Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho:
( ) ( )
A A A B B B
A x ;y ;z ,B x ;y ;z
và
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ;a ;a ,b b ;b ;b= =
r r
. Khi đó:
( )
B A B A B A
1. AB x x ;y y ;z z = − − −
uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
2. AB x x y y z z = − + − + −
( )
1 1 2 2 3 3
3) a b a b ;a b ;a b± = ± ± ±
r r
( )
1 2 3
4. ka ;ka ;ka k.a =
r
2 2 2
1 2 3
5. a a a a = + +

 
=
 ÷
 
 
r r
11) a,b,c
r r r
đồng phẳng
m,n : a mb nc⇔ ∃ ∈ = +
r r r
¡
hay
a,b .c 0
 
=
 
r r r
12)a,b,c
r r r
không đồng phẳng
m,n : a mb nc⇔ ∃ ∈ = +
r r r
¡
hay
a,b .c 0
 
≠
 
r r r

 ÷
 
15. G là trọng tâm tứ diện ABCD:
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G ; ;
4 4 4
+ + + + + + + + +
 
 ÷
 
16. Véctơ đơn vị:
i (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1)= = =
r r r
17. Điểm trên các trục tọa độ:
M(x;0;0) Ox;N(0;y;0) Oy;K(0;0;z) Oz∈ ∈ ∈
18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ:
( ) ( ) ( )
M(x;y;0) Oxy ;N(0;y;z) Oyz ;K(x;0;z) Oxz∈ ∈ ∈
.
19. Diện tích tam giác ABC:
ABC
1
S AB,AC
2
∆
 
=
 
uuur uuur

không cùng phương hay
AB,AC 0
 
≠
 
uuur uuur r
.
•
( )
G G G
G x ; y ;z
là trọng tâm tam giác ABC thì:
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x ;y ;z
3 3 3
+ + + + + +
= = =
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 1
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
•
ABC
1
S AB,AC
2
∆
 
=
 

.
•
( )
G G G
G x ; y ;z
là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x ;y ;z
4 4 4
+ + + + + + + + +
= = =
• Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD
1
V AB;AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
Đường cao AH của tứ diện ABCD:
BCD
BCD
1 3V
V S .AH AH
3 S
= ⇒ =
• Thể tích hình hộp:

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S: x a y b z c R− + − + − =
và mặt phẳng
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
.
Tính:
( )
2 2 2
Aa Bb Cc D
d d I;
A B C
+ + +
= α =
+ +
. Khi đó, nếu:
•
d R>
: mặt cầu (S) và mặt phẳng
( )
α
không có điểm chung.
•
d R=
: mặt phẳng
( )

u n
α
=
uur uur
.
 Tọa độ H là giao điểm của (d) và (α).
 Bán kính
2 2
r R d= −
với
( )
d IH d I;= = α
.
3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
d : y y a t 1
z z a t
= +


= +


= +

và

2
S I;R : x a y b z c R− + − + − =
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng
( )
α
:
• Tâm I là trung điểm AB.
• Bán kính
( )
2 2 2
Aa Bb Cc D
R d I;
A B C
+ + +
= α =
+ +
.
• Phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
S I;R : x a y b z c R− + − + − =
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
• Giả sử mặt cầu (S) có dạng:
( )
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 2+ + + + + + =
.
• Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2).
• Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.

r r
là véctơ pháp tuyến của
( ) ( )
nα ⇔ ⊥ α
r
.
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 3
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
2. Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng
( )
α
: hai vectơ không cùng phương
a,b
r r
là cặp vectơ
chỉ phương của mặt phẳng
( )
a,bα ⇔
r r
có giá cùng song song với
( )
α
.
3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến
n
r
và cặp vectơ chỉ phương
a,b
r r
:

( ) ( ) ( )
A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c :
x y z
1
a b c
+ + =
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0.
7. Chùm mặt phẳng :
Giả sử
( ) ( )
' dα ∩ α =
trong đó:
( ) : Ax By Cz D 0α + + + =
và
( '): A'x B'y C'z D' 0α + + + =
.
Pt mp chứa (d) có dạng sau với
( ) ( )
2 2
m n 0 : m Ax By Cz D n A'x B'y C'z D' 0+ ≠ + + + + + + + =
.
8. Vị trí tương đối của hai mp
( )
α
và
( )
'α
:
( ) ( ') A : B :C A': B': C'α ∩ α ⇔ ≠

α β =
r r
r r
( , )
2. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:
• Cặp vectơ chỉ phương:
AB,AC
uuur uuur
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến
n AB,AC
 
=
 
r uuur uuur
.
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:
• M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M và có vectơ pháp tuyến
n AB=
r uuur
.
Dạng 3: Mặt phẳng (
α

( )
0 0 0 0
M x ; y ;z d∈
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 4
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
• Xác định vectơ chỉ phương
d d '
u ;u
uur uur
của đường thẳng
( )
d
và đường thẳng
( )
d'
.
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua
0
M
và có vectơ pháp tuyến
d d '
n u ,u
 
=
 
r uur uur
.

M x ; y ;z d∈
• Tính
0
MM
uuuuur
. Xác định vectơ chỉ phương
d
u
uur
của đường thẳng
( )
d
.
• Tính
0 d
n MM ,u
α
 
=
 
uur uuuuur uur
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua M (hoặc
0
M
) và có vectơ pháp tuyến
n
α

còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp
( )
α
) thì:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y
n u, v ; ;
y z z x x y
→ → →
 
 
= =
 ÷
 
 
 
là một VTPT của mp
( )
α
.
2. Phương trình tổng quát:
Ax By Cz D 0+ + + =
với
2 2 2
A B C 0+ + ≠
Vectơ pháp tuyến:
( )
n A;B;C=
r

chứa trục Oz.
*
( )
B C 0;D 0= = ≠ ⇔ α
song song với mp(Oyz);
( )
B C D 0= = = ⇔ α
chính là mp(Oyz)
(Các trường hợp khác suy ra tương tự).
5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
và
( )
' : A'x B'y C'z D' 0α + + + =
.
A B C D
( ) / /( ')
A' B' C' D'
α α ⇔ = = ≠
( ) ( ') AA' BB' CC' 0α ⊥ α ⇔ + + =
A B C D
( ) ( ')
A' B' C' D'
α ≡ α ⇔ = = =
A B B C C A
( ) ( ') hay hay
A' B' B' C' C' A'
α ∩ α ⇔ ≠ ≠ ≠

là góc của hai mặt phẳng, ta có:
2 2 2 2 2 2
AA' BB' CC'
cos
A B C . A' B' C'
+ +
ϕ =
+ + + +
8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho mp
( )
: Ax By Cz D 0α + + + =
và điểm
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
. Khi đó:
( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M ;
A B C
+ + +
α =
+ +
Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng:
Bài Toán 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng

• Tính
AB;AC AB,AC
 
⇒
 
uuur uuur uuur uuur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
n k. AB,AC
 
=
 
r uuur uuur
với k là số thực khác 0.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Bài Toán 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng
( )
α
Đi Qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
Và Vuông Góc Với
Đường Thẳng

uur
của đường thẳng
( )
1
∆
và vectơ chỉ phương
2
u
uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 2
u ,u
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. u ,u
 
=
 

uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 2
u ,u
 
 
uur uur
.
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 6
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. u ,u
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Chọn điểm
( )
( )
0 0 0 0 1

hoặc vectơ chỉ phương
2
u
uur
của đường thẳng
( )
2
∆
.
• Tính
1 1 2
u ,M M
 
 
uur uuuuuur
hoặc
2 1 2
u ,M M
 
 
uur uuuuuur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 1 2
n k. u ,M M
 
=

của mặt phẳng
( )
β
và vectơ pháp tuyến
2
n
uur
của mặt phẳng
( )
γ
.
• Tính
1 2
n ,n
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. n ,n
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng

u ,u
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 2
n k. u ,u
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Chọn điểm
( )
( )
0 0 0 0 1
M x ; y ;z ∈ ∆
hoặc
( )
( )
0 0 0 0 2
M x ; y ;z ∈ ∆
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.

u ,n
 
 
uur uur
.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
là
1 1
n k. u ,n
 
=
 
r uur uur
với k là số thực khác 0.
• Chọn điểm
( )
( )
0 0 0 0 1
M x ; y ;z ∈ ∆
.
• Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng
( )
α
.
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (α): ta có
d

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ; z
và có vectơ chỉ phương
( )
u a;b;c
→
=
có :
- Phương trình tham số của d:
o
0
0
x x at
y y bt (t R)
z z ct
= +


= + ∈


= +

- Phương trình chính tắc của d:
0 0 0
x x y y z z

0 0
[u, u '].M M 0
→ →
⇔ =
uuuuuur
.
+ d và
d'
cắt nhau
'
0 0
[u,u'].M M 0 [u,u'] 0
→ → → → →
⇔ = ∧ ≠
uuuuuur
.
+
'
0 0
d / /d' [u, u'] 0 [u,M M ] 0
→ → → → →
⇔ = ∧ ≠
uuuuuuur
.
+
'
0 0
d d' [u, u '] [u, M M ] 0
→ → → →
≡ ⇔ = =

Aa Bb Cc 0
d / /( )
Ax By Cz D 0
+ + =

α ⇔

+ + + ≠

+
0 0 0
Aa Bb Cc 0
d ( )
Ax By Cz D 0
+ + =

⊂ α ⇔

+ + + =

Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 8
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
+
d ( ) u / /n u,n 0
→
 
⊥ α ⇔ ⇔ =
 
r r r r
4. Góc giữa hai đường thẳng.

u a;b;c
→
=
và mặt phẳng
( )
α
có vectơ pháp tuyến
( )
n A;B;C=
r
. Gọi
ϕ
là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
ta có:
2 2 2 2 2 2
u.n
Aa Bb Cc
sin
A B C . a b c
u . n
→
→
→ →
+ +
ϕ = =
+ + + +
6. Khoảng cách từ điểm
( )

1 0
1
M M ,u
d M ;
u
 
 
∆ =
uuuuuur r
r
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau
∆
đi qua
( )
0 0 0 0
M x ; y ; z
và có vectơ chỉ phương
u
→
và đường thẳng
'∆
đi qua
( )
0 0 0 0
M' x' ;y' ; z'
và có vectơ chỉ phương
u'
→
.

 
uuuuuur
r ur
r ur
.
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương
u
→
:
• Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
• Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương
u AB=
r uuur
.
Ly Thuyet Hinh Hoc 12 NC HK II Trang 9
Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.
• Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương
của đường thẳng.
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương
u u
∆
=
r uur
.
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(

( )
α
.
• Lấy điểm M,
M A≠
trên d. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua M vuông góc với
( )
α
.
• Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của
∆
với
( )
α
.
• Đường thẳng
d'
chính là đường thẳng AH.
Đặc biệt: Nếu d song song
( )
α
thì đường thẳng
d'
là đường thẳng đi qua H và song song d.
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2

d , d
.
• Lấy A, B lần lượt thuộc
( ) ( )
1 2
d , d
(tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).
• Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó:
( )
1
2
AB.u 0
*
AB.u 0

=


=


uuur uur
uuur uur
. Giải hệ phương trình
( )
*

tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B.
• Viết phương trình đường vuông góc chung.
Dạng 7: PT qua A và d cắt d

2
)
với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp (α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ (α)
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d = (