A- Mở ĐầU
A- Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài:
Bộ môn Toán học đợc coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó đợc vận dụng
và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trớc hết Toán học
hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và t duy cao,
do đó nếu chất lợng dạy và học toán ở trờng THCS đợc nâng cao thì có nghĩa là chúng
ta đa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện đại, có ý nghĩa giàu tính
nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chơng trình, tăng cờng sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ
thông tin trong dạy học, đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay ở trờng THCS đã
và đang làm tích cực hoá hoạt động t duy học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển
khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học,
hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Trong chơng trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phơng trình là nội dung
quan trọng, là trọng tâm của chơng trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng toán này
rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh nắm đợc khái niệm về
phơng trình, giải thành thạo các dạng phơng trình là yêu cầu hết sức cần thiết đối với
ngời giáo viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng nh qua việc theo dõi kết quả
bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phơng
trình là không khó, nhng vẫn còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có,
giải phơng trình còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc cha làm đợc, do cha nắm
vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi cha linh hoạt vào từng dạng toán
về phơng trình.
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phơng pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và
giải quyết những khó khăn, vớng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lợng bộ
môn toán nên bản thân đã chọn đề tài:
"
Rèn kĩ năng giải phơng trình lớp 8"
.

Để đáp ứng đợc mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con đờng
duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lợng học tập của học sinh ngay từ nhà trờng phổ
thông. Muốn vậy trớc hết giáo viên là ngời định hớng và giúp đỡ học sinh của mình
lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng,
chịu khó, tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, yêu thích bộ môn, phát huy t duy sáng
tạo của học sinh, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Học toán không phải chỉ là học nh sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập
hoặc những cách giải do Thầy, Cô đa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ,
tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra đợc những cách giải hay, những
điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phơng trình của môn đại số 8 đáp ứng yêu đầy đủ
cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chơng trình sau này, nh giải bất
phơng trình, chơng trình lớp 9 sau này. Tuy nhiên, vì lý do s phạm và khả năng nhận
thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng phơng trình và các phơng
pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải đợc các dạng phơng trình một cách
nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng
cho học sinh những kỹ năng nh quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phơng trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn.
Tuỳ theo từng đối tợng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học
sinh học tập tốt bộ môn.
2. Cơ sở thực tiễn
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét, nhận dạng
phơng trình và biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn do mất kiến thức
căn bản ở các lớp dới, nhất là cha chủ động học tập ngay từ đầu chơng trình lớp 8, do
chay lời học tập, ỷ lại, cha nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trong nhờ vào kết
quả ngời khác. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo,
nên khi gặp bài tập, các em thờng lúng túng, không tìm đợc hớng giải thích hợp.
Về giáo viên: Cha thật sự định hớng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen học tập
và lòng yêu thích môn học, cha xây dựng phơng pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán
cho học sinh, dạy học đổi mới cha triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phơng tiện

Chú ý: Nếu a

0, phơng trình có nghiệm x =
c
a
Nếu a = 0, c

0, phơng trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phơng trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5 (x 6) = 4(3 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 (x 6) = 4(3 2x)

5 x + 6 = 12 8x

x + 8x = 12 11

7x = 1

x =
1
7
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x =
1
7
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x 1) (2x 1) = 9 x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x 1) (2x 1) = 9 x

x 1 2x 1 = 9 x (bỏ dấu ngoặc sai)

1 1 1
2
2 3 6
x x x
+ =
(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
+ =



3( 1) 2( 1) 1 12
6 6
x x x +
=
(sai ở hạng tử thứ ba)


3( 1) 2( 1) 1 12x x x + =
(sai từ trên)


4 18x
=
(sai từ trên)

4x =
Vậy: S =
{ }
4
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu
khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
Chú ý: ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác nh sau:
Cách 1: (3)


1 1 1
( 1) 2
2 3 6
x

+ =
ữ

4
( 1) 2
6
x =



1 3x

4
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x
+
= +
(4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4)


4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0, 25x x x+ ì = + ì



8 4 10 5 10 5x x x+ = +


4x = 2


x = 0,5
Vậy: S =
{ }
0,5
Trang 4



0,2 0,1x =
Phơng trình tích
Phơng pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) = 0

A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) = 0. Ta thờng biến đổi nh sau:
Bớc 1: Đa phơng trình về dạng tích.
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bớc 2: Giải phơng trình tích nhận đợc và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phơng trình (3x 2)(4x + 5)

= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x 2)(4x + 5)

= 0

3x 2 = 0 hoặc 4x + 5

= 0

3x = 2 hoặc 4x

= 5

x =
2


(



ky ựhieọu thay cho chử ừhoaởc)
* Tuy nhiên trong giải toán ta thờng gặp phải những phơng trình bắt buộc ta phải biến
đổi để đa phơng trình đã cho về phơng trình tích.
Ví dụ 6: Giải phơng trình x
2
x = 2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thờng biến đổi nh sau:
(6)

x
2
x + 2x 2 = 0

x
2
+ x 2 = 0 đây là phơng trình rất khó chuyển về
phơng trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định h-
ớng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6)

x
2
x + 2x 2 = 0



1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 

VËy S =
{ }
1 ; 2 −
VËy S =
{ }
1 ; 2 −
VÝ dơ 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 2)(3 – 4x) = x
2
+ 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
- Trong vÝ dơ trªn häc sinh th«ng thêng biÕn ®ỉi nh sau: Bá dÊu ngc, chun vÕ c¸c
h¹ng tư, thu gän hai vÕ ph¬ng tr×nh.
(7)
⇔
–4x
2
– 5x + 6 – x
2
– 4x – 4 = 0

