§ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN (Tiết 1)
I.Mục tiêu
1:Kiến thức
Cần làm cho học sinh nắm được
+ Các khái niệm cơ bản như bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, nghiệm và tập
nghiệm của bất phương trình, điều kiện của bất phương trình, giải bất phương trình.
+ Bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số
+ Một số phương pháp biến đổi bất phương trình thường dùng.
2:Kĩ năng
Sau khi học xong bài này học sinh
+ Giải các bất phương trình đơn giản
+ Xác định tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
+ Liên hệ giữa nghiệm của bất phương trình và nghiệm của hệ bất phương trình
3: Thái độ
+ Tự giác,tích cực trong học tập
+ Biết phân biệt các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể
+ Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống
II: Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1: Chuẩn bị của học sinh
+ Cần ôn lại một số kiến thức đã học như mệnh đề, phương trình,hệ phương trình, điều kiện
của phương trình,
+ Cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số
+ Ôn tập lại bài 1
+ Đọc bài trước ở nhà
2:Chuẩn bị của giáo viên
+ Sách giáo khoa, giáo án, các câu hỏi gợi mở
+ Dụng cụ giảng dạy phấn, bảng
III: Phân phối thời lượng
Tiết 1:Từ đầu đến hết mục II
Tiết 2:Phần còn lại và bài tập
IV.Tiến trình dạy học

Ở cấp 2 chúng ta đã được làm quen với các bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn và
hai ẩn tuy nhiên nó không được định nghĩa một cách tường minh,cụ thể.Vậy để hiểu rõ hơn
về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn và các tính chất của nó, chúng ta cùng nhau
đi nghiên cứu bài hôm nay “Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn”
3.2: Tiến trình bài mới
I: Khái niệm bất phương trình một ẩn
Hoạt động 1: Bất phương trình một ẩn.
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của
HS
Ghi bảng
+ Em hãy cho biết VT và
VP của bất đẳng thức
trên
3 0x − >
+Từ bài kiểm tra bài cũ
em thấy bất đẳng thức là
mệnh đề đúng khi nào?
Sai khi nào?
Vì thế
3 0x − >
là hàm
mệnh đề và được gọi là
một bất phương trình
một ẩn.
+ Em hãy định nghĩa bất
phương trình một ẩn?
+ GV nêu định nghĩa?
HS suy nghĩ trả lời

-
0
¡x ∈
sao cho (1) là mệnh đề đúng được
gọi là một nghiệm của bất phương trình.
- TậpA=
{
0 0 0
: ( ) ( )¡x f x g x∈ <
là mệnh đề
đúng
}
là tập nghiệm của bất phương trình.
+ Một em lấy ví dụ về
bất phươg trình ?
+GV nêu ví dụ2: Cho bất
phương trình
2 3.x ≤
a: Trong các số -2;
1
2 ; ;
2
π
số nào là nghiệm,
số nào không là nghiệm
của bất phương trình trên
b: Giải bất phương trình
đó và biểu diễn tập
nghiệm của nó trên trục
số

nghiệm:
3
2
x ≤
.

- Khi A=
∅
thì bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 1: 2x+3>5 là bất phương trình
VT là 2x+3
VP là 5
+Ví dụ 2
Cho bất phương trình
2 3.x ≤
a: Trong các số -2;
1
2 ; ; 10
2
π
số nào là
nghiệm, không là nghiệm của bất phương
trình trên.
b:Giải bất phương trình và biểu diễn tập
nghiệm của nó trên trục số.
Lời giải:
a; Ta có:
Cách 1 theo định nghĩa.
Số -2 là nghiệm vì 2.(-2) = -4
4

( ) ( )f x g x=
(1) thì điều
kiện của phương trình là
gì?
+ Tương tự đối với
phương trình thì điều
kiện của bất phương
trình là gì?
+ GV nêu định nghĩa?
+Từ ví dụ kiểm tra bài
cũ em hãy cho biết?
- Điều kiện của biểu
thức trong căn bậc chẵn
là gì?
- Điều kiện của biểu
thức chứa biến ở mẫu số
là gì?
+GV nêu chú ý
+Ví dụ: Tìm điều kiện
của bất phương trình
sau?
2
3 1x x x− + − ≤
+ Ví dụ2:Hãy tìm điều
kiện của các bất phương
trình sau?
HS trả lời.Là điều
kiện của ẩn x để
f(x) và g(x) có
nghĩa

