BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
HÀ ĐÌNH KHỞI
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG
HIỆU DỤNG NGHIÊN CỨU CÁC TRẠNG THÁI CỦA
ELECTRON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA, NĂM 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC HÀ ĐÌNH KHỞI
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật Lý, gia đình,
bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành khoá luận này.
Sơn La, Tháng 4 năm 2013
Sinh viên
HÀ ĐÌNH KHỞI
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Cơ sở nghiên cứu 2
1. Cơ sở lý luận 2
2. Cơ sở thực tiễn 2
III. Mục đích của đề tài 2
IV. Nhiệm vụ của đề tài 2
V. Đối tượng nghiên cứu 2
VI. Phạm vi nghiên cứu 2
VII. Cấu trúc của đề tài 2
VIII. Giả thuyết khoa học 3
IX. Kế hoạch thực hiện đề tài 3
X. Phương pháp nghiên cứu 3
NỘI DUNG 4
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG HIỆU DỤNG
15] 18
1.2.5. Xây dựng khái niệm khối lượng hiệu dụng [7, 129
134] 20
1.2.6. Electron trong tinh thể [8, 16
19] 24
CHƯƠNG II: KHÁI NIỆM CÁC GIẢ HẠT VÀ CÁC CẤU TRÚC THẤP
CHIỀU 28
2.1. Khái niệm các giả hạt: electron, lỗ trống, exction [8, 19
23] 28
2.2. Các cấu trúc thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử [5] 33
CHƯƠNG III: TRẠNG THÁI ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 36
3.1. Chế độ giam giữ yếu [8, 28 29] 36
3.2. Chế độ giam giữ mạnh [8, 30
34] 38
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 44
I. Kết luận 44
II. Kiến nghị 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
thái của electron trong chấm lượng tử”
2
II. Cơ sở nghiên cứu
1. Cơ sở lý luận
Để hiểu rõ hơn và nghiên cứu sâu hơn thì việc bước đầu tìm hiểu nghành công
nghệ nano qua nghiên cứu các trạng thái của electron trong tinh thể nano là rất cần
thiết.
2. Cơ sở thực tiễn
Trên thực tế, thuật ngữ công nghệ nano xuất hiện thường xuyên. Tuy nhiên để
hiểu được nó thì cũng không phải dễ dàng. Do đó, việc đưa ra một cách tổng quát
về các phương pháp gần đúng nghiên cứu electron trong tinh thể và nghiên cứu sâu
hơn về phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng sẽ giúp chúng ta có một cái
nhìn tổng quát về nghành công nghệ nano và phần nào hiểu được cở sở khoa học
của nghành công nghệ này.
III. Mục đích của đề tài
Dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng để tính toán các trạng thái
điện tử trong các chấm lượng tử.
IV. Nhiệm vụ của đề tài
1. Khái quát các phương pháp gần đúng nghiên cứu trạng thái của electron
trong tinh thể đặc biệt là phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng.
2. Nghiên cứu khái niệm các giả hạt, tìm hiểu về cấu trúc thấp chiều.
3. Áp dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng trong việc nghiên
cứu các trạng thái electron trong các chấm lượng tử.
V. Đối tượng nghiên cứu
Các chấm lượng tử.
VI. Phạm vi nghiên cứu
Các trạng thái của electron trong các chấm lượng tử.
- Sưu tầm và dịch tài liệu.
- Tập hợp và sử lí dữ liệu
- Lấy ý kiến chuyên gia
4
NỘI DUNG
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG HIỆU DỤNG
CHO BÀI TOÁN ELETRON TRONG TINH THỂ
1.1. Giới thiệu các phương pháp gần đúng nghiên cứu chuyển động của
electron trong tinh thể [4, 77
78]
Việc nghiên cứu tính chất của electron trong tinh thể là một trong những
nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn. Đó là vì electron là hạt có khối lượng
bé, mang điện tích nguyên tố âm nên là hạt rất linh động, tham gia vào nhiều hiện
tượng quy định nhiều tính chất của vật chất. Đây là một vấn đề khó vì rằng để mô
tả chính xác tính chất của electron trong tinh thể cần phải xét một hệ gồm rất nhiều
hạt tương tác với nhau : electron và hạt nhân. Số lượng số hạt này rất lớn, cùng bậc
với số Avôgađrô (
23
6.10
) nên khi tính toán ta phải lập và giải một hệ phương
trình rất lớn đến mức các máy tính hiện đại mạnh nhất hiện nay cũng không giải
được.
