MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC
Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ
xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cơ sở xây
dựng những lược đồ khác nhau, từ đó đi đến các quy luật phân phối xác suất
tương ứng với mỗi lược đồ.
Giả sử một tập hợp N phần tử. Trong đó có M phân tử mang tính chất B nào
đó, còn N-M phần tử không mang tính chất B. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu
nhiên từ tập hợp ra một phần tử. Theo những cách lấy khác nhau sẽ dẫn đến
những lược đồ khác nhau và các quy luật phân phối xác suất khác nhau.
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số quy luật phân phối xác suất thường
gặp nhất đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. Điều đó làm
cho việc phân loại các đại lượng ngẫu nhiên trong thực tế theo các quy luật
phân phối xác suất được dễ dàng hơn.
4.1. Quy luật nhị thức B(n, p)
a) Bài toán:
Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó, còn
N-M phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n phần tử.
Nếu lấy theo phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lập với nhau vì
việc lấy được phần tử có tính chất B, hay không có tính chất B trong mỗi lần
lấy không ảnh hưởng đến khả năng lấy được phần tử có tính chất B hay
không có tính chất B ở các lần lấy khác. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 trường
hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A xảy ra (lấy được phấn tử có tính chất B)
hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được phần tử không có tính chất B).
Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng xác suất
cho biến cố A không xảy ra cũng đều bằng
Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứng minh ở
chương II, xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tính bằng công
thức Bernoulli:
(1)
b) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có

thì X phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là
X ~ B(5; 0,1)).
Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2. Theo
công thức (3.2) ta có:
Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhận giá
trị trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có:
Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144
Ví dụ 3: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu gồm có 4
phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án trả lời đúng. Với một câu, nếu
học sinh đó trả lời đúng thì được 1 điểm, ngược lại, sẽ không có điểm. Do
học sinh đó lười học nên không nắm được bài, đã làm bài bằng cách chọn
đại 1 phương án trả lời. Tìm xác suất để học sinh đó đạt được kết quả (đạt 50
điểm trở lên)
Học sinh thực hiện bài trắc nghiệm trên chính là đã thực hiện 100 phép thử
Bernoulli, với xác suất thành công là 0.25. Gọi X là số điểm của học sinh đó
thì X ~ B(100;0.25)
Tuy nhiên, ở đây ta không thể làm như ví dụ 2, vì xác suất của biến cố học
sinh đạt kết quả tương đương với xác suất P( X ≥ 50). Vì việc liệt kê và tính
từng trường hợp X = 50, 51, 52, …, 100 tốn rất nhiều thời gian.
Trong thực tế khi số phép thử n khá lớn, việc sử dụng các công thức (2) và
(3) gặp nhiều khó khăn. Trong trường hợp này, người ta thường sử dụng các
công thức gần đúng để tính toán.
Khi n khá lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1, ta có thể áp
dụng công thức tích phân Laplace xấp xỉ như sau:
(4)
trong đó gọi là hàm Gauss
Nhận xét:
1. Để tính giá trị của các hàm f(u), chúng ta có thể tra các giá trị hàm
Laplace được tính sẵn ở các bảng phụ lục (thông thường các sách XSTK đều
có bảng phụ lục này).

3.Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền
trả góp 500.000đ cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi
chiếc được cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày.
Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu
nhiên X có phân phối nhị thức B(3;0.8).
a.Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b. Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe. Theo bạn, trạm
nên có 3 hay 4 chiếc xe?
4. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên 1000 laptop ta gặp:
a. 10 máy bị lỗi. Đ/s: 0.018
b. Có không quá 5 máy bị lỗi Đ/s:0.61596
5. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ
chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm.
Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 75 sản phẩm loại 1 trở lên thì
được nâng bậc.
Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại 1 đối
với 2 máy lần lượt là 0.7 và 0.8.
Tính xác suất để công nhân được nâng bậc thợ. Đ/s: 0.5161
d. Các ví dụ:
1. Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ
phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1;
0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác
suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó.
Giải: Gọi Ai là biến cố “bộ phận thứ i của thiết bị hoạt động tốt trong
khoảng thời gian T” (i = 1, 2, 3 ). Gọi A là biến cố “thiết bị hoạt động tốt
trong khoảng thời gian T”.
Như vậy: A = A1.A2.A3. Vì A1,A2 ,A3 độc lập toàn phần với nhau, do đó:
P(A) = P(A1).P(A2).P(A3)
Các biến cố “bộ phận thứ i hoạt động tốt”và “bộ phận thứ i bị hỏng” là đối

3 tạo ra.
Vậy, đặt Bi = “Sản phẩm của phân xưởng i” , i = 1, 2, 3
Khi đó: P(A) = P(A/B1).P(B1) + P(A/B2).P(B2) + P(A/B3).P(B3)
Mà: P(B1) = 0,3 ; P(B2) = P(B3) = 0,35.
P(A/B1) = 0,95 ; P(A/B2) = 0,96 ; P(A/B3) = 0,98
Do đó: P(A) = 0,3.0,95 + 0,35.0,96 + 0,35.0,98 = 0,964
Vậy tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu của công ty là: 96,4%
2. Ta phải tìm khả năng chiếc áo bị lỗi của phân xưởng nào. Chính là cần
phải tính xác suất để chiếc áo bị lỗi của phân xưởng 1, 2 hoặc 3. Nghĩa là
cần tính khả năng chọn được phân xưởng 1, 2, 3 trong điều kiện chiếc áo bị
lỗi. Hay cần tính:
Đây là mô hình của công thức Bayes. Ta có:
Mà:
Vậy:
Tương tự:
Vậy khả năng sản phẩm bị lỗi thuộc về phân xưởng 1 là cao nhất