Một số bài toán hình học thú vị
Đào Đức Minh
Trong bàiviết 'Lý thuyết Hình học trong toán tin' của tác giả Nguyễn ThếAnh, được đăng
trên ISM số 8 (2003), tác giả giới thiệu khá chi tiếtvề bài toán tin hình học cơ bản. Cũng
theo nội dung ấy, tôi xinđược giới thiệu thêm một số bài toán thú vị sau:
A. Bài toánvề mối quan hệ giữa các yếu tố hình học:
1. Bài toán1.
Cho một đa giác và một điểm. Hãy cho biết điểm đã cho có thuộc đagiác hay không (điểm
đó thuộc cạnh đa giác cũng coi như là thuộcđa giác)
INPUT:
n (số đỉnh của đa giác)
x1, y1
…
xi,yi (là tọa độ lần lượt từng đỉnh đa giác theo chiều kimđồng hồ).
xn yn
x0, y0: tọa độ điểm cần xét.
OUTPUT:
'Thuộc đagiác' hoặc 'Không thuộc đa giác'
Giải thuật:
- Qua điểm A cần xác định, dựng tia Ax’ sao cho Ax’//Ox.
- Xác định số giao điểm tia Ax’ với cạnh đa giác.
- Xét số giao điểm + lẻ: điểmA thuộcđa giác
+ chẵn: điểm A không thuộcđa giác.
Bằng cáchvận dụng giải thuật trên và bài viết trước của tác giả Nguyễn ThếAnh, có lẽ việc
cài đặt không khó với các bạn.
2. Đặc biệt hóa bài toán 1.
Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của bài toán 1. Ta sẽ thay 'đagiác' bằng tam giác. Khi xét
1 tam giác, chúng ta sẽ nảy ra một 'ýtưởng' khác từ nhận xét sau:
Xét 1 điểm M thuộcDABCthì:
S
ABC

ABC
≠S’ →M không thuộcDABC.
3. Tổng quáthóa bài toán 2:
Bây giờ,chúng ta thử tổng quát bài toán 2 từ 'tam giác' lên 'tứ diện'xem sao:
{Các tọađộ điểm bây giờ có dạng {}(x,y,z)}}
Chúng ta cũngxuất phát từ nhận xét:
- M thuộcABCD thì V
ABCD
= V
MABC
+V
MBCD
+V
MCDA
+V
MDAB

- M không thuộcABCD thì V
ABCD
< V
MABC
+ V
MBCD
+V
MCDA
+ V
MDAB

Chúng ta hoàntoàn có thể tính được dễ dàng thể tích 1 tứ diện bằng công thức:
Chính vìthế, giải thuật trở nên đơn giản hơn:

1
,y
1
);(a
2
,b
2
).
- Ta chia thành các khu vực là các hình chữ nhật như hình vẽ.
- Xét 1: (x
1
,y
1
); (a
1
,b
1
); (1) thuộchình chữ nhật (x
1
,y
1
), (x
2
,y
2
) nêncộng diện tích (1) vào tổng
diện tích phủ.
- Xét 2: (x
1
,y

b
1
y
1
Lấy 2 sốliên tiếp ở dãy hoành độ như a
1
, x
2
.
Lấy 2 sốliên tiếp ở dãy tung độ như b
2
, y
2
.
Ta được hình chữ nhật (a
1
, y
2
); (x
2
, b
2
).
* Nhận xét:
Mục đích của việc chia hình chữ nhật là để xét từng hình chữ nhậtmà:
hoặc toàn bộ thuộc vùng phủ.
hoặc toànbộ không thuộc vùng phủ.
Tức là khôngxảy ra: có phần thuộc vùng phủ, có phần không thuộc vùng phủ.
* Từ bài toán này, nếu ta thay 'h. chữ nhật' bằng 'hình tròn'thì vấn đề cần suy nghĩ
thêm.Bởi vì hình tròn có diện tích không hề nguyên mà thông thường làsố vô tỉ nên ta chỉ