Vì vậy cần tìm cách đơn giản hóa các phép tính toán bằng cách sử dụng các
phép gần đúng.
Trong tinh thể vật rắn, các nguyên tử cấu tạo nên hệ tương tác với nhau.
cách tiếp cận khác nhau khi nghiên cứu chuyển động của electron trong tinh thể thể
hiện qua các phương pháp gần đúng như phương pháp gần đúng electron liên kết
yếu, phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh, phương pháp LCAO…
1.1.1. Phương pháp gần đúng electron liên kết yếu [4, 93]
Trong phương pháp này ta xét bài toán về chuyển động của electron trong
trường hợp thế năng
Vr
của electron là yếu. Hay nói cách khác, electron liên kết
yếu với các ion nút mạng. Do thế năng
Vr
là yếu nên ta có thể coi nó là một nhiễu
loạn và áp dụng lý thuyết nhiễu loạn của cơ học lượng tử để giải bài toán này.
Trên cơ sở của phép gần đúng này, ta có thể giải thích được nhiều tính chất
chung của vùng năng lượng trong vật rắn và giải quyết nhiều bài toán về electron
trong kim loại.
Phương pháp này áp dụng tốt cho electron lớp ngoài cùng vì những electron
này chịu tác dụng rất yếu của các lõi nguyên tử. Tuy nhiên, phương pháp này có
nhược điểm là mới xét hàm sóng ở xa tâm ion được coi gần như sóng phẳng nhưng
chưa tính đến hàm sóng của electron ở gần tâm ion có dao động nhanh như hàm
nguyên tử.
1.1.2. Phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh [4, 105
112]
Đối với các tinh thể trong đó electron liên kết chặt với lõi nguyên tử thì trạng
thái của electron gần với trạng thái nguyên tử hơn là trạng thái electron tự do.
Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp electron kết mạnh. Ở đây hàm sóng
của electron được xây dựng dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm nguyên tử.
Mỗi trạng thái nguyên tử này định xứ tại một nguyên tử nhất định nhưng trạng thái
V
bằng
một thế yếu
a
W
. Trừ đi các hàm sóng chuẩn hóa của các trạng thái bên trong tâm
lõi nguyên tử, giả thế yếu
a
W
cần được xây dựng sao cho ở ngoài vùng tâm lõi của
nguyên tử nó dẫn đến chính xác các hàm sóng mà chúng ứng với thế nguyên tử
a
V
.
Phương pháp này đưa đến khả năng giải quyết trong toàn bộ vấn đề của lý thuyết
về cấu trúc vùng. Tuy nhiên, việc làm trên gặp phải một số khó khăn do tính không định
xứ và không đơn giá cũng như sự phụ thuộc vào năng lượng của giả thế.
1.1.5. Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng [4, 126
129]
Theo cơ học lượng tử, mọi thông tin về tính chất của các hệ vật lí được bao
gồm trong phương trình Schrodinger. Đối với electron trong tinh thể, hàm sóng của
nó là nghiệm của phương trình Schrodinger có dạng:
7
2
2
V r r E r
2m
r E r
2m
(1.2)
Khi có một trường lực ngoài biến đổi chậm trong không gian tác dụng lên tinh
thể thì electron trong tinh thể chịu tác dụng của thế
Vr
và thế U của lực ngoài.
Bằng cách dùng khối lượng hiệu dụng thay cho tác động của trường tinh thể
Vr
,
phương trình Schrodinger hoàn toàn giải được khi ta luôn biết được biểu thức
trường ngoài U.
Phương pháp nghiên cứu như vậy gọi là phương pháp gần đúng khối lượng
hiệu dụng. Đây là phương pháp gần đúng có rất nhiều ưu điểm đã được áp dụng
thành công trong vật lý chất rắn. Đặc biệt, phương pháp này được sử dụng rộng rãi
khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn. Khái niệm khối lượng hiệu dụng sẽ được trình
bày kĩ ở phần sau.
1.2. Electron trong tinh thể và khái niệm khối lượng hiệu dụng
1.2.1. Hạt trong giếng thế [8, 1
4]
Xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong một giếng thế vuông góc với
bờ thế cao vô hạn:
a
0 , x
2
a
(1.5)
và
21
sin 2mE n 2,4,6,
a
(1.6)
Kết quả quan trọng nhất của bài toán là một tập hợp các giá trị năng lượng:
2 2 2
n
2
n
E 1.7
2ma
Hình (1.1a) minh họa 3 hàm sóng đầu tiên ứng với n = 1, 2, 3 và vị trí các mức
năng lượng tương ứng.
