Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Phần I. căn bậc hai_ căn bậc n
Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan

A. Kiến thức cần nhớ:
1.Bất phơng trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a 0).
Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x
0
= -
a
b
).
b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất).
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức ,
trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Ví dụ :
Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = 2x 3 ; b) g(x) = -3x 5
Giải
Ph ơng pháp: +) Xác định dấu của hệ số a
+) Tìm nghiệm của nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận
a) Ta có: a = 2 > 0.
Nhị thức có nghiệm x
0
=
3
2
Vậy f(x) < 0 nếu x <

3
5
).
2. Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) |f(x)| < a



<<
>
axfa
a
)(
0
; b) |f(x)| a





axfa
a
)(
0
;
x
- x
0
+
f(x) = ax + b a.f(x) < 0 a.f(x) > 0

; d) |f(x)| a

















>

axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
.
B. Các ví dụ:



.
Vậy x
4
3
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.

c) (2x 7)( -4x + 3) 0 (*)
Cách 1: Biến đổi tơng đơng
(*)










+




+

034
072








4
3
2
7
4
3
2
7
x
x
x
x

2
7
4
3
x
Vậy Bpt (*) có nghiệm là x





2x 7 - - 0 +
-4x + 3 + 0 - -
VT - 0 + 0 -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phơng trình là: S =






2
7
;
4
3

d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất:
x 1 = 0 x = 1; 2 x = 0 x = 2; 2x 6 = 0 x = 3
2) Lập bảng xét dấu:

x

3x + 1 < 0 (1)
(1) 2x
2
2x x + 1 < 0 2x(x 1) (x 1) < 0
(2x 1)(x 1) < 0

b) x
2
+ 4x +5 0 x
2
+ 4x + 4 + 1 0 (x + 2)
2
+ 1 0
Luôn đúng với mọi x.

c) -2x
2
+4x 6 0 -2(x
2
2x + 1) 4 0 -2(x - 1)
2
4 0 vô lí.

d) 2x
2
5x + 2 < 0 2x
2
4x x + 2 < 0 2x(x - 2) (x 2) < 0
3
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

435
x
x







<
>
5
7
5
1
x
x
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;-
5
7
)(
5
1
;+).
c) |x
2
5x + 5| 1



2
13
< 3







<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x





+
>

++
0
2
)2(3)13(
0
2
)2(3)13(
x
xx
x
xx
(*)








<


>

0
2

Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;
6
5
).
Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:








<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x


5x + 4 < 0; 6)|3x + 4| < 6 ;
7)
x
xx
xx
<
+

65
2
2
2
.
4
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
A. Kiến thức cần nhớ:
1) Hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
.
+) (a b)
3
= a
3
3a

: a
n
= a
m-n
.
+) (a
m
)
n
= a
m.n
= a
n.m
; +) (abc)
m
= a
m
b
m
c
m
.
+)
m
m
m
b
a
b
a

2
Với các điều kiện có nghĩa thì:
+)
abba =.
;
( )
n
n
aa =
; +)
( )
nnn
n
cbacba =
+)
b
a
ba =:
(b 0); +)
baba =
2
+) a





=
ba
ba

(đk : mẫu thức khác 0)
b.các dạng toán:
Dạng 1: Phân tích thành nhân tử
I.Các ví dụ:
Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) ab + ac + b
2
+ 2bc + c
2
; b) x
3
6x
2
+ 11x 6;
c) x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
d) x
6
y
6
d) x(y
2
z
2

=(x - 1)(x - 2)(x - 3).
c) Đặt x
2
làm nhân tử chung:
5
nếu a 0
nếu a < 0
nếu a 0
nếu a < 0
Ví dụ 1:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x 1)
2
(x
2
+ 2x + 2)
c) Dùng hằng đẳng thức:
x
6
y

x
n-1
+ + a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
.
- Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = 0 thì P(x) chia hết cho (x a) và ngợc lại.
Khi đó P(x) = (x - a)Q(x) trong đó Q(x) có bậc n 1.
- Nếu tổng các hệ số a
n
+ a
n-1
+ + a
2
+ a
1
+ a
0
= 0 thì P(x) có nghiệm x = 1.
- Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) có nghiệm x = - 1
Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) a
3
+ 3a
2

