PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

2. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
3. ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6

8. *ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
10. *Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
11. Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3

2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
16. Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
17. ĐH-B-2006 Giải BPT
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
18. Tham khảo 2006
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
19. *Tham khảo 2006
1 2
2 2

12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

24. Tham khảo 2006 Giải
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
1
25. *ĐH-B-2005 Giải hệ
x y
log ( x ) log y .
2 3
9 3
1 2 1
3 9 3

− + − =


− =



29. ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

30. Tham khảo-2004 Giải BPT
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <
 
 

2
1162
1
>
−
−+
−
x
x
x
35. ***Tham khảo 2004
Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x= − +
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
36. *Tham khảo 2004 Giải BPT
3 x
log x log 3>
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT





−=−
+=+

5
log 5 4 1 x− = −
42. ĐH-A-2002 Cho PT
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
43. Tham khảo 2002 Giải PT
2
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
44. Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )






x y

− + =


− =


47. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
48. Tham khảo 2002 Giải PT:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
49. ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1

+ − − =


+ − − =


51. Tham khảo 2002 Giải BPT
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +




+ − =

2 2
2 2
x x
y y
= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
2. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
Xét hàm số
2
ln

− +
+ − + − =
HD: Với điều kiện
1
2
x >
, PT tương đương:
2 1 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
x x
x x x
− +
− + + − =
2 1 1
log ( 1) 2log (2 1) 3
x x
x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x
−
= +
ta được:
2
3t
t

2
4 5 0x x
⇔ − =
0
5
4
x
x
=


⇔

=

3
Do ĐK ta chỉ nhận
5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5
4
x
=
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0

>

 
+

+
< ⇔

 ÷
+
+
 

>

+


2
2
6
2
0
4
log 1
4
6
4
x x
x x

5. ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
HD:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
2
2
3 2
0
3 2
1
x x
x
x x
x

4 2
0
x x
x x
x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


( )
( )
0 1 2
0 2 2 2 2
x x
x x
< < ∨ >


⇔

< ∨ − ≤ ≤ +


( ) ( )
2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +


>


⇔

−

≤

+

2
3
4
(4 3)
9
2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤



− ≤ ≤


3
3
4
x
⇔ < ≤
7. *ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
HD: Đặt
( )
2 1
x
t = +
ta được PT:
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = +
1 1x x⇔ = − ∨ =
8. *ĐH-D-07 Giải phương trình:



+ + = −

2
4
3
11 30 0
t
t t

>

⇔


+ + =

Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x
4
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về
2 2

2 1
1 1 1 1
log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2
x
x x
+
− + = + +
2 2 2
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + +
2 2
log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = +
2
2 3 5 0x x⇔ − − =
5
1
2
x x⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm
5
2
x =
11. Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =
HD: ĐK x>1
Đưa về

9
Đưa về
3
3 3
1 4
(2 log ) 1
log 9 1 log
x
x x
− − =
−
3
3 3
2 log 4
1
2 log 1 log
x
x x
−
⇔ − =
+ −
3
2 4
1 ( log )
2 1
t
t x
t t
−
⇔ − = =

≥−++− xxx
HD: ĐK
1
1
2
x x< ∨ >
Đưa về
( )
2
2 2
1 1 1
log ( 1)(2 1) log 1
2 2 2
x x x− − − + − ≥
( )
2
2
1
log 1
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
( )
2
1
2
( 1)(2 1)

1 1
3 2
x⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1
2
1 1
3 2
x x
x

< ∨ >




≤ <


1 1
3 2
x⇔ ≤ <
5
14. Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
HD:

 ÷  ÷  ÷
     
Đặt
2
3
x
t
 
=
 ÷
 
, t>0 ta có:
3 2
3 4 2 0t t t+ − − =
2
1
3
t t⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x=1
16. Tham khảo 2006 Giải PT:
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =

17. ĐH-B-2006 Giải BPT:
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
HD: Biến đổi BPT
( )
x
x 2
5 5
4 144
log log 5.2 5
16
−
 