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp:
22
n n 1 n
2
(2n 1)
Ta được giá trị của xung lượng
p
và vectơ sóng
k
:
nn
nn
p , k (1.10)
aa
cũng là các giá trị rời rạc. 10
Nếu một hạt tồn tại trong giếng, giá trị
*
tại một vị trí nào đó phải khác
không. Các nghiệm thỏa mãn (1.3) và (1.4) với n = 0 là không được phép vì sẽ phủ
nhận sự tồn tại của hạt. Năng lượng nhỏ nhất của hạt:
22
1
2
E (1.11)
2m a
E
trong (1.11) với độ chính xác là
2
4
Tính chẵn lẻ của hàm sóng hạt có thể được dự đoán từ tính đối xứng của bài
toán. Tính đối xứng của giếng thế :
U x U x
xác định tính đối xứng của mật độ hạt:
22
xx
Từ đó :
xx
(1.13)
là hai nghiệm độc lập. Nói chung, tính đối xứng của các hàm sóng thường thuận lợi
trong việc giải quyết các phương trình sóng cho một hệ phức tạp.
Trong trường hợp hàng rào thế có chiều cao hữu hạn, hàm sóng không triệt
tiêu ở bờ giếng nhưng giảm theo quy luật hàm mũ trong khu vực cấm cổ điển
a
x
2
[hình.1.1 (b)]. Xác suất tìm một hạt bên ngoài giếng là khác không, xác suất
này tăng khi n tăng. Số lượng các trạng thái bên trong giếng tuân theo điều kiện:
trong đó
2 2 2
r x y z
. Từ tính đối xứng của bài toán, xét trong hệ tọa độ cầu, r,
,
:
Hình 1.2: Hệ tọa độ cầu
x rsin cos , y rsin sin , z rcos (1.16)
Khi đó, phương trình Hamiltomain có dạng:
22
2
22
A
H r U r 1.17
2mr r r 2mr
trong đó, toán tử
A
:
ur
r, , Y , 1.20
r
l
l l,
trong đó
m
Y
l,
là hàm cầu và
n,
ur
l
thỏa mãn phương trình:
2 2 2
22
du
U r ( 1) u Eu (1.21)
2m dr 2mr
ll
l, l,
(1.24)
Các giá trị cụ thể của năng lượng được xác định bởi hàm U (r). Xét trường
hợp đơn giản tương ứng với giếng thế đối xứng hình cầu với hàng rào vô hạn:
0 , x a
U x (1.25)
, x a
trong trường hợp này, giá trị năng lượng được biểu diễn như sau:
13
22
n
n
2
E 1.26
2ma
3
1
4,493
7,725
10,904
2
5,764
9,095
12,323
Chú ý rằng với l = 0, những giá trị này bằng
n (n 1, 2, 3, )
và phương trình
(1.26) quy về biểu thức (1.7) trong trường hợp một chiều. Đó là khi l = 0, phương
trình (1.21) với hàm bán kính u(r) chính là phương trình (1.4) với thế năng (1.3).
Tóm lại, hạt trong giếng thế hình cầu nhận tập hơp các mức năng lượng 1s, 2s,
3s, … trùng với năng lượng của hạt trong một giếng hình chữ nhật một chiều và các
mức bổ sung 1p, 1d, 1f,…, 2p, 2d, 2f, …phát sinh do tính đối xứng cầu của giếng
thế (hình 1.3).
14
Hình 1.3: Các mức năng lượng của một hạt trong giếng thế hình cầu với hàng
rào vô hạn.
Trong trường hợp của giếng hình cầu với thế năng hữu hạn
0
U
. Phương trình
(1.26) có thể được áp dụng khi
0
2
e
U r (1.28)
r
Phương trình ứng với thành phần xuyên tâm của hàm sóng có thể được viết:
15
2
2
1
d2
U 0 1.29
d
ll
Với các biến số không thứ nguyên
và
:
00
rE
với
0
m
là khối lượng của electron. Giải phương trình (1.29) dẫn đến các kết quả
sau:
Các mức năng lượng tuân theo dãy:
2
r
11
1.32
n 1 n
l
Các mức này được minh họa trong hình 1.4. Số
r
n n 1l
được gọi là “số
lượng tử chính”. Nó lấy các giá trị nguyên dương bắt đầu từ 1. Năng lượng được
xác định hoàn toàn bởi giá trị đã cho của n,
r
n
xác định số lượng tử các nút của
hàm sóng tương ứng. Nó được gọi là “số lượng tử quỹ đạo”. Ứng với mỗi giá trị
của n có n giá trị của l (l chạy từ
0 n 1
). Thêm vào đó, ứng với mỗi giá trị l đã
Hình 1.4: Mức năng lượng của một hạt trong thế Coulomb
2
U r e r
. Với
E > 0, hạt có phổ năng lượng liên tục. Với E < 0, phổ năng lượng bao gồm một tập
hợp rời rạc của các mức tuân theo các mối quan hệ
02
n
E E n
, mỗi mức có bậc
suy biến
2
n
.
Sau đây, xét bài toán nguyên tử hiđrô bao gồm một proton có khối lượng
0
M
và một electron khối lượng
0
m
. Phương trình Schrodinger có liên quan là
phương trình hai hạt với toán tử Hamilton:
2 2 2
22
pe
mM
và sử dụng khối lượng tổng cộng M và khối lượng rút gọn
của hệ:
00
00
00
mM
M m M , 1.36
mM
17
Toán tử Hamilton (1.34) trở thành:
2 2 2
22
Rr
00
e
H 1.37
2m 2m r
B
e
R , a 1.39
2a e
ở đây,
y
R
được gọi là “ hằng số Rydberg” và là năng lượng ion hóa của trạng thái
thấp nhất, còn
B
a
là bán kính Bohr của nguyên tử hiđrô.
Khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp giảm theo n và khi E > 0,
electron và proton chuyển động không giới nội.
Ta thấy năng lượng và bán kính Bohr thể hiện qua (1.39) khác với các giá trị
tương ứng của bài toán một hạt đơn giản bởi hệ số
e
m
. Do đó, biểu thức (1.30 ) và
(1.31) được sử dụng rộng rãi thay cho (1.39).
Các bài toán hạt trong giếng cầu và của nguyên tử hiđrô là rất quan trọng cho
các nghiên cứu tiếp theo. Bài toán về hạt trong giếng thế cầu được sử dụng cho mô
hình electron và lỗ trống trong tinh thể nano còn bài toán nguyên tử hiđrô là bài
toán cơ bản cho exciton trong tinh thể khối cũng như trong các tinh thể nano. Hơn
nữa, ví dụ về bài toán hai hạt là cơ sở cho bài toán nhiều vật. Nó bao gồm sự
chuyển tiếp từ bài toán nhiều hạt (proton và electron) thành bài toán một hạt bằng
So sánh (1.41) và (1.4) thì hàm sóng
xa
và
x
đều thỏa mãn phương
trình Schrodinger với cùng một trị riêng E. Nếu trị riêng này không suy biến (tức là
chỉ có l hàm riêng), thì hàm
x
và
xa
khác nhau một hằng số c nào đó:
x a c x 1.42
Cả hai hàm riêng phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, giá trị tuyệt đối của c là :
c1
Do đó :
22
x a x 1.43
Phương trình này cho thấy, hạt có thể tìm thấy trong khoảng
x
quanh điểm x
Do đó:
n1 n2 n1 n2
c c c 1.44
Phương trình này có nghiệm :
n
ika
n
c e 1.45
trong đó k có thể lấy nhiều giá trị.
Tóm lại, các hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrodinger với thế tuần
hoàn chỉ khác hàm tuần hoàn với chu kỳ a một hệ số có dạng
if x
e
, trong đó f(x ) là
hàm tuyến tính của x. Như vậy, hàm sóng có thể viết:
ikx
k k k n
x e u x , u x u x a (1.46)
. Mỗi khoảng này có chứa một tập hợp đầy đủ các
giá trị không tương đương của
k
và được gọi là “vùng Brillouin”. Phổ năng lượng
và đường cong tán sắc khác với trường hợp hạt tự do (hình 1.5).
20 Hình 1.5: Sơ đồ vùng năng lượng suy rộng (a) , rút gọn (b) minh họa quy luật
tán sắc của hạt trong thế năng tuần hoàn một chiều, và các vùng năng lượng trong
không gian (c).
Đường cong tán sắc gián đoạn tại điểm :
n
k n, n 1, 2, 3, 1.49
a
Tại các giá trị này của
k
dk
thì:
1 dE m dE
v ; p k 1.51
dk dk
Hệ thức giữa vận tốc, xung lượng trong sự phụ thuộc vào
dE dk
không chỉ
Copyright: Tài liệu đại học ©