- 2).
c)
xxx 2
3
=
x
(x -
x
- 2) =
x
(
x
+ 1)(
x
- 2) .
d) a + 4
a
+ 3 = (
a
+ 1)(
a
+ 3)
e) a
a
- 2b
b
- 3b
a
= a
a

b
)(a -
ab
- 2b)
= (
a
+
b
)(a -
ab
- b - b) = (
a
+
b
)[a b -
b
(
a
+
b
)]
= (
a
+
b
)
2
(
a
- 2

a
+ 4 ;
c) -6x +5
x
+ 1 ; d) 7
x
- 6x 2;
e) 2a +
ab
- 6b với a > 0; b > 0; f) 6y
2
5y
x
- x;
g) 6
xy
- 4x
x
- 9y
y
+ 6xy ; h) x - 2
1x
- a
2
.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
a) x
4
4x
2

+ 1)
2
b) 5 - 2
6
= 3 - 2
2.3
+ 2.
c)
Rút gọn các biểu thức
a) C =
3232 ++
; b) D =
31221269269 +
Giải
a)
( ) ( )
2
31
2
1
324
2
1
32 ==
b)
33.626269 ++=+
;
93.32.21231221 +=

Thực hiện các phép tính:

3 2 3 2

+

ữ ữ
ữ ữ
+

; b) N =
(
)
2
7 2 6 7 2 6 + +
.
Giải
a) Chú ý rằng : 5 +
6
=
( )
2
3 2+
; 5 -
6
=
( )
2
3 2
b) Chú ý: 7
( )
2

7
Ví dụ 1:
Ví dụ 3:
Ví dụ 2:
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
b) Trục căn thớc khỏi mẫu sốbằng cách nhân cả tử, cả mẫu với các biểu thức liên hợp:
2 1; 3 2; ; 2008 2007
.
Từ đó: Q =
2 1 3 2 2008 2007 2008 1 + + + =
.
II.Bài tập vận dụng:
Rút gọn các biểu thức sau:
1)
10211
; 2)
1429
; 3)
10275262
62526113
+++
+++
; 4)
3471048535 ++
;
5)
5210452104 ++++
; 6)

12 5 29 12 5 29 +
.
2.Biểu thức có chứa biến số:
I.Các ví dụ:
Ph ơng pháp:
+) Phân tích đa thức thành nhân tử
+) Giản ớc các biểu thức đồng dạng
L u ý: Đối với biểu thức có chứa biển đới dấu căn bậc hai nên đặt điều kiện để căn thức có
nghĩa.

Cho biểu thức:
A =
44
2
+ xxx
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn các biểu thức A.

Giải
a) Biến đổi biểu thức:
A =
44
2
+ xxx
=
2
)2( xx
=
2 xx
Điều kiện để A có nghĩa:

65

+
x
xx
; b) B=
144
123
+

xx
xx
;
c)C=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
và tính giá trị của biểu thức nếu
2008=+ yx
.

Giải
a) A=
4
65

1)(22

+
x
xxx
=
2
)12(
)12()12(


x
xxx
c)C=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
.
Ta có: MT =
)6)(( +++ yxyx
TT =
)6)(1( +++ yxyx
VậyC=
( ) ( ) ( )
( ) ( )

xx
xx
và chứng minh rằng nếu a > 1 thì P(a).P(-a) < 0.
c) Q =
1
144
22

+++
x
xxx
với x > 2
2
.
d) B =
22
1025168 xxxx +++
với 4 < x < 5.
Giải
a)Vì x <
2
1
nên x 1 < 0 |x - 1| = 1 x
1 2x > 0 |1 2x| = 1 2x
Vậy A = 1 x (1 2x) = x
b) 2x -
2
x
- 1 = 2x - |x| - 1 =


1
x
x
Có P(a) =
13
1
a
>0 (vì a > 1)
P(-a) =
1
1
1
1
+
=
aa
< 0 (vì -a < -1 < 0)
Suy ra: P(a).P(-a) < 0.
c) Có thể viết Q =
1
12

++
x
xx

vì x > 2
2
|x| = x;|2 - x| = x 2, đồng thời 2x 1 0, do đó :
Q =

+

+
+








+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a




+


a
a
a
a
aa
B =
( )
















