt
S x y 0, P xy 0= + =³ ³
,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
ì
ì
=
=
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
=
- = -

(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
ì
ì
+ + =
+ + =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = -
+ = -
ï ï
î
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
ì
+ =
ï
ï
í
ï

ê
+Û Û £ Ú ³
ê
- ³
ê
ë
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
x 4 y 1 4
x y 3m
ì
ï
- + - =
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm.
GIẢI
Đặt
u x 4 0, v y 1 0= - = -³ ³
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv

Û
(*) có 2 nghiệm không âm

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P 0
2
ì
ì
-
ï
ï
D ³
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï
Û ³ Û Û £ £
í í

(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ìì
+ + + =ï
+ + + =ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = + + =
ï ï
î î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = - = +
ï ï
î î

ï
í
ï
+ + =
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
2.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ì
+ + =ï
ï
í
ï
+ + = -

ï
í
ï
+ =
ï
î
. Đáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
4.
3 3
x y 7
xy(x y) 2
ì
- =ï
ï
í
ï
- =

1 37 1 37
x x
x 2 x 1
4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
ì ì
ï ï
- +
ï ï
= =
ï ï
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
- - - +
ï ï ï ï
î î
= =
ï ï
ï ï
ï ï

2 2
7 3 5 7 3 5
y y
y 1 y 1
2 2
ì ì ì ì
= - = -
ï ï ï ï
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
= - = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
Trang
4

7.
x y y x 30
x x y y 35

x xy y xy 78
ỡ
ù
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
ợ
(chỳ ý iu kin x, y > 0). ỏp s:
x 4 x 9
y 9 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
9.
( )

.
10. Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4
ỡ
+ + =ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ
. Chng minh
8 8
x, y, z
3 3
- ÊÊ
.
HNG DN GII
H phng trỡnh
2 2 2 2 2
x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
ỡ ỡ
+ = - + - = -ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù

ỡ ỡ
+ = - + = - -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= - = +
ù ù
ợ ợ
.
Do x, y, z l nghim ca h nờn:
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2)
8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2)
3 3
ộ
- -
ờ
+ - ÊÊ
ờ
- - +
ờ
ở
.
i vai trũ x, y, z ta c

ù
ợ
. ỏp s:
1
x
2
1
y
2
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
.
12.
sin ( x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
+p
ỡ

2
1 2 2
x x
1
2 2 2
(2) x y 2 x y 2
1
2
2 2
y
y
2
2 2
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù
-Ê Ê Ê
ù
ù
ù
ù
ù
+ = - + ị ị ị Ê Ê
ớ ớ
ù ù
ù ù
Ê

p
ì ì
Î
=ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= =
ï ï
îî
Z
.
Từ điều kiện
2
S 4P³
ta suy ra kết quả tương tự.
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
1 1 1 1
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
y y y y
2 2 2 2
ì ì ì ì
ï ï ï ï
ï ï ï ï
= = - = = -
ï ï ï ï

x 4x m x 4x 3x 6
ì ì
é
= + - = = -ï ï
ï ï
ê
Û Þ
í í
ê
ï ï
=
+ = + = -
ê
ï ï
ë
î î
.
+ m = – 3:
2 2 2
x xy y 3 (x y) xy 3
2(x y) xy 3 2(x y) xy 3
ì ì
+ + = + - =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = - + + = -
ï ï
î î

+ + = + + =
ï ï
î î
x y 8 x y 6 x 3
xy 37 xy 9 y 3
ì ì ì
+ = - + = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Ú Û
í í í
ï ï ï
= = =
ï ï ï
î î î
(nhận).
Vậy m = 21.
2. Tìm m để hệ phương trình:
2 2
x xy y m 1
x y xy m
ì
+ + = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î

= =
ï ï
î î
.
Hệ có nghiệm thực dương
2
m 0
1
0 m m 2
1 4m m 4
4
ì
>
ï
ï
<Û Û £ Ú ³
í
ï
³ Ú ³
ï
î
.
Vậy
1
0 m m 2
4
< £Ú³
.
Trang
6

ỡ
+ =
ỡ
ù
+ =
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
-
ù ù ù
+ - =
=
+ - =
ù ù ù
ù
ợ
ù
ù
ợ
ù
ợ
.
Suy ra
x, y

ù
ù ù
ờ

ớ ớ
ờ
ù ù
Ê Ê
ờ
ù ù
ở

-
ù ù
ù ù
ợ
ợ
.
Vy
m 0 1 m 4= ÊÊ
.
4. Tỡm m h phng trỡnh
2 2
2
x y 2(1 m)
(x y) 4
ỡ
+ = +ù
ù
ớ

ợ ợ
.
H cú ỳng 2 nghim thc phõn bit khi
( )
2
2 4(1 m) m 0 = - =
.
5. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
ù
+ = + -
ù
ợ
. Tỡm m P = xy nh nht.
HNG DN GII
t
S x y, P xy= + =
, iu kin
2
S 4P.
2 2 2 2 2
x y 2m 1 S 2m 1
x y m 2m 3 S 2P m 2m 3

- - = + -
= - +
ù ù
ợ
ù
ợ
T iu kin suy ra
2 2
4 2 4 2
(2m 1) 6m 12m 8 m .
2 2
- +
- - + ÊÊ
Xột hm s
2
3 4 2 4 2
f(m) m 3m 2, m
2 2 2
- +
= - + ÊÊ
.
Ta cú
4 2 11 6 2 4 2 4 2
min f(m) f , m ;
2 4 2 2
ổ ử ộ ự
- - - +
ữ
ỗ
ờ ỳ

ớ
ù
ù
ợ
f(x, y) = 0
f(y, x) = 0
(i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia)
Phng phỏp gii chung
Cỏch gii 1
Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt
trong hai phng trỡnh ca h.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
.
Gii
Tr (1) v (2) v theo v ta c:

=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
Vớ d 2. Gii h phng trỡnh
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
Gii
iu kin:
3
x 4
2
3
x 4

ỗ
ữ
- + = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + - + -
.
Thay x = y vo (1), ta c:
2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - =
Trang
82
2
9 x 0
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9x 38x 33 0
9
ì
- ³
ï
ï
- + + = - = =Û Û Û Ú
í

ï
ï
î
.
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích
(thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ì
ï
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
ï
î
Giải
Trừ và cộng (1) với (2), ta được:
3 2 2
3 2 2
x 2x y (x y)(x xy y 1) 0
y 2y x (x y)(x xy y 3) 0
ì ì

ï ï
Û Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
+ =
- + = + + =
- + =
ï ï ï ï
î
î î
ï
î
+
x y 0 x 0
x y 0 x 0
ì ì
- = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = =
ï ï
î î
+
2 2 2
x y 0 y x
x 3 x 3
x xy y 3 x 3

ï ï
ï ï
ï ï
Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
+ + = =
ï ï ï ï
î î
î î
+
2 2
2 2
2 2
xy 1
x xy y 1 xy 1 x 1 x 1
x y 0 y 1 y 1
x y 2
x xy y 3
ì
ì
ì ì ì
ï
= -
ï
+ + = = - = = -
ï ï ï
ï
ï

ï ï
î î
.
Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î
Giải
Trang
9

iu kin:
3
x 4
2
3
x 4
2
ỡ

f (x) 0, t ; 4
2
2t 3 2 4 t
ổ ử
ữ
ỗ
= + > " -ẻ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ -
(3) f(x) f(y) x y= =ị
.
Thay x = y vo (1), ta c:

2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - =

2
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9
- + + = - = =
(nhn).
Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit
11
x
x 3

ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
.
Gii
Xột hm s
3 / 2
f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + = + > "ị ẻ Ă
.
H phng trỡnh tr thnh
f(x) y (1)
f(y) x (2)
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.

x 2
3x
y
y 2
3y
x
ỡ
ù
+
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
+
ù
ù
=
ù
ù
ợ
Gii
Trang
10

Nhận xét từ hệ phương trình ta có
x 0
y 0

ì
ï
= +
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
+
ï ï
ï
î
ï
=
ï
ï
î
Trừ (1) và (2) ta được:
(x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0) + + = = + + >Û
Với
3 2
x y : (1) 3x x 2 0= - - =Û
2
(x 1)(3x 2x 2) 0 x 1 + + = =Û Û
Vậy hệ có 1 nghiệm
x 1
y 1
ì

ï
ï
- = -
ï
ï
í
ï
ï
- - =
ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0¹ ¹
. Ta có:

1 1
(1) (x y) 1 0 y x y .
xy x
æ ö
÷
ç
- + = = = -Û Û Ú
÷
ç
÷
÷
ç

2
x y cos x cos y (1)
x y 3y 18 0 (2)
ì
- = -
ï
ï
í
ï
- - =
ï
î
.
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được:
(1) x cos x y cos y- = -Û
(3).
Trang
11

Xét hàm số
/
f(t) t cos t f (t) 1 sin t 0, t= - = + > "Þ Î ¡
.
Suy ra
(3) f(x) f(y) x y= =Û Û
.
Thay x = y vào (2), ta được:
3 2
x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3 - = - + + = =Û Û

ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0¹ ¹
.
Xét hàm số
/
2
1 1
f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}
t
t
= - = + > "ÎÞ Î¡ ¡
.
Suy ra
(1) f(x) f(y) x y= =Û Û
!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1)
2
2
x 3y 2 0
y 3x 2 0
ì
ï

+ = +
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
ï
î
. Đáp số:
3
x
x 0
2
y 0 3
y
2
ì
ï
ï
=
ì
ï
=
ï
ï
ï
Ú
í í
ï ï

ï
=
ï
î
.
4)
x 1 y 2 3
y 1 x 2 3
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î
. Đáp số:
x 3
y 3
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï

6)
3
3
x x 2y
y y 2x
ì
ï
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
ï
î
. Đáp số:
x 0 x 3 x 3
y 0
y 3 y 3
ì ì
ì
ï ï
= = = -
ï
ï ï
ï ï ï
Ú Ú
í í í
ï ï ï

ù
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1
y 1
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
. 8)
2
2
1
2x y
y
1
2y x
x
ỡ
ù
ù
= +
ù

- =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 2
y 2
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
10)
3 2
3 2
x x x 1 2y
y y y 1 2x
ỡ
ù
- + + =

ù
- = -
ù
ù
ớ
ù
ù
= +
ù
ù
ợ
.
Hng dn gii
iu kin:
x 0, y 0.ạ ạ

x y 1 1
(1) x y 0 (x y) 1 0 x y y .
xy xy x
ổ ử
-
ữ
ỗ
- + = - + = = = -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ

ữ
ỗ
= - > = + Ơ > "ị ẻ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
Ă

4
x x 2 0+ + =ị
vụ nghim.
Cỏch khỏc:
+ Vi
4
x 1 x 2 0 x x 2 0< + > + + >ị ị
.
+ Vi
4 4
x 1 x x x x x 2 0- + + > ị ị
.
Suy ra (2) vụ nghim.
Vy h phng trỡnh cú 3 nghim phõn bit
1 5 1 5
x x
x 1
2 2
y 1

ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
Hng dn gii
Tr (1) v (2) ta c:
x y sin y sin x x sin x y sin y (3) = - + = +
Xột hm s
/
f(t) t sin t f (t) 1 cos t 0, t= + = + "ị ẻ Ă
.
(3) f(x) f(y) x y (1) x sin x 0 (4).= = - = ị
Trang
13

Xét hàm số
/
g(x) x sin x g (x) 1 cos x 0, x= - = - "Þ ³ ÎÞ¡
(4) có không quá 1 nghiệm.
Do
g(0) 0 (4) x 0.= =ÞÛ
Vậy hệ có 1 nghiệm
x 0
y 0
ì