( ) ( )
n
f x n ∈¥
Điều kiện là
( ) 0f x ≥
( )
( )
f x
g x
Điều kiện là
( ) 0g x ≠
Ví dụ1: Điều kiện của bất phương trình
2
3 1x x x− + − ≤
là
3 0 à 1 0x v x− ≥ + ≥
Ví dụ2:Điều kiện xác định của các bpt sau.
a:
1
1x
x
< +
a:
1
1x
x
< +
b:
2
1x x> +


> −

+ > ∀
Hoạt động 3. Bất phương trình chứa tham số
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
+Em có nhận xét gì về
sự khác nhau giữa hai
bất phương trình sau?
( )
5 3 3 1
2 3 4 1(2)
x m x
x x
+ > −
+ > +
+GV nêu định nghĩa.
+GV nêu ví dụ
HS suy nghĩ trả lời.
- Bất phương trình
(1) có thêm số m
Học sinh theo dõi và
ghi chép
3. Bất phương trình chứa tham số
+ Định nghĩa:
Bất phương trình chứa tham số là bất
phương trình ngoài ẩn số còn có thêm một
hay nhiều chữ đại diện cho một số nào
đó.Ta gọi các chữ số đó là tham số.
+ Giải và biện luận bất phương trình chứa

nghiệm của nó?
+ Giáo viên đưa ra
định nghĩa về hệ bất
phương trình ?
+Ví dụ 1 :Giải hệ bất
phương trình:
+HS trả lời
4
3
x
x
<


≥

HS trả lời
+Hệ bất phương trình
(ẩn x) gồm hai hay
nhiều bất phương trình
ẩn x
1. Định nghĩa.
+ Hệ bất phương trình (ẩn x) gồm một số
bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng.
+ Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm
của tất cả các bất phương trình của hệ
được gọi là một nghiệm của hệ bất
phương trình đã cho.
+ Giải hệ bất phương trình là tìm tập

x
x
− ≥


+ ≥


Giải bất phương trình (1)
3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤
Giải bất phương trình (2)
1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ −
Nghiệm cuả hệ bất phương trình là giao
của các bất phương trình
Biểu diễn nghiệm trên trục số.
Chú ý trong thực hành người ta thường
làm như sau.
3 0 (1) 3
1 3
1 0 (2) 1
x x
x
x x
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
+ ≥ ≥ −
 
VI:Tóm tắt bài học

trên tương đương với hệ
nào sau đây?
(a)
1 0
1 0
x
x
− ≥


+ ≤


(b)
1 0
1 0
x
x
− ≤


+ ≥

(c)
1 0
1 0
x
x
− ≤


1 0 1
x x
a
x x
− ≥ ≤
 
⇔
 
+ ≤ ≤ −
 
1 0 1
( )
1 0 1
x x
b
x x
− ≤ ≥
 
⇔
 
+ ≥ ≥ −
 
1 0 1
( )
1 0 1
x x
c
x x
− ≤ >
 

1
3
x
x
Là hai hệ bất phương trình tương
đương và viết :



≥+
≥−
01
03
x
x

⇔




−≥
≥
1
3
x
x
2. Phép biến đổi tương đương.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng
- GV nêu định nghĩa về

của HS
Ghi bảng
+ GV nêu ra tính chất Học sinh
theo dõi và
ghi chép
3. Cộng (trừ)
+Tính chất sgk(83)
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ ± < ±
+ Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất
phương trình
( ) ( ) ( )P x Q x f x< +
với
biểuthức
( )f x−
Ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P x Q x f x P x f x Q x< + ⇔ − <
+ Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong
một bất phương trình ta được một phương
Ví dụ 1
Các bất phương trình sau có
tương không?
(a)
1x
>
và
1x x x+ > +
;
(b)
1x > −

và
1x x x+ > +
;
(b)
1x
> −
và
1x x x+ > − +
;
(c)
0x >
và
;x x x+ >
(d)
1x > −
và
1 0x + ≥
.
Trả lời .Chọn (a).
+Ví dụ :Giải bất phương trình:
2
2 2 2
2 2
2 2
( 2)(2 1) 2 ( 1)( 3)
2 4 2 2 3 3
2 3 4 2 2 3
2 3 4 (2 2 3) 0
1 0
1