+
< +
 ÷
 

x
x 2
4 144
5.2 5
16
−
+
⇔ < +

1
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
2
4 0x x⇔ − − =
1 17 1 17
2 2
x x
− +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
x
+
=
19. *Tham khảo 2006:
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
HD:
2 2
1 10
9 .3 1 0

e e x a x
y x a
+

− − + + + + =

= +

6
Xét hàm số
( ) ln(1 ) ln(1 ), 1
x a x
f x e e x a x x
+
= − − + + + + > −
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )
x a
a
f x e e
x x a
′
= − + >
+ + +
(vì a>0 và x>−1)

1
lim ( ) , lim ( )
x
t

− − + =
HD: Đặt
2
2
2
2
x x
x x
u
v
+
−

=



=

Suy ra
2
. 2
x
u v =
(u>0,v>0)
Phương trình thành:
u 4v uv 4 0− − + =
u(1-v)+4(1-v)=0⇔
(u+4)(1-v)=0⇔
v=1⇔

( ) ( )
3 3
log 3 1 2 log 3 1 3
x x
⇔ − = ∨ − = −
1
3 1 9 3 1
27
x x
⇔ − = ∨ − =
28
3 10 3
27
x x
⇔ = ∨ =
3 3
28
log 10 log
27
x x⇔ = ∨ =
23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT:
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

1, 0
10 2
y y
x y x y
x y
> − ≠


= ∨ =


=

vô nghiệm
 Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
7
24. Tham khảo 2006 Giải:
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
HD: Đưa về
( )
2 2
log x 1 log x 2 0+ − =
.
Đặt t=log
2

− =

 3 3
1 2 1
3 1
x y
x
log
y

− + − =

⇔

 
=

 ÷
 

3
1 2 1
3
1
x y
x y

− + − =

⇔

 
∨
 
= =
 
26. ***ĐH-D-2005 CMR:
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
12 15 12 15
2 2.3
5 4 5 4
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
x x x x
x

 ÷
 
2
2
2
2
1
9 2 3
3
HD: Đặt
2
2
3 , 0
x x
t t
−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3
BPT thành
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x⇔ ≤ ≤
28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR:

3
3 3 2 3 3
(vì x+y+z=0)
29. ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

HD:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

−


+ =

4
2 2
0
1
25
y , y x
y
y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

2 2
0
4
25
y , y x

=

2
0
4
3
9
y , y x y , y x
y y
x x
> > > >
 
 
⇔ = ∨ = −
 
 
= = −
 
0 0
4 4
3 3
x
y
=

⇔

=

3

)
log x x x
log x x x

+ − >

⇔


+ − >

2
2
2
2
2 0
2 1
(
)
log x x x⇔ + − >
2
2
2 1
x x x
x x x

+ − >

⇔



⇔ ∨
 
≤ ∨ ≥
+ − >


2
2
2
0 2
3 4 0
x
x
x x
≤

⇔ > ∨

< − ∨ >

2
2
4 1
( ) ( )
x x⇔ < − ∨ <4 1
31. Tham khảo-2004 Giải BPT:
2 2
1 3
log log

x x
⇔ + ≥
2
1 log x
⇔ ≥
0 2x
⇔ < ≤
32. ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
1
1 ( 0)
x
x
x x x
+
= + >
HD:
( )
1
1
x
x
x x
+
= +
( )
1
ln ln 1
x
x

+
Mà:
1 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x
f x
x x x
→+∞ →+∞
 
′
= + + =
 ÷
+ +
 
⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0

=
2
2

f (x) x x e
′
= ⇔ = ∨ =
2
0 1
f(1)=0;
2
2
4
( )f e
e
=
;
3
3
9
( )f e
e
=
GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
( )f e
e
=

x
−

+ − <

− <

suy ra x<1 thỏa BPT
 x=1 không thỏa BPT
 1<x<2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − >

− <

suy ra 1<x<2 không thỏa BPT
 x>2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x


( ) sin 1 0
x
f x e x
′′
= + + >
 Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0
 Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0
 Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0
 GTNN là f(0)=1

2 2
( ) 1 1 sin 1
2 2
x x
x x
y f x e x e= = − + − + ≥ − +
 Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e
→+∞
 
− + = +∞
 ÷
 

log x log 3>
HD: Đưa về
3
0, 1
log
1
x x
t x
t
t


> ≠

=



>

3
2
0, 1
log
1
0
x x
t x
t
t

1 log 0 log 1
x x
x x
> ≠

⇔

− < < ∨ >

1
1 3
3
x x⇔ < < ∨ >
10
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT





−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
 Thay y=x vào PT thứ hai

x
ta được
30 1 1 2t t t
+ ≥ − +
 t=1 thỏa BPT
 t>1 ta được
30 1 3 1t t
+ ≥ −
2
1
30 1 9 6 1
t
t t t
>

⇔

+ ≥ − +

2
1
4 0
t
t t
>

⇔

− ≤


1
30
28 0
t
t
t t
− ≤ <

−
⇔ ≤ < − ∨

− ≤

1 1
1
1
0 28
30
t
t
t
− ≤ <

−
⇔ ≤ < − ∨

≤ ≤

1
1 0 1

2 2
log log 0x x m
⇔ + + =
( )
2
2 2
log logm x x
⇔ = − −
 Với 0<x<1 thì
2
0 1 log 0x x< < ⇔ <
 PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số
2
( ) ( 0)f t t t t= − − <
 Khảo sát hàm số cho kết quả
1
4
m ≤
40. ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
HD:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =

2
2 0x x⇔ − − =
1 2x x⇔ = − ∨ =
41. Tham khảo 2003 Giải PT:
( )
x
5
log 5 4 1 x− = −
HD:
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −
1
5 4 5
x x−
⇔ − =
5
5
4
x
t
t
t

=

⇔


0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
HD:
11
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
+ + − =
2
3
2
log 1
6 0
t x
t t

= +

⇔


1 3 0 log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
( )
2
3
2
log 1
1
( ) 2
2
t x
m f t t t

= +

⇔

= = + −


 PT ban đầu có nghiệm x thỏa
3
1 3x≤ ≤
khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với

log 0 1x x= ⇔ =
 Hoặc
3 3
8 3
3 2log 1 logx x
=
+ +
3
1
log
2
x⇔ =
3x⇔ =
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )





≤−+
<−−−
11
3
1
2
1
031
3
2

( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
HD:
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
( )
( )
( )
( )
3 3
3 3
0 1 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log 9 72 log 9 72
x x
x x
x x
x x
 
< < >




− ≤

1
0 1
3 6 2
9 72 3
9 3 72 0
x
x x
x x
x
x
>

< <


⇔ ∨ >
 
− ≥


− − ≤

1
0 1
3 8 3 9


− =


12
HD:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y

− + =


− =


4 2
1, 1
4 3
log log
x y
x y
x y
≥ ≥


⇔ = −


− + =

1 9
1 3
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 
= =
 
46. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
HD:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a

3
3
t≤ ≤
Biến đổi PT
2
9 6 1
( )
3 2
t t
a f t
t
− +
= =
−

2
2
9(3 4 1)
( )
(3 2)
t t
f t
t
− +
′
=
−
,
1
( ) 0 1

1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
( )
2 2 2
0, 1
log 3 log 1 log (4 )
x x
x x x
> ≠


⇔

+ + − =


2 2
0, 1
4
log 1 log
3
x x
x
x
x
> ≠



x x
< < >
 
 
⇔ ∨
 
− + = − =
 
+ +
 
2 2
0 1 1
2 3 4 2 3 4
x x
x x x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
− − + = + − =
 
2 2
0 1 1
6 3 0 2 3 0
x x
x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 

x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

+
3 2
2 5 4
(2 2)2
2 2
x
x x
x
y y
y

= −

⇔

+
=


2
2
5 4 0
x
y
y y

=

⇔

− + =


2
1 4
x
y
y y

=
⇔

= ∨ =

0 2
1 4
x x
y y

log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =


3 2 3
3 2 3
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
x x y y
x x x y x
y y y x y
> ≠ > ≠


⇔ + − − =


+ − − =

2


2 2
0, 1, 0, 1
( )( 1) 0
4( ) 8( ) 0
x x y y
x y x y
x y x y

> ≠ > ≠

⇔ − + + =


+ − + =

2 2
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8 16 0 8 8 13 0
x x y y x x y y
x y y x
x x x x
 
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
 
⇔ = ∨ = − −
 
 
− = + + =

+xx
2 1 2
2 1 2
2 3.2 0
4 4 2 3.2
x
x x
+
+

− >

⇔

+ ≤ −


4 16
x
⇔ ≥
2x
⇔ ≥
14