= −

+ =


⇔


− + =
=



VËy S =
1
2 ;
5
 
−
 
 
Gi¸o viªn cđng cè cho häc sinh kinh nghiƯm khi ®a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng tÝch:
NÕu nhËn thÊy hai vÕ ph¬ng tr×nh cã nh©n tư chung th× ta biÕn ®ỉi ph¬ng tr×nh
vµ ®Ỉt ngay nh©n tư chung Êy.
NÕu nhËn thÊy mét trong hai vÕ cđa ph¬ng tr×nh cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc th× ta
sư dơng ngay ph¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc ®Ĩ ph©n tÝch thµnh nh©n tư.
Khi ®· chun vÕ mµ ta thÊy kh«ng thĨ ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tư th× nªn
rót gän råi t×m c¸ch ph©n tÝch thµnh nh©n tư.
 Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
Ph¬ng ph¸p chung

⇔
x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dïng ký hiƯu
⇔
lµ kh«ng chÝnh x¸c)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔
x(x + 1) = 0
⇔

0
0 (
1 0
1
x
x
x
x
=
 =

⇔



x(x + 2) 1(x 2) = 2 (8)

x
2
+ 2x x + 2 = 2

x
2
+ x = 0

x(x + 1) = 0


0 0 (
1 0
1 (
x x
x
x
= =





+ =
=


khoõng thoỷa ủieu kieọn)


1 3( 2) 3
2 2
x x
x x
+
=

1 + 3(x 2) = 3 x


1 + 3x 6 = 3 x


4x = 8


x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phơng trình vô nghiệm
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
- Tìm ĐKXĐ của phơng trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu
thức bằng 0)
- Khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phơng trình nên cho
học sinh tìm trớc mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác
định (ĐKXĐ) của phơng trình.



2 2
2 2
1 2 5 4( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x
+ + +
=
+ + + +


3x
2
+ x 4 = 4x 4

3x
2
3x = 0

3x(x 1) = 0


3 0 0 (
1 0
1 (khụng
x x
x
x





= +
(11) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
Hớng dẫn: (11)


3 4 9 3
15 15 15
5 2
x x
x x x

= +


10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x = +
(học sinh giải tiếp)
Ví dụ 12: Giải phơng trình
1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
(12) (BT 53-Sgk-tr34)
- Thông thờng học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu nh sau:



1 2 3 4
1 1 1 1
9 8 7 6
x x x x+ + + +

+ + + = + + +
ữ ữ ữ ữ




10 10 10 10
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
Trang 8



1 1 1 1
( 10) 0
9 8 7 6
x

+ + =
ữ
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + =
Hớng dẫn: 2)
1 2 3 4
1 1 1 1 2006 4
2011 2012 2013 2014
x x x x
x

+ + + + + + + = + +


2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x+ + + + +
+ + + =
3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + =


2011 2011 2011 2011 2011
0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +

(x + 2)(x
2
+ x 4x 4) = 0

(x + 2)(x + 1)(x 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử khác để đa về dạng tích mà các em đã học.
Bài toán tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax
2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành
b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Trong thực hành ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích ac.
Bớc 2: Phân tích ac thành tích của hai tha số nguyên bằng mọi cách.
Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Chú ý trờng hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a b + c = 0
Trang 9
Ví dụ 14: Giải phơng trình
3 2 1

4 3 2 1
0
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x x x x x
+ + + =

3)
1 1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 10x x x x x x x x x x
+ + + + =

(*)
Hớng dẫn:
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
=

;
1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
=

;
(*)

1 1 1
6 1 10x x
=

Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phơng trình

2
1
2x y
x
+ =
Phơng trình trở thành y
2
3y + 2 = 0

(y 1)(y 2) =0

y = 1 hoặc y = 2
Khi đó
1
1x
x
+ =


x
2
x + 1 = 0 (vô nghiệm)

1
2x
x
+ =

x
2

Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng ph-
ơng trình, tìm phơng trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán
trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh
tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác.

Một số lu ý khi giải phơng trình, học sinh cần nhận xét:
Quan sát đặc điểm của phơng trình:
Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phơng trình từ đó đa ra cách
biến đổi thích hợp.
Nhận dạng phơng trình:
Xét xem phơng trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phơng pháp cho phù hợp
từng dạng phơng trình đó.
Kinh nghiệm trong biến đổi phơng trình:
Khi đã thu gọn hai vế của phơng trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố
gắng tìm cách chuyển phơng trình đó về dạng phơng trình tích.
Khi biến đổi phơng trình nếu nhận thấy hai vế của phơng có nhân tử chung hoặc
hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
Khi khử mẫu hai vế của phơng trình ta cần lu ý đây là phơng trình hệ quả của ph-
ơng trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
Khi biến đổi phơng trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phơng
trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý nh nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, cho thích
hợp.
Kết quả
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phơng trình này đã góp phần nâng cao chất lợng
học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Kết quả kiểm tra về giải phơng trình đợc thông kê, đánh giá qua hai lớp 8A, 8B ở
năm học 2009 2010 nh sau:
a) Cha áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II TS

giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phơng pháp giải khác,
các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự
học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
C/. KếT LUậN
C/. KếT LUậN
Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho
phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục đợc củng cố và sửa chữa sai lầm,
khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các bớc giải
phơng trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm đợc phơng pháp vận dụng tốt các cách
giải phơng trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tơng tự, bài tập từ
đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung sách giáo
khoa.

Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng
phơng trình phơng pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong việc
vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả năng tự
học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi,
chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phơng pháp giải cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phơng pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập
dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tơng tự hoá vấn đề
để việc giải phơng trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi
sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển t duy một cách
toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.

Đối với giáo viên: Giáo viên thờng xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng