Mục lục
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§3. Phương Trình Lượng Giác Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
Nguyễn Minh Hiếu
2
Chuyên đề 8
Phương Trình Lượng Giác
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Bài tập 8.1. Giải các phương trình sau:
a) sin x =
4
3
. b) sin x =
1
4
.
c) cot x = −2.
d) sin

x −
π
3

=
√
2
2
.

+ k2π
(k ∈ Z).
c) cot x = −2 ⇔ x = arc cot(−2) + kπ (k ∈ Z).
d) sin

x −
π
3

=
√
2
2
⇔

x −
π
3
=
π
4
+ k2π
x −
π
3
=
3π
4
+ k2π
⇔

√
3 ⇔ 45
0
−3x = −60
0
+ k180
0
⇔ 3x = 105
0
−k180
0
⇔ x = 45
0
−k60
0
(k ∈ Z).
Bài tập 8.2. Giải các phương trình sau:
a) cos

5x +
π
4

= cos 2x. b) sin

π
3
− x

= sin

= tan x.
g) tan x = 3 cot x. h) tan

x +
π
6

. tan

x +
π
3

= 1.
i)
cos 2x
sin x+cos x
= cos x −
√
3
2
.
Lời giải.
a) cos

5x +
π
4

= cos 2x ⇔

= sin

3x +
π
6

⇔

π
3
− x = 3x +
π
6
+ k2π
π
3
− x = π −3x −
π
6
+ k2π
⇔

x =
π
24
− k
π
2
x =
π

0
(k ∈ Z).
d) PT⇔ cos

x +
π
3

= −sin 5x ⇔ cos

x +
π
3

= sin (−5x)
⇔ cos

x +
π
3

= cos

π
2
+ 5x

⇔

x +

5x +
π
4

= tan 2x ⇔

2x =
π
2
+ kπ
5x +
π
4
= 2x + kπ
⇔

x =
π
4
+ k
π
2
x = −
π
12
+ k
π
3
⇔ x = −
π

3π
8
+ k
π
2
(k ∈ Z).
g) tan x = 3 cot x ⇔ tan x =
3
tan x
⇔ tan x = ±
√
3 ⇔ x = ±
π
3
+ kπ (k ∈ Z).
h) PT⇔ tan

x +
π
6

= cot

x +
π
3

⇔ tan

x +

+ kπ
x =
π
12
+ k
π
2
(k ∈ Z).
i) Điều kiện x = −
π
4
+ kπ.
PT⇔ cos x − sin x = cos x −
√
3
2
⇔ sin x =
√
3
2
⇔

x =
π
3
+ k2π
x =
2π
3
+ k2π

3
x − 3 cos x + 2 = 0.
Lời giải.
a) 3 sin 4x + 4 = 0 ⇔ sin 4x = −
4
3
(phương trình vô nghiệm).
b) 3 cos 3x − 1 = 0 ⇔ cos 3x =
1
3
⇔ 3x = ±arccos
1
3
+ k2π ⇔ x = ±
1
3
arccos
1
3
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
c)
√
3 tan

π
4
− 2x


x − 60
0

=
√
3
3
⇔ x−60
0
= 60
0
+ k180
0
⇔ x = 120
0
+ k180
0
(k ∈ Z).
e) sin
2
x − 3 sin x + 2 = 0 ⇔

sin x = 1
sin x = 2 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
f) 2cos

2
x + 3 cot x − 4 = 0 ⇔

cot x = 1
cot x = −4
⇔

x =
π
4
+ kπ
x = arc cot(−4) + kπ
(k ∈ Z).
i) cos
3
x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔

cos x = −2 (vô nghiệm)
cos x = 1
⇔ x = k2π (k ∈ Z)
Bài tập 8.4. Giải các phương trình sau:
a) cos
2
x − 5 sin x + 5 = 0.
b) sin
2
x + 3 cos x − 3 = 0.
c) cos
2
2x − 6 sin x cos x − 3 = 0.