+

; x = 2 +
3
.
C =
12
11


xx
x
.
D =
)(2
2222
yx
yxxyxx

+
với x > y > 0.
E =








+


xa
+
+
2
2
1
12
với x =











a
a
a
a
1
1
2
1
0 < a < 1.
10
nếu x 0

xx
xx
b)
22
22
352
32
yxyx
yxyx
+

c)
babaa
babaa
+
+
22
22
23
23
và tính số trị của biểu thức nếu
3
1
=
b
a
Bài 5: Rút gọn biểu thức
a)
baba
baba

xyyx
+

+

++ 2
; f)



















+
+
+
1

x
yxxy
xy
yxxy
yx
với x > 0; y > 0; x 9.
Giải
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
+)
)2)(3()2(3)2(632 +=++=+ yxyyxyxxy
+)
)2)(3(632 ++=+++ yxyxxy
+) x 9 =
)3)(3( + xx
MTC =
)2)(3)(3( ++ yxx
Vậy :
A =
)2)(3)(3(
)2)(9()3)(6()3)(32(
++
++++
yxx
yxxxyxyx
= 0
Suy ra A không phụ thuộc vào biến số (đpcm).
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
B =
( )
2

2
:
y x
x y
xy
xy
y x

+


=
( ) ( )
2 2
2
.
xy x y
xy
x y x y
+


=
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2
1

Giải
MTC = 2(1+
a
)(1-
a
)(1+ a)
C =
( )
2
1 (1 ) (1 )(1 ) 2( 1)
1
.
2(1 )(1 )
a a a a a
a
a a a
+ + + + +
+
+
=
2
(1 )(1 1 ) 2 2 2 (1 )
1
2 (1 ) 2 (1 )
a a a a a a
a a a a
+ + +
= =

(đpcm).

.
y y x x
x x y x x y x x

+
ữ
+
ữ
+

Với x > 0;
x y>
.
c)
( )
2 3
2
. :
2
x y y xy y xy
y
x y
x y
x x y y
+ +

+
+ +
Với x > y > 0.
d)

Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
.
b a a b b a a b
a b
a ab ab b b a

+ +
=
ữ
ữ



Với a > 0 ; b > 0; a b.
Giải
Vt =
( )
.
( ) ( ) ( )( )
b a ab a b
a a b b a b a b a b

+

ữ
ữ
+

+
+

+
=
2 2
( ) ( ) 4
2( )( )
x y x y y
x y x y
+ +
+
=
2( )2 2
2( )( )
x y y y
x y x y x y
+
=
+ +
(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
3 3
. 1
a b a b
ab
a b
a b


+ +

=
2
2 2
( )( )( ) ( )
1
( ) ( )
a b a b a b a b
a b a b
+
= =

(đpcm).
II.Bài tập
Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1
: 1
2 4 2 4 4
y x y
x y y x x y x y x+
+ + =
ữ
ữ
Với a b; a 0; b 0.
4)
2 2 1 2
.
1 1
2 1
a a a
a a
a a a

+ +
=
ữ
ữ

+ +

Với a > 0; a 1.
5)
2
1 1
. (1 )
1 1
a a a a
a a a
a a

+




Bài tập tổng hợp:
Cho biểu thức: M =
2
3 3
1 : 1
1
1
a
a
a+ +
ữ
ữ
+



a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi a =
3
2 3+
.
Giải
a) Điều kiện để M có nghĩa là:
1 0

+
=
+
.
b) Với a =
3
2 3+
=
( )
( ) ( )
3 2 3
3(2 3)
2 3 2 3

=
+

Thay vào M ta có: M =
2 2
1 3(2 3) 1 2 3 ( 3) (1 3) 3 1 = + = =
Cho biểu thức: N =
1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a

+

.
1
( 1) 1
a a a a a a
a
a a
+ + + + +
=
+

b) N < 1
1
1 0
1
a a
a
+ +
<


2
0
1
a
a
+
<

(1)
Vì a + 2 > 0 nên

+ +
a)Rút gọn P.
b)Tìm các giá trị của x Z sao cho P Z.

Giải
a)Điều kiện: x 0 và x 1.
MTC =
( 1)( 2)x x +
P =
3 3 3 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
( 1)( 2)
x x x x x x
x x
+ + +
+
=
3 3 3 1 4 3 2
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x x
x x x x
+ + + + +
=
+ +
=
( 1)( 2) 1
( 1)( 2) 1
x x x
x x x
+ + +
=

x x y y x y xy
x y
y x
x y x y

+


ữ
ữ

+ a)Rút gọn A.
b)Chứng minh rằng A 0.
c) So sánh A với
A
.

Giải
a)Điều kiện:
0
0
x
y
x y




( )( ) ( ) ( )
.
( )( ) ( )
x y x y x y x y
x y x y x y x y xy

+ +

ữ
ữ
+ +

=
2
.
( )
x xy y x y
x y
x y x y xy

+ + +
+
ữ
ữ
+ +

=
2
( ) ( )
.

( )
2
0x y >
hay x -
xy
+ y >
xy
suy ra
1
xy
x xy y
<
+
Vậy 0 A < 1.
Với A = 0 thì
A
= A.
Với 0 < A < 1 thì
A
< 1
A
(
A
- 1) < 0 A <
A
.
Thực hiện các phép tính sau :
a) A =
2 2
4 4x x x x + +

: ( )
a a b b b
ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

=
3 3
( ) ( ) 2
: ( )
a b b
ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

=
( )( ) 2
: ( )
a b a ab b b
ab a b

a b
a b

+

+
=
2a b b
a b a b

+
+ +
= 1
16
Ví dụ 5:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

Cho biểu thức: A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 1 3 3 1
a a a
a
a a a


+
ữ ữ
ữ ữ



+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

=
1 1 8 (3 1) (3 2)
:
3 1 3 1 (3 1)(3 1) 3 1
a a a a
a a a a a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

=
( 1)(3 1) (3 1) 8 3
:
(3 1)(3 1) 3 1
a a a a
a a a

+ +


+

=
.
3 1
a a
a

+
ữ
ữ


b)Để A =
6
5

3 1
a a
a
+

=
6
5

5 5 18 6a a a+ =

5 13 6 0a a + =



ữ
ữ
a)Rút gọn B.
b)Cho B =
6
1 6+
tìm giá trị của a.
c) Chứng minh rằng: B >
2
3
.
Giải
17
Ví dụ 6:
Ví dụ 7:
Tài liệu ôn thi lớp 10 – GV: Lê Thắng THCS Phương Khoan – Vinh phúc
§iÒu kiÖn:
0
1
1
4
a
a
a



 
+ − − + −
− −
 ÷
 ÷
− + − + + −
 
=
1 ( 1)
1 .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a
 
+ + − − + + −
− −
 ÷
 ÷
− + − + + −
 
=
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
1 .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a
 
+ + − + − + + + −
− −
 ÷

− −
 ÷
 ÷
− − + + −
 
=
1 ( 1)
1 . ( 1)
1 (1 )(1 )
a a
a a
a a a a
 
+
− − −
 ÷
 ÷
− − + +
 

=
( 1)
1 1 .
(1 )
a a
a
a a
 
+
− −

1 6+
⇔
1
1
a
a a
+
=
+ +
6
1 6+
⇔
1 6 6 6 6. 6a a a a+ + + = + +

⇔ a -
6a
+ 1 = 0 ⇔
2 3
2 3
a
a

= +

= −


c) BiÕt r»ng (
a
-1)

+ +
≥
2
3

V× a ≠ 1 nªn dÊu b»ng kh«ng x¶y ra, suy ra:
1
1
a
a a
+
+ +
>
2
3
. (®pcm).
18
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

Cho biểu thức: M =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x

+
+

x
x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

=
( 5) 25 ( 9) ( 25)
1 :
( 5)( 5) ( 5)( 3) ( 5)( 3)
x x x x x
x x x x x x

ữ
ữ
ữ
+ + +
=
( 5) 25 16
1 :

=
5 ( 5)( 3)
.
9
5
x x
x
x

+

ữ
ữ
ữ

+ =
5 ( 5)( 3)
.
5 (3 )(3 )
x x
x x x

+

ữ
ữ
ữ




a)Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với a = 2; b = 3
Bài 2: Cho biểu thức: M =
3 3 1 ( 1)( )
:
2 2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b +
ữ
ữ
+ + + +

a)Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.
Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức:
2
2
3 4 (2 )
1
1 1
a a
a a

=

a)Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của x để Q = 6.
Bài 5: Cho biểu thức: M =
2 2 2 2
1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30x x x x x x x x
+ + +
+ + + +
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị của x để M > 0; M < 0.
Bài 6: a) Tính A =
6 2 2 12 18 128 + +
b) Phân tích thành nhân tử: B = 4x
3
+ 8x
2
+ x 3.
Bài 7: Cho biểu thức: P =
3
3
2 1 1
.
1 1
1
a a a
a
a a a
a
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để P >
1
6
.
Bài 9: Cho biểu thức: A =
2
3
2 4 1 1
1
1 1
a
a
a a
+


