1
BÀI TẬP NHÓM
Học phần: Đánh giá trong dạy học toán

Nhóm 5: Thành viên nhóm
Phạm Trọng Mạnh
Võ Hữu Quốc
Nguyễn Thị Hợp
Nguyễn Thị Thanh Ngân
Đề tài:
ĐÁNH GIÁ CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TOÁN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN
THỨC CỦA BLOOM THÔNG QUA NỘI DUNG
CHƯƠNG TỔ HỢP – XÁC SUẤT Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số
phần tử của một tập hợp hoặc phải tính toán xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu
nhiên là bao nhiêu. Chương trình toán 11 đưa các kiến thức về tổ hợp và xác suất sẽ
bước đầu giúp chúng ta giải được một số bài toán đơn giản thuộc loại đó.
Sau khi học xong chương “ tổ hợp – xác suất ” các em học sinh phải đạt được
các mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ của nhận thức của Bloom như sau.
A . Nhận biết .
- Kiến thức và thông tin.

2
- Kỹ thuật và kỹ năng.
B . Thông hiểu.
- Chuyển đổi.
- Giải thích.
C . Vận dụng.

biến cố.
- Nắm được cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.
- Nắm được quy tắc cộng và nhân xác suất.
- Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng
của biến cố ngẫu nhiên rời rạc là: kỳ vọng ,phương sai, độ lệch chuẩn.
- Nhớ công thức tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
1.2. Nhận biết các kỹ thuât và kỹ năng.
Đây là khả năng học sinh sử dụng trực tiếp việc tính toán, khả năng thao tác trên
các biểu diễn ký hiệu, các lời giải. Mục tiêu này bao gồm việc sử dụng các thuật toán
như các kỹ năng thoa tác, các phép tính, những đơn giản hoá và các lời giải có tính
tương tự mà học sinh đã được gặp.
Sau khi học xong chương này học sinh cần phải:
- Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số chỉnh
hợp, số tổ hợp để giải các bài toán áp dụng trực tiếp các quy tắc, các công thức đó hoặc
học sinh có thể giải các bài toán tương tự ví dụ giáo viên đã ra trên lớp, mặc dù có khác
nhau về chi tiết.

4
- Biết áp dụng trực tiếp công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn
- Biết vận dụng các quy tắc cộng và nhân xác suất để giải các bài toán xác suất
đơn giản.
- Biết tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của các biến cố ngẫu nhiên rời
rạc.

Ví dụ 1:
Từ nhà An đến trường có thể đi bằng các phương tiện: đi bộ, xe đạp, xe máy.
Nếu đi bộ thì có 5 con đường, đi xe đạp có 3 con đường, đi xe máy có 2 con đường. Hỏi
A có bao nhiêu sự lựa chọn về con đường để đi từ nhà tới trường?
- Mục đích ví dụ này là để kiểm tra xem học sinh đã nắm được quy tắc cộng hay chưa,
đánh giá mức độ hiểu của học sinh về các quy tắc đếm

!
knk
n


D.
)!(!
!
knn
k


- Mục đích ví dụ là để kiểm tra học sinh có nhớ công thức tính số tổ hợp hay không.
- Đáp án: C đúng.
Đưa ra đáp án A là: n! –là số hoán vị.
Đưa ra đáp án B là: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử, để HS nào nếu không học chắc
công thức sẽ nhầm lẫn giữa 3 đáp án A, B, C. Còn đáp án D đưa ra để HS nhầm lẫn
giữa n và k.
Ví dụ 4:
Em hãy khai triển đa thức
( )
1 - x
3

nhị thức Niu - Tơn.
-Mục đích ví dụ này là để kiểm tra học sinh đã nắm được công thức nhị thức Niu-Tơn
chưa và kỹ năng khai triển nhị thức Niu - Tơn .
- Lời giải:
3 0 3 1 2 2 1 2 3 3
3 3 3 3



i
ii
PXXE

Phương sai của X là:



4
1
2
74,1.))(()(
i
ii
PXEXXV2. Thông hiểu
Đây là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như chuyển đổi dữ liệu từ dạng
này sang dạng khác, từ một mức độ trừu tượng này sang mức độ trừu tượng khác, khả
năng giải thích hay suy ra ý nghĩa của các dữ liệu. Phạm trù này bao gồm các câu hỏi
để học sinh có thể sử dụng các kiến thức đã học được ở trên lớp mà không cần liên hệ
tới các kiến thức khác, các câu hỏi này nhằm xác định xem học sinh đã nắm được ý
nghĩa của các công thức mà chưa đòi hỏi phải áp dụng, phân tích
Các hành vi thể hiện việc hiểu có thể chia thành ba loại theo thứ tự sau
- Chuyển đổi
- Giải thích


- Lời giải:
Ta có A
n+2
n+k
+ A
n+1
n+k
=
( )
n + k
!
( )
k - 2
!
+
( )
n + k
!
( )
k - 1
!

=
( )
n + k
!
( )
k - 2
!



A
n
n+k

Ví dụ 7:
Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2
viên bi.
a) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu.

8
b) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu.
- Mục đích ví dụ này là để kiểm tra khả năng chuyển đổi ngôn ngữ bài toán để có thể
nhận ra các biến cố xung khắc, chuyển đổi các dạng phát biểu câu hỏi a, b để nhận ra
đó là các biến cố đối của nhau.
- Lời giải.
a) Gọi A là biến cố “chọn được 2 viên bi màu xanh”
B là biến cố “chọn được 2 viên bi màu đỏ”
C là biến cố “chọn được 2 viên bi màu vàng”
H là biến cố “chọn được 2 viên bi cùng màu”
Lúc đó ta có H= A  B  C và các biến cố A, B, C là xung khắc.
Như vậy ta có P(H) =P(A  B  C ) = P(A) + P(B) + P(C)
Mặt khác ta lại có: P(A) =
C
2
4
C
2
9
=

1
36
=
5
18

c) Biến cố chọn được 2 viên bi khac màu chính là biến cố
H

Suy ra ta có P(
H
) = 1 -
5
18

Ví dụ 8:
Giải bất phương trình
A
4
n+4
( )
n + 2
!
<
15
( )
n - 1
!

- Mục đích của ví dụ này nhằm đánh giá khả năng biến đổi công thức A

n + 1
( )
n + 2

Suy ra
A
4
n+4
( )
n + 2
!
=
( )
n + 4
( )
n + 3
( )
n + 2
( )
n + 1
( )
n - 1
!n
( )
n + 1
( )
n + 2
=
( )
n + 4

Vậy bất phương trình có nghiệm n = 3, n = 4, n = 5
2.2 Giải thích
Giải thích là việc xác định làm rõ và hiểu các ý tưởng chính trong một giao tiếp
cũng như hiểu được các mối quan hệ giữa chúng. Trong phạm trù này học sinh được
yêu cầu đưa ra các phán xét khi tìm ra được những sự kiện, mối quan hệ quan trong từ
các mối quan hệ không quan trọng rồi tổ chức lại các kiến thức đó.
Khi học xong chương này học sinh cần có khả năng.
- Hiểu được các chứng minh liên quan tới các công thức P

n
, A
k
n
, C
k
n
để có thể quyết
định về giá trị của một lập luận suy diễn.
- Lập luận suy diễn từ các dữ kiện đã cho.
- Chỉ ra được việc ứng dụng các công thức P

n
, A
k
n
, C
k
n
, các quy tắc đếm cơ bản, các
quy tắc tính xác suất.

xC
0

Do đó hai hệ số liên tiếp là
C
i
n
và
C
i
n
1
. Theo giả thiết ta có

C
C
i
n
i
n
1
=
7
5

n!
i!
( )
n - i
!

của bài toán. Đánh giá mức được nắm được ý nghĩa của các công thức chỉnh hợp, tổ
hợp cũng như khả năng vận dụng công thức vào giải toán.

11
+ Giải:
a) - Chọn chữ cái thứ nhất có 26 cách.
Chọn chữ cái thứ hai có 26 cách (vì hai chữ cái có thể giống nhau)
Do đó cách chọn hai chữ cái có ít nhất một chữ cái khác O là 26.26 = 675 cách
- Số cách chọn 4 chữ số đứng sau la một chỉnh hợp chập 4 của 10 nên ta có
5040
4
10

A
cách.
- Vậy số biển số xe cần tìm là 675*5040 = 3420000 (biển số)
b) Chọn chữ cái thứ nhất có 26 cách
Chọn chữ cái thứ hai có 25 cách (vì khác chữ đầu)
Chữ số chẵn thứ nhất chọn có 5 cách
Chữ số chẵn thứ hai chọn có 5 cách
Xếp 2 chữ số chẵn vào 4 vị trí nên có
A
2
4
cách.
Hai chữ số lẽ giống nhau còn lại là (1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9) được xếp vào hai
chỗ còn lại nên có 5 cách.
Vậy số biển số xe cần tìm là
A
2


Tính vận dụng của bài toán được thể hiển trong ví dụ này là:
- Khi học sinh học “Tổ hợp-Xác suất” các bài toán đưa ra ở SGK chỉ mang tính áp
dụng công thức đơn giản mà chưa có các bước phân tích những bài toán mang tính
mới mẽ.
- Ví dụ này ngoài cách biết tính tổ hợp còn cần vận dụng kiến thức bên hình học.
Số giao điểm xác định là giao của hai đoạn thẳng.Trong 40 đoạn thẳng thì có thể có hơn
2 đoạn thẳng đồng quy tại một điểm. Nếu như vậy thì số giao điểm tối đa đạt được sẽ
chỉ có thể là giao của hai đoạn thẳng mà thôi.
Ví dụ 11:
Đây là một ví dụ thực tế đưa ra trong các trò chơi mà ta thường gặp ở những tình
huống cụ thể. Ví dụ này thể hiện được ứng dụng của xác suất khi gặp bài toán mang
tính không có lời giải sẵn cho học sinh

13
Trong cuốn Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, M. Gardner có
giới thiệu paradox K.Blait như sau:
Có ba bàn quay như hình vẽ dưới đây. Bàn quay thứ nhất (bàn A) số 3 chiếm
100%, bàn hai (bàn B) số 2 chiếm 56%, số 4 và 6 mỗi số chiếm 22%, thứ ba (bàn C)
số 1 chiếm 51% và số 5 chiếm 49%. Luật chơi: mỗi người quay ngẫu nhiên bàn của
mình.Số nhận được của ai lớn hơn thì người ấy thắng. Hãy phân tích để tìm ra cách
chọn bàn chơi mà phần thắng lớn nhất với hai trường hợp:
a) Hai người chơi?
b) Ba người chơi?
- Lời giải.
a) Trường hợp hai người chơi.
Ta thấy người chọn bàn A thắng người chọn bàn B 56/44 và thắng người chọn C
là 51/49. Người chọn bàn B sẽ thắng người chọn bàn C với xác suất (1*0.22) +
(0.22*0.51) + (0.56*0.51) = 0.6178.
Vậy khi chơi 2 người thì A là tốt nhất và C là xấu nhất.

giá.
Việc phân tích bài toán thường rất quan trọng, có thể làm như sau:
- chia nhỏ thông tin thành những thành phần phù hợp và tổ chức chúng lại thành các
mối quan hệ trong một bài toán.
- phân biệt các sự kiện từ giải thiết và khẳng định giải thiết nào có thể phải tạo nên để
chứng minh những quy tắc nào đó.

15
- kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và thông tin đã cho.
Sau khi phân tích xong một bài toán học sinh có thể được yêu cầu sắp xếp các yếu tố
hoặc các phần còn lại với nhau để có một công thức hay quy luật mà trước đó các em
chưa thấy rõ ràng.
Khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá trị cho một ý tưởng hay một sản phẩm và
rồi đưa ra một phán xét xác đáng được gọi là đánh giá.
Sâu đây là những ví dụ về mục tiêu thuộc phạm trù các khả năng bậc cao. Ví dụ 12:
Trong khải triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ
 
124
4
53 

- Lời giải:
Trong khải triển nhị thức
 
124
4
53 

k
4
là những số tự nhiên.






(124-k) chia hết cho 2
k chia hết cho 4

 k chia hết cho 4
k = 4t
Vì 0  k  124  0  4t  124  0  t  31, t  N
Vậy có 32 giá trị của t. tức là có 32 giá trị k theo yêu cầu đề bài.
Suy ra trong khai triển trên có 32 số hạng là số hữu tỉ.

16
Ví dụ 13:
Cho n > 2 không đổi và p lấy giá trị từ 1 đến n. Tìm min, max của C
C
p
n

Lời giải:
Vì
C
p
n

1
=
n-p+1
p
> 1  p<
n+1
2

Vậy
C
p
n
nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n -1 ứng với
C
p
n
=
C
pn
n

= n
C
p
n
lớn nhất khi p =
n-1
2
nếu n lẻ và p =
n18
Tài Liệu Tham Khảo
[1]. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Tài Liệu Đánh Giá Trong Giáo Dục Toán,
Trường ĐHSP – Đại Học Huế.
[2]. Đoàn Quỳnh (tcb) – Nguyễn Huy Đoan (cb) – Nguyễn xuân Liêm – Nguyễn Khắc
Minh – Đặng Hùng Thắng (2007), Đại Số Và Giải Tích Nâng Cao 11, Nxb Giáo dục.
[3]. Trần Thành Minh (cb) – Nguyễn Thuận Nhờ - NGuyễn Anh Trường, Giải Toán
Tích Phân Giải Tích Tổ Hơp 12 (2006), Nxb Giáo dục.
[4]. Hà Văn Chương (2002), 342 Bài Toán Giải Tích Tổ Hợp, Nxb Giáo dục.