> −
và
x x x> −
;
(c)
0x
>
và
0x x >
;
(d)
1x
> −
và
2
x x> −
.
Ví dụ 2 :Giải bất
phương trình
2 2
2 2
1
2 1
x x x x
x x
+ + +
>
+ +
+Nhận xét mẫu thức
của bài toán

1x > −
và
x x x> −
;
(c)
0x
>
và
0x x >
;
(d)
1x
> −
và
2
x x> −
.
Trả lời .Chọn (a)
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình:
2 2
2 2
2 2 2 2
4 2 3 2 4 2 3
4 2 3 2 4 2 3
1
2 1
( 1)( 1) ( )( 2)
1 2 2
1 ( 2 2 ) 0
1 0

1x > −
và
2
1x >
;
(c)
0x >
và
0x >
;
(d)
1 1x + > −
và
2
1 2.x + >
+ Ví dụ 2
Giải bất phương trình.
2 2
2 2 3x x x x+ + > − +
+ GV gợi ý làm bài
- Điều kiện của bất
phương trình là gì?
- Làm thế nào để mất
căn bậc hai?
HS theo dõi và ghi
chép
+ Điều kiện.
2
2
2 0


⇔ < ∀

<

Ví dụ 1:
+ Các bất đẳng thức nào tương đương với
nhau? tại sao?
(a)
1x >
và
2
1;x >
(b)
1x > −
và
2
1x >
;
(c)
0x >
và
0x >
;
(d)
1 1x + > −
và
2
1 2.x + >
Trả lời (a);(c)

2 2 3
4 1
1
4
x x x x
x x x x
x
x
⇔ + + > − +
⇔ + + > − +
⇔ >
⇔ >
Vậy nghiệm của bất phương trình là
1
4
x >
+ GV nêu chú ý
Chú ý:
+ Chỉ bình phương hai vế của bất phương
trình khi hai vế của bất phương trình không
âm.
+ Tổng quát hóa cách giải bất phương trình
dạng :
)(xf
>
)(xg



≥

6
334
44
325 xxxx −−
−>
−+
+ Điều kiện của bất
HS theo dõi và ghi
chép
6. Chú ý
Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của
một bất phương trình thì điều kiện của bất
phương trình có thể bị thay đổi.
+ Để tìm nghiệm của một bất phương trình
ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều
kiện của bất phương trình đó và nó là
nghiệm của bất phương trình mới.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
6
334
44
325 xxxx −−
−>
−+
Điều kiện
3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤
phương trình?
+ Chuyển vế và rút
gọn?
+ Kết hợp điều kiện =>

x
+ − − −
> −
+ − − −
⇔ − + >
+ − − −
⇔ + >
− −
⇔ + + − >
⇔ > −
Vậy nghiệm của bất phương trình là
2
3
3
x
x

> −



≤

+ Để giải một bất phương trình, cũng như
việc giải phương trình ta thực hiện theo các
bước sau :
B1. Tìm điều kiện của bất phương trình .
B2. Biến đổi các bất phương trình và tìm
nghiệm .
B3. Kết hợp với điều kiện để tìm nghiệm

1
1 0
1
0 (1)
x
x
x
x
≥
⇔ − ≥
−
⇔ ≥
Xét 2 trường hợp
1
0
0 1
1
x
x
x
x
−

≥

⇔ < <


<


xét hai trường hợp
a; P(x), Q(x) cùng có giá trị dương , ta bình
phương hai vế bất phương trình .
b; P(x),Q(x) cùng có giá trị âm ta viết
P(x) < Q(x)
( ) ( )P x Q x⇔ − > −
rồi bình
phương hai vế
Ví dụ 3:Giải bất phương trình
2
1
4
17
2
+>+ xx
Điều kiện
x∀
Xét 2 trường hợp
TH1:
1 1
0
2 2
x x+ < ⇔ < −
Với mọi
1
2
x < −
đều là nghiệm của bất
phương trình
TH2:

x


≥ −

≥ −

 
⇔
 
 
 
 
+ > + +
+ > +
 ÷
 ÷
 ÷



 
 


≥ −

⇔







>
≥



<
≥
⇔>
)()(
0)(
0)(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xg
xf
xgxf
VI:Tóm tắt bài học
- Các khái niệm định nghĩa về bất phương trình hệ bất phương trình
- Cách biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số
- Các phép biến đổi tương đương của bất phương trình
- Hai dạng toán giải bất phương trình tổng quát