⇔ x = −
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ −2sin
2
x + 5 sin x + 3 = 0 ⇔

sin x = 3 (vô nghiệm)
sin x = −
1
2
⇔

x = −
π
6
+ k2π
x =
7π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2cos
2
2x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔

cos 2x = 1
cos 2x =
1


tan x = 1
tan x =
2
5
⇔

x =
π
4
+ kπ
x = arctan
2
5
+ kπ
(k ∈ Z).
b) 2 tan x + 2 cot x = 5 ⇔ 2tan
2
x − 5 tan x + 2 = 0 ⇔

tan x = 2
tan x =
1
2
⇔

x = arctan 2 + kπ
x = arctan
1
2

+ k2π
(k ∈ Z).
e) PT⇔ sin x(1−cos x) = (1−cos x)sin
2
x ⇔ sin x(1−cos x) (1 − sin x) = 0 ⇔

x = kπ
x =
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
4
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài tập 8.6. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin x + cos x =
√
5.
b) 3 sin 2x − 4 cos 2x − 5 = 0.
c) sin 3x −
√
3 cos 3x = 2. d)
√
2 (sin 3x + cos 3x) = 2.
e) cos x +
√
3 sin x = 1.
f) 2 sin x − 3 cos x = 2.
Lời giải.

√
5
.
b) PT⇔
3
5
sin 2x −
4
5
cos 2x = 1. Đặt
3
5
= cos α,
4
5
= sin α, phương trình trở thành
cos α sin 2x − sin α cos 2x = 1 ⇔ sin (2x − α) = 1 ⇔ x =
α
2
+
π
4
+ kπ
Vậy phương trình có nghiệm x =
α
2
+
π
4
+ kπ (k ∈ Z), trong đó cos α =

4

= 1 ⇔ x =
π
12
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
e) PT⇔
1
2
cos x +
√
3
2
sin x =
1
2
⇔ sin

π
6
+ x

=
1
2
⇔


2
− α

⇔

x =
π
2
+ k2π
x =
π
2
+ 2α + k2π
Vậy phương trình có nghiệm

x =
π
2
+ k2π
x =
π
2
+ 2α + k2π
(k ∈ Z), trong đó cos α =
2
√
13
, sin α =
3
√

x +
π
6

= sin 4x ⇔

x =
π
18
− k
2π
3
x =
π
6
+ k
2π
5
(k ∈ Z).
b) cos 2x − 2
√
3 sin x cos x = 2 sin x ⇔ sin

π
6
− 2x

= sin x ⇔

x =

⇔

x =
π
4
+ k
2π
3
x = −
π
20
+ k
2π
5
(k ∈ Z).
d)
√
3 sin x + cos x + 2 cos

x −
π
3

= 2 ⇔ cos

x −
π
3

=

+ cos
4
x
2

+
√
3 sin 2x = 2.
c) 3 sin 3x −
√
3 cos 9x = 1 + 4sin
3
3x. d) 2
√
2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x.
Lời giải.
a) PT⇔ sin
2
x
2
+ 2 sin
x
2
cos
x
2
+ cos
2
x
2

x = −
π
6
+ kπ
x =
π
2
+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin 9x −
√
3 cos 9x = 1 ⇔ sin

9x −
π
3

=
1
2
⇔

x =
π
18
+ k
2π
9
x =
7π

x cos 3x + 4cos
3
x sin 3x + 3
√
3 cos 4x = 3.
d) (B-2012) 2

cos x +
√
3 sin x

cos x = cos x −
√
3 sin x + 1.
e) 1 + 2 (cos 2x tan x − sin 2x) cos
2
x = cos 2x.
f) (B-09) sin x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2

cos 4x + sin
3
x

.
Lời giải.
a) PT⇔
√
3 cos 5x−(sin x + sin 5x)−sin x = 0 ⇔

α
2
+ kπ (k ∈ Z).
c) PT⇔ (3 sin x − sin 3x) cos 3x + (3 cos x + cos 3x) sin 3x + 3
√
3 cos 4x = 3
⇔ sin x cos 3x+cos x sin 3x+
√
3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x+
√
3 cos 4x = 1 ⇔

x = −
π
24
+ k
π
2
x =
π
8
+ k
π
4
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 2cos
2
x +
√
3 sin 2x = cos x −


2x +
π
4

=
1
√
2
⇔

x = kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
f) PT⇔ sin x

1 − 2sin
2
x

+ cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin 3x +

c) 2sin
2
x − 3cos
2
x + 5 sin x cos x − 2 = 0. d) sin 2x − 2sin
2
x − 2 cos 2x = 0.
e) 4sin
3
x + 3cos
3
x − 3 sin x − sin
2
x cos x = 0.
f) (B-08) sin
3
x −
√
3cos
3
x = sin xcos
2
x −
√
3sin
2
x cos x.
Lời giải.
a) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình.
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos


tan x = 1
tan x = −3
⇔

x =
π
4
+ kπ
x = arctan(−3) + kπ
(k ∈ Z)
c) Nhận thấy cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ là nghiệm phương trình.
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta có:
2tan
2
x − 3 + 5 tan x − 2

1 + tan
2
x

= 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z)

3
x ta có:
4tan
3
x + 3 − 3 tan x

1 + tan
2
x

− tan
2
x = 0 ⇔

tan x = 1
tan x = ±
√
3
⇔

x =
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z)
f) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình.

Bài tập 8.11. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos x + 4 sin x =
3
cos x
.
b) 2 sin x + 2
√
3 cos x =
√
3
cos x
+
1
sin x
.
c) sin x cos 2x = 6 cos x (1 + 2 cos 2x).
d) sin x sin 2x + sin 3x = 6cos
3
x.
e) sin
3

x +
π
4

=
√
2 sin x.
f) sin

⇔

x =
π
4
+ kπ
x = arctan
1
3
+ kπ
(k ∈ Z).
b) Điều kiện sin x = 0; cos x = 0.
PT⇔ 2tan
2
x+2
√
3 tan x =
√
3 tan x

1 + tan
2
x

+1+tan
2
x ⇔

tan x = ±1
tan x =

⇔ sin
3
x − 12sin
2
x cos x − sin xcos
2
x + 12cos
3
x + 6 cos x = 0
⇔ tan
3
x − 12tan
2
x − tan x + 12 + 6

1 + tan
2
x

= 0
⇔

tan x = 2
tan x = 2 ±
√
3
⇔

x = arctan 2 + kπ
x = arctan

3
⇔

x = arctan 2 + kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z).
e) Đặt x +
π
4
= t, phương trình trở thành sin
3
t =
√
2 sin

t −
π
4

⇔ sin
3
t = sin t − cos t.
Nhận thấy cos t = 0 ⇔ t =
π
2
+ kπ ⇒ x =
π

2x + 2cos
3
2x = 0 ⇔ −tan
3
2x + 3 tan 2x + 2 = 0
⇔

tan 2x = 2
tan 2x = −1
⇔

x =
1
2
arctan 2 + k
π
2
x = −
π
4
+ k
π
2
(k ∈ Z).
Bài tập 8.12. Giải các phương trình sau:
a) 3 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0.
b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1.
c) 2 sin x + sin 2x −2 cos x + 2 = 0. d) 3 cos 2x + sin 4x + 6 sin x cos x = 3.
Lời giải.
a) Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤

(k ∈ Z).
b) Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x = 1 − t
2
, thay vào phương trình ta có:
t + 7

1 − t
2

= 1 ⇔ 7t
2
− t − 6 = 0 ⇔

t = 1
t = −
6
7
Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin

x −
π
4

=
1
√
2
⇔

π
4
+ arcsin

−
6
7
√
2

+ k2π
x =
5π
4
− arcsin

−
6
7
√
2

+ k2π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ 2(sin x − cos x) + sin 2x + 2 = 0.
Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x = 1 − t
2
, thay vào phương trình ta có:

2
− 1, thay vào phương trình ta có:
3t + t
2
− 1 = 3 ⇔ t
2
+ 3t − 4 = 0 ⇔

t = 1
t = −4 (loại)
Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin

2x +
π
4

=
1
√
2
⇔

x = kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
Bài tập 8.13. Giải các phương trình sau:
a) |sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1.

t + 4(1 − t
2
) = 1 ⇔ 4t
2
− t − 3 = 0 ⇔

t = 1
t =
3
4
(loại)
Với t = 1 ⇒ |sin x − cos x| = 1 ⇔ sin

x −
π
4

= ±
1
√
2
⇔




x =
π
2
+ k2π

2
⇔

x = π + k2π
x =
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
Với t = 0 ⇒ sin x − cos x = 0 ⇔ sin

x −
π
4

= 0 ⇔ x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
c) PT⇔ 1 + (sin x + cos x)
3
− 3 sin x cos x (sin x + cos x) = 3 sin x cos x.
Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin x cos x =
t
2
−1
2
, thay vào phương trình ta có:

√
2
⇔

x = π + k2π
x = −
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ (sin 2x + cos 2x)
3
− 3 sin 2x cos 2x (sin 2x + cos 2x) + sin 2x cos 2x = 1.
Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x cos 2x =
t
2
−1
2
, thay vào phương trình ta có:
t
3
− 3t
t
2
− 1
2
+
t

a) (D-2013) sin 3x + cos 2x − sin x = 0. b) (CĐ-2012) 2 cos 2x + sin x = sin 3x.
c) sin 3x + sin 2x = 5 sin x. d) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
e) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. f) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x.
Lời giải.
a) PT⇔ 2 cos 2x sin x+cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin x + 1) = 0 ⇔

cos 2x = 0
sin x = −
1
2
⇔


x =
π
4
+ k
π
2
x = −
π
6
+ k2π
x =
7π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 2 cos 2x = 2 cos 2x sin x ⇔ 2 cos 2x (1 − sin x) = 0 ⇔


(vô nghiệm)
⇔ x = kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ 2 cos 2x cos x + 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ 2 cos x (cos 3x + cos 2x) = 0
⇔ 4 cos x cos
5x
2
cos
x
2
= 0 ⇔


cos x = 0
cos
5x
2
= 0
cos
x
2
= 0
⇔


x =
π
2
+ kπ
x =
π

π
2
+ kπ
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
f) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos 2x (2 cos x + 1)
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos 2x) = 0 ⇔

cos x = −
1
2
tan 2x = 1
⇔

x = ±
2π
3
+ k2π
x =
π
8
+ k
π

cos 4x = 0
sin 3x =
1
2
⇔


x =
π
8
+ k
π
4
x =
π
18
+ k
2π
3
x =
5π
18
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 2 sin 7x cos 2x − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin 7x − 1) = 0
⇔

cos 2x = 0

cos 2x = 0
√
2 (sin x + cos x) = 1
⇔

cos 2x = 0
sin

x +
π
4

=
1
2
⇔


x =
π
4
+ k
π
2
x = −
π
12
+ k2π
x =
7π

⇔

x = ±
2π
3
+ k2π
x = ±
π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
9
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.16. Giải các phương trình sau:
a) cos 5x cos x = cos 4x. b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.
c) cos x cos 3x −sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0.
d) (D-09)
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
e) 4 cos
5x
2
cos
3x
2
+ 2 (8 sin x −1) cos x = 5. f) cos x cos
x
2
cos
3x


x = k
π
4
x = k
π
2
(k ∈ Z).
c) PT⇔
1
2
(cos 2x + cos 4x) −
1
2
(cos 4x − cos 8x) −
1
2
(cos 2x − cos 10) = 0
⇔ cos 10x + cos 8x = 0 ⇔ 2 cos 9x cos x = 0 ⇔

x =
π
18
+ k
π
9
x =
π
2
+ kπ

2
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2 (cos x + cos 4x) + 8 sin 2x − 2 cos x = 5 ⇔ 2

1 − 2sin
2
2x

+ 8 sin 2x = 5
⇔

sin 2x =
3
2
(vô nghiệm)
sin 2x =
1
2
⇔

x =
π
12
+ kπ
x =
5π
12
+ kπ
(k ∈ Z).
f) PT⇔


x = −
π
4
+ kπ
x = −
π
2
+ k2π
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
Bài tập 8.17. Giải các phương trình sau:
a) (B-2013) sin 5x + 2 cos
2
x = 1.
b) sin
2
x + sin
2
3x = 2sin
2
2x.
c) cos

6
+ k
2π
3
x = −
π
14
+ k
2π
7
(k ∈ Z).
b) PT⇔
1−cos 2x
2
+
1−cos 6x
2
=
2(1−cos 4x)
2
⇔ cos 2x + cos 6x = cos 4x
⇔ 2 cos 4x cos 2x = cos 4x ⇔ cos 4x (2 cos 2x − 1) = 0 ⇔

cos 4x = 0
cos 2x =
1
2
⇔

x =

⇔ 2 cos x (cos 7x − cos 11x) = 2 cos x sin 2x sin 9x = 0 ⇔


cos x = 0
sin 2x = 0
sin 9x = 0
⇔

x = k
π
2
x = k
π
9
(k ∈ Z).
Bài tập 8.18. Giải các phương trình sau:
a) cos
2
x = cos
4x
3
. b) 1 + 2cos
2
3x
5
= 3 cos
4x
5
.
c) 1 + sin

2
+ cos
4
x
2
= 1 − 2 sin x.
f) (D-05) cos
4
x + sin
4
x + cos

x −
π
4

sin

3x −
π
4

−
3
2
= 0.
Lời giải.
a) PT⇔
1+cos 2x
2

2
⇔

x = k3π
x = ±
π
4
+ k3π
(k ∈ Z).
10
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
b) PT⇔ 2 + cos
6x
5
= 3

2cos
2
2x
5
− 1

⇔ 4cos
3
2x
5
− 3 cos
2x
5
= 6cos


x = k5π
x = ±
5
2
arccos
1−
√
21
4
+ k5π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin
x
2
sin x − cos
x
2
sin
2
x = cos

π
2
− x

⇔ sin x

sin
x

⇔

x = kπ
x = π + k4π
⇔ x = kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ 2 sin 2x

1 −
1
2
sin
2
2x

+ sin
3
2x = 1 ⇔ sin 2x =
1
2
⇔

x =
π
12
+ kπ
x =
5π
12
+ kπ
(k ∈ Z).

2x + sin 2x −

1 − 2sin
2
2x

− 3 = 0
⇔ sin
2
2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔

sin 2x = 1
sin 2x = −2 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
Bài tập 8.19. Giải các phương trình sau:
a) (D-04) (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
b) cos 2x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0.
c) (B-05) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. d) (D-08) 2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
e) (A-2012)
√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1.
f) 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3 (4 sin x −1).
g) 2cos
3
x + cos 2x + sin x = 0.
h) (A-07)


(k ∈ Z).
b) PT⇔ cos
2
x − sin
2
x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0 ⇔ (cos x − sin x) (sin x −cos x − 1) = 0
⇔

tan x = 1
sin

x −
π
4

=
1
√
2
⇔


x =
π
4
+ kπ
x =
π
2
+ k2π

sin 2x = 1
⇔

x = ±
2π
3
+ k2π
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2
√
3 sin x cos x + 2cos
2
x − 2 cos x = 0 ⇔ 2 cos x

√
3 sin x + cos x −2

= 0
⇔

cos x = 0
sin

x +
π
6


1 − sin
2
x

(cos x + 1) − (1 − sin x) = 0
⇔ (1 − sin x) [2 (1 + sin x) (cos x + 1) − 1] = 0 ⇔

sin x = 1
2 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 1 = 0
⇔

sin x = 1
sin x + cos x = 0
⇔

sin x = 1
tan x = −1
⇔

x =
π
2
+ k2π
x = −
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
h) PT⇔ cos x + sin

x = k2π
x = π + k2π
(k ∈ Z).
11
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.20. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x + 5 = 2 (2 − cos x) (sin x − cos x). b) 2 cos x (1 −cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 sin x.
c) (D-2010) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. d) (B-2010) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x −sin x = 0.
e) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2x + cos 2x = 8. f) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
Lời giải.
a) PT⇔ 2cos
2
x + 4 = 4 (sin x − cos x) − sin 2x + 2cos
2
x ⇔ 4 (sin x − cos x) − sin 2x − 4 = 0
⇔

sin x − cos x = 1
sin x − cos x = −5 (vô nghiệm)
⇔ sin

x −
π
4

=
1
√
2
⇔

+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔ 2 sin x cos x −

1 − 2sin
2
x

+ 3 sin x − cos x −1 = 0
⇔ cos x (2 sin x − 1) + (sin x + 2) (2 sin x − 1) = 0 ⇔ (2 sin x − 1) (sin x + cos x + 2) = 0
⇔

sin x =
1
2
sin x + cos x = −2 (vô nghiệm)
⇔

x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 2 sin xcos
2
x + cos 2x cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 ⇔ sin x cos 2x + cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0

f) PT⇔ sin x (1 + cos 2x) + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x ⇔ sin x (cos 2x + cos x) = cos 2x + cos x
⇔ (cos 2x + cos x) (sin x − 1) = 0 ⇔


sin x = 1
cos x = −1
cos x =
1
2
⇔


x =
π
2
+ k2π
x = π + k2π
x = ±
π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
Bài tập 8.21. Giải các phương trình sau:
a) 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1. b) (D-06) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
c) (A-05) cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0. d) 4cos
2

2
x

cos x

= 0 ⇔

cos x = 0
cos x = 1
⇔

x =
π
2
+ kπ
x = k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 4cos
3
x − 3 cos x + 2cos
2
x − 1 −cos x − 1 = 0 ⇔

cos x = ±1
cos x = −
1
2
⇔

x = kπ

2
+ kπ (k ∈ Z).
e) PT⇔ 4(1 + cos 2x)
3
−

4cos
3
2x − 3 cos 2x

= 1 ⇔

cos 2x = −1
cos 2x = −
1
4
⇔

x =
π
2
+ kπ
x = ±
1
2
arccos

−
1
4

4

sin

2x −
π
4

+ 1 = 0
⇔






tan x = 1

sin

x +
π
4

= 1
sin

2x −
π
4

π
4
+ k2π
x = −
π
8
+ kπ

x = −
π
2
+ k2π
x =
3π
8
+ kπ
⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
12
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
Bài tập 8.22. Giải các phương trình sau:
a) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x.
b) 1 + tan x = 2
√
2 sin x.
c) (A-2013) 1 + tan x = 2
√
2 sin


tan x = −1
tan x =
3±
√
17
4
⇔

x = −
π
4
+ kπ
x = arctan
3±
√
17
4
+ kπ
(k ∈ Z).
b) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔ cos x + sin x =
√
2 sin 2x ⇔ sin

x +
π
4

= sin 2x ⇔

(k ∈ Z) (thỏa mãn).
d) PT⇔ 4tan
2
x + 3tan
2
x

1 + tan
2
x

= 1 + tan
2
x ⇔ tan
2
x =
−3±2
√
3
3
⇔ tan x = ±

−3+2
√
3
3
⇔ x = arctan

±


√
5
2
sin x =
−1−
√
5
2
⇔





x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
x = −
π
4
+ arcsin
−1+
√
5
2

2
= −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
g) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔ 3 sin x cos x + 2(sin x cos x)
2
= 1 ⇔

sin x cos x =
−3+
√
17
4
sin x cos x =
−3−
√
17
4
(vô nghiệm)
⇔ sin 2x =
−3+
√
17
2
⇔

x =
1


sin x = −2 (vô nghiệm)
sin x =
1
2
⇔

x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
Bài tập 8.23. Giải các phương trình sau:
a) (sin x − cos x)
2
+ tan x = 2sin
2
x.
b) (1 − tan x) (1 + sin 2x) = 1 + tan x.
c) sin
2
x (tan x + 1) = 3 sin x (cos x − sin x) + 3.
d) (D-03) sin
2

x

x − 2 tan x + tan x

1 + tan
2
x

= 2tan
2
x
⇔ tan
3
x − tan
2
x − tan x + 1 = 0 ⇔

tan x = 1
tan x = −1
⇔

x =
π
4
+ kπ
x = −
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
b) PT⇔ (1 − tan x)


x

= 0 ⇔
13
Nguyễn Minh Hiếu

tan x = −1
tan x = ±
√
3
⇔

x =
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z).
d) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔

1 − cos

x −
π
2


cos x
sin x
+ sin x
cos x cos
x
2
+sin x sin
x
2
cos x cos
x
2
= 4 ⇔
cos x
sin x
+
sin x
cos x
= 4
⇔
1
sin x cos x
= 4 ⇔ sin 2x =
1
2
⇔

x =
π
12

π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z).
g) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔ 3cos
2
x (1 − sin x) − 5sin
2
x (1 − cos x) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x
⇔ 3 cos x (cos x − sin x cos x + sin x) = 5 sin x (sin x − sin x cos x + cos x) = 0
⇔ (cos x − sin x cos x + sin x) (3 cos x − 5 sin x) = 0
⇔

sin x + cos x − sin x cos x = 0
5 sin x − 3 cos x = 0
⇔


sin x + cos x = 1 +
√
2 (vô nghiệm)
sin x + cos x = 1 −
√
2
5 sin x − 3 cos x = 0

+ k2π
x =
3π
4
− arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x = arctan
3
5
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
h) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔ 2sin
2
x (1 − cos x) + 3cos
2
x (1 − sin x) + 2 sin x cos x + 3 sin x cos x = 0
⇔ 2 sin x (sin x − sin x cos x + sin x) + 3 cos x (cos x − sin x cos x + sin x) = 0
⇔ (sin x − sin x cos x + cos x) (2 sin x + 3 cos x) = 0
⇔⇔

sin x + cos x − sin x cos x = 0
2 sin x + 3 cos x = 0



4
+ arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x =
3π
4
− arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x = arctan

−
3
2

+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
Bài tập 8.24. Giải các phương trình sau:
a)
sin x + sin 2x + sin 3x
cos x + cos 2x + cos 3x

2

cos
3
x + 2sin
3
x

2 sin x + 3 cos x
= sin 2x.
f)
2sin
2
x + cos 4x − cos 2x
(sin x − cos x) sin 2x
= 0.
Lời giải.
a) PT⇔
sin x + sin 2x + sin 3x
cos x + cos 2x + cos 3x
=
√
3 ⇔
2 sin 2x cos x + sin 2x
2 cos 2x cos x + cos 2x
=
√
3 ⇔
sin 2x (2 cos x + 1)
cos 2x (2 cos x + 1)

+ 4 (1 − cos 2x) − 11 − 3 cos 2x = 0 ⇔

cos 2x = −1
cos 2x = −
4
3
(vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
14
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
c) Điều kiện: sin 2x = −1.
PT⇔ sin 2x + 3
√
2 cos x − 2cos
2
x − 1 = 1 + sin 2x ⇔

cos x =
√
2
cos x =
√
2

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
e) Điều kiện: tan x = −
3
2
.
PT⇔ cos
3
x + 2sin
3
x = 2sin
2
x cos x + 3 sin xcos
2
x ⇔ 1 + 2tan
3
x = 2tan
2
x + 3 tan x
⇔

tan x = −1
tan x =
2±
√
2
2
⇔

4
+ kπ (k ∈ Z).
Bài tập 8.25. Giải các phương trình sau:
a) (A-06)
2

cos
6
x + sin
6
x

− sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0.
b)
1 − cos 4x
2 sin 2x
=
sin 4x
1 + cos 4x
.
c)
3 (sin x + tan x)
tan x − sin x
− 2 cos x = 2.
d)
tan x + cot x
cot x − tan x

1
2
sin 2x = 0 ⇔

sin 2x = 1
sin 2x = −
4
3
(vô nghiệm)
⇔ x =
π
4
+ kπ.
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
5π
4
+ k2π (k ∈ Z).
b) Điều kiện: sin 2x = 0, cos 4x = −1.
PT⇔
2sin
2
2x
2 sin 2x
=
2 sin 2x cos 2x
2cos
2
2x
⇔ sin 2x =
sin 2x


tan 2x = 5
tan 2x = −1
⇔

x = ±
1
2
arctan 5 + k
π
2
x = −
π
8
+ k
π
2
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
e) Điều kiện: sin 4x = 0.
PT⇔ 2 sin x cos 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 sin x

1 − 2sin
2
x

− 2sin
2
x = 0
⇔


⇔ x = ±
π
3
+ kπ (k ∈ Z) (thỏa mãn).
15
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.26. Giải các phương trình sau:
a) (A-08)
1
sin x
+
1
sin

x −
3π
2

= 4 sin

7π
4
− x

.
b) (A-03) cot x − 1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2

+
1
cos x
= −2
√
2 (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x)

1 +
√
2 sin 2x

= 0
⇔

sin x + cos x = 0
1 +
√
2 sin 2x = 0
⇔

tan x = −1
sin 2x = −
1
√
2
⇔


x = −
π


1 −
1
2
sin 2x +
1−cos 2x
2

= 0
⇔

cos x − sin x = 0
sin 2x + cos 2x = 3 (vô nghiệm)
⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z) (thỏa mãn).
c) Điều kiện: sin x = 0.
PT⇔ sin
2
x

sin 2x + 2cos
2
x

=
√
2 sin x sin 2x ⇔ sin x sin 2x


4
+ k2π
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm: x =
π
2
+ kπ, x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
d) Điều kiện: cos x = 0, tan x = −1.
PT⇔ (1 + sin x + cos 2x) (sin x + cos x) =
sin x+cos x
cos x
cos x ⇔ sin x + cos 2x = 0
⇔ 2sin
2
x − sin x − 1 = 0 ⇔

sin x = 1 (loại)
sin x = −
1
2
⇔

x = −
π
6
+ k2π
x =
7π

.
PT⇔ cos x − sin 2x =
√
3 (sin x + cos 2x) ⇔ cos x −
√
3 sin x =
√
3 cos 2x + sin 2x
⇔ sin

π
6
− x

= sin

π
3
+ 2x

⇔

x = −
π
18
− k
2π
3
x =
π

18
− k
2π
3
x =
π
2
+ k2π (loại)
(k ∈ Z).
c) Điều kiện: cos x = 0, tan x = −
3
2
.
PT⇔ 5 + cos
2
x − sin
2
x = 6 cos x + 4 sin x ⇔ (cos x − 3)
2
= (sin x + 2)
2
⇔ −cos x + 3 = sin x + 2 ⇔ sin x + cos x = 1
⇔ sin

x +
π
4

=
1

⇔

x = k2π (loại)
x =
3π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
16
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
Bài tập 8.28. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước:
a) sin 2x = 0 trên [0; 2π].
b)
√
3 tan x − 3 = 0 trên (0; 3π).
c) cos

x −
π
4

= 1 trên [−π; 3π]. d) cot

2x +
π
6

= −1 trên (0; 5π).
e) sin
2

3
+ kπ (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên (0; 3π) là x ∈

π
3
;
4π
3
;
7π
3

.
c) Ta có cos

x −
π
4

= 1 ⇔ x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên [−π; 3π] là x ∈

π
4
;
9π

55π
24
;
77π
24
;
89π
24
;
101π
24
;
113π
24

.
e) Ta có sin
2
+ 6 sin x − 7 = 0 ⇔

sin x = 1
sin x = −7 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên

π
2

2
x − 1

+ 3 cos x − 4 = 0
⇔

cos x = 0
cos x = 2 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên [0; 14] là x ∈

π
2
;
3π
2
;
5π
2
;
7π
2

.
Bài tập 8.30. Tìm nghiệm thuộc

π

x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên

π
2
; 3π

là x ∈

π; 2π;
13π
6
;
5π
6
;
17π
6

.
Bài tập 8.31. Tìm nghiệm thuộc

0;
3π
2


2

là x ∈

π
36
;
13π
36
;
25π
36
;
37π
36
;
49π
36

.
Bài tập 8.32. (A-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 5

sin x +
cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x

=
cos 2x + 3.
Lời giải. Điều kiện: sin 2x = −
1

⇔

cos x = 2 (vô nghiệm)
cos x =
1
2
⇔ x = ±
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên

0;
3π
2

là x ∈

π
36
;
13π
36
;
25π
36
;
37π
36
;