+
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 10: Cho biểu thức sau với x, y nguyên dơng:
A =
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
x y
x y x y
x y xy

x y
+

; B =
x y y x
xy
+
a) Tìm điều kiện để mỗi biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn A và B.
c) Tính tích A.B với x =
3
-
2
; y =
3
+
2
.
20
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Bài 13: Cho biểu thức: A =
2 1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a



2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.
Đ 2 hàm số bậc nhất- phơng trình và
hệ phơng trình bậc nhất
A. kiếm thức cần nhớ
1. Hàm số bậc nhất:
Đ/n: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a 0).
a. Tập xác định: D = R
b. Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàn số đồng biến.
+) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến.
c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đờng thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lợt tại
A(0;b),B(-
b
a
;0).

21

x + b
1
(d
1
) ; y = a
1
x + b
1
(d
2
).
d
1
cắt d
2


a
1
a
2
; d
1
// d
2



1 2
1 2

1
. a
2
= -1 .
3. Phơng trình dạng ax + b = 0 (1) (a;b R)
Nếu a 0 : Pt (1) gọi là phơng trình bậc nhất và luôn có nghiệm duy nhất
b
x
a
=
.
Nếu a = 0; B 0: Pt (1) vô nghiệm.
Nếu a = 0 và b = 0 : Pt (1) nghiệm đúng x R.
4. Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (1) (a
2
+ b
2
0)
Phơng trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:

x
c ax
y
b




=


' ' '
a b c
a b c
=
: Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).
22
y
x
O
A(0;b)
a = 0
y = b
tùy ý
tùy ý
tùy ý
ax + by = c (1)
ax + by = c (2)
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

' ' '
a b c
a b c
= =
: Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).
Ph ơng pháp giải:
Phơng pháp thế
Phơng pháp cộng đại số.
Phơng pháp thế: Rút một ẩn từ một phơng trình rồi thế vào phơng ttrình còn lại.
Phơng pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phơng trình rồi trừ theo vế hai
phơng trình để khử bớt một ẩn.Tìm ẩn còn lại.

2
m
m
m

=


=





3) Điểm A có tọa độ : A (2 -
3
2
;0) . Do đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có:
0 = (m - 1) (2 -
3
2
) + m m =
21 2 3
33

.
c) Điểm cố định:
Cách 1: (Phơng pháp hệ số bất định)
Gọi M(x
0

23
Ví dụ 1:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
Cách 2: (Phơng pháp đồng nhất thức)
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(x
0
+ 1)m ( y
0
+ x
0
) = 0 (*) m R

0 0
0 0 0
1 0 1
( ) 0 1
x x
y x y
+ = =

m n m n n
+ = + = =



+ = + = =

b) M(0; 1 -
2
);N(2 +
2
;0). Tơng tự nh câu a) ta có hệ sau:

3 2
1 2
2
( 2)(2 2) 0
1 2
n
m
m n
n


=
=



+ + =

2 2
m m
n n

= = 3) Viết y - 2x + 3 = 0 dới dạng y = 2x 3, điều kiện là:
24
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
2 2 4
3 3
m m
n n
= =



= =

Cho phơng trình: mx 1 = m
2
+ x (1) (x là ẩn )

< <

Giải các phơng trình sau:
a)
2
2 2 2
1
x
x x x
+
=

( 1) ; b)
2
1 2 1 3
0
2 2 1 2 2
x
x x x x
+
+ =
+ + +
(2).
Giải
a) Điều kiện cps nghĩa cúa rphơng trình là:
0
3 0
1
( 1) 0
3

+ x + 1 =
2
1 3
0
2 4
x

+ + >
ữ

x).
Với điều kiện trên ta có :
(2) (x + 1)(x
2
+ x + 1) (2x + 1).2.(x - 1) + 3(x - 1)(x
2
+ x + 1) = 0
x
3
+ x
2
+ x + x
2
+ x + 1 4x
3
+ 4x 2x
2
+ 2 + 3x
3
+ 3x

2
3
>
1
2
).
25
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Ví dụ 5: