SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 1MỤC LỤC
Phần 1 – ĐẶT VẤN ĐỀ …………………………………………………… 1
Phần 2 – NỘI DUNG ……………………………………………………… 2
I. Phương trình lượng giác đúng dạng …………………………………… 2
1. Phương trình lượng giác cơ bản…………………………………………. 2
2. Phương trình lượng giác thường gặp ……………………………………. 5
2.1. Phương trình bậc 1, bậc 2 đối với một hàm số lượng giác …………… 5
2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ……………………………. 6
2.3. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx………………. 6
2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx……………………………. 7
II. Kỹ năng loại nghiệm ngoại lai …………………………………………. 8
1. Phương pháp hình học……………………………………………………. 8
2. Phương pháp đại số……………………………………………………… 11
III. Kỹ năng biến đổi về phương trình tích……………………………… 12
1. Dấu hiệu nhân tử chung ……………………………………………… 12
2. “Ghép bộ” để giảm cung………………………………………………… 15
3. Biến đổi về dạng asinx + bcosx…………………………………………. 17
4. Đặt ẩn phụ………………………………………………………………. 19
5. Nhẩm nghiệm ………………………………………………………… 20
Phần 3 – KẾT LUẬN ……………………………………………………. 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………. 23
Đề tài ngắn ngọn, chỉ giới hạn trong vài trang nên chắn chắn còn nhiều
thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý sâu sắc và chân thành của quý đồng
nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 3Phần 2 – NỘI DUNG:
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐÚNG DẠNG
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
1.1.
sin ( )
f x m
( ) arcsin 2
,
( ) arcsin 2
f x m k
k
f x m k
1.2.
cos ( )
f x m
( ) arc os 2
,
( ) arc os 2
f x c m k
k
f x c m k
. (với
1
m
)
Trường hợp
1
m
, phương trình trên vô nghiệm.
1.4.
cot ( ) ( ) arccot ,
f x m f x m k k
.
*
sin ( ) 0
cot ( ) cot ( )
sin ( ) 0
( ) ( ) ;
f x
f x g x
g x
f x g x k k
Giải:
a)
2
1
6
sin sin sin ,
72 6
2
6
x k
x x k
x k
2
3
3
sin2 sin ;
4 23
2 2
3
9 3
x x k
x k
x x k
x x k
x k
Giải:
a)
2
6
sin2 cos sin 2 sin ;
23 6
18 3
x k
x x x x k
x k
b)
tan 2 3
6
x
2. a)
3
cos
2
x
; b) 2cos(2cosx)=
3
3. a) sin
5
6
x
+ cos
2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 5
2. Phương trình lượng giác thường gặp:
2.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác:
Dạng:
0
at b
;
2
0
at bt c
, giải như phương trình đại số bậc 1, bậc 2
với ẩn là t (ở đây t là một trong các hàm số lượng giác đã học)
Ví dụ: Giải phương trình: a)
2cos2 1 0
2
6
x k
x
x x x k k
x
x k
là một góc thỏa mãn:
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
.
Chú ý: nếu ta chọn góc
là một góc thỏa mãn:
2 2
2 2
sin
.
Ví dụ: Giải phương trình:
a)
sin cos 1
x x
; b)
3cos2 sin2 2
x x
HD Giải:
a)
2 2 2
sin cos 1 sin cos
2 2 2
x x x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 6
2
2 2
sin .cos cos .sin sin ; .
4 4 2 4 2
2
2
x k
x x x k
x k
…
2.3. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
+
2 2
asin cos sin .cos
x b x c x x d
(1)
+
3 2 2 3
asin sin .cos sin .cos cos 0
x b x x c x x d x
(2)
* Cách giải thông thường là:
- Kiểm tra cosx =0 có phải là nghiệm của phương trình hay không
- Xét
cosx 0
, chia cả 2 vế cho
2
cos x
(đối với đẳng cấp bậc 2), và với
3
cos x
(đối với đẳng cấp bậc 3), sau đó đặt
t tanx
ta chuyển về được phương
4
;
3
arctan
4
x k
k
x k
* Cách khác:
(2)
sin x 1
x
x x
x x x
Dễ thấy (1) vô nghiệm
Và (2) cos 0 ,
(vô nghiệm).
Vậy pt đã cho có nghiệm là:
,
2
x k k
.
2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
k m
a sinx cosx b sin x.cosx c 0
Cách giải: Đặt
t sin x cosx
, biến đổi sinx.cosx theo t, sau đó giải phương
trình đại số theo t.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2(sin cos ) sin2
x x x
Loại
1 2
t ; với
1 2
t ta có:
1 2
arcsin 2
4 2
2sin 1 2 ;
4
3 1 2
arcsin 2
4 2
x k
x k
x k
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3 3
3
1 sin 2x cos 2x sin4x
2
(*)
HD Giải:
3 3
3
1 sin 2x cos 2x sin4x
2
1 (sin2x cos2x)(1 sin2xcos2x) 3sin2xcos2x
Đặt t = sin2x + cos2x
2
t , ta được phương trình mới theo t:
3 2 2
1
3 3 5 0 ( 1)( 2 5) 0
1 6
t
t t t t t t
t
; b) sin2x+
3
cos2x =1
2.
2 2
sin sin2 3cos 3
x x x
3.
3
sinx cosx sin x.cosx 1 0
4.
1 tanx 2 2sin x
5.
2 2
1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin2x
(TSĐH khối A – 2007)
trường hợp ứng với
a
điểm cuối
trên đường tròn lượng giác, các trường hợp đó tương ứng với
1; 2; ; ( 1)
k an k an k an a
- Một cung biết được điểm cuối trên đường tròn lượng giác, học sinh phải cần
biết được cách viết công thức cung hình học đó, chẳng hạn các cung lượng
giác có điểm cuối trùng với điểm A(1;0) thì có công thức biểu diễn là
2
k
;
các cung lượng giác có điểm cuối trùng với B(0;1) hoặc điểm B’(0;-1) thì có
công thức biểu diễn là
2
k
( ở đây
k
) ;…
Ví dụ 1: Giải phương trình:
sinx cosx
1 cos 1 sin
x x
2 2
(*) sinx sin cos os
x x c x
sinx cos (sinx cos )(sinx cos ) 0
x x x
(sinx cos )(sinx cos 1) 0
x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 10
tanx 1
sinx cos
2sin 1
sinx cos 1
4
x
x
x
.
Đối chiếu với đk suy ra nghiệm của phương trình là ,
4
x k k
- Với điều kiện trên ta có: (*) 3 , ,
2
l
x x l l x l
Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là:
A A A
là các điểm
cuối của các cung không thỏa mãn
điều kiện của phương trình
y
y
=
/6
C
D
B
x
O A
Các điểm A,B,C,D là điểm cuối của
các cung nghiệm của phương trình ta
giải ra và dễ thấy cung có điểm cuối
B và D không thỏa mãn điều kiện
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 11
2. Phương pháp đại số:
Giả sử điều kiện của phương trình là các cung
( )
x f k
; nghiệm của phương
6 3 3
2
k
x
x k
c x
k k
k
c x
xx k
10 4 3 10
4 2 2 10 5
1
10 6 2 10
6 3 3 10 5
k m
k m
k m
k m
vô nghiệm do
m,k
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 12
III. KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Dấu hiệu nhân tử chung:
Trên cơ sở các công thức lượng giác các em học sinh được học trong SGK, tôi
rút ra bảng một số nhân tử chung thường gặp:
STT Nhân tử
chung
Biểu thức chứa nhân tử chung
1 sinx
tan ;sin 2 ;tan2 ;1 cos2 ;
x x x x
2 cosx
cot ;sin2 ;tan2 ;1 cos2 ;
x x x x
3
sin cos
x x
6
1 2sin
x
2 2
cos sin2 ;1 4sin ;3 4cos ;2cos2 1;
x x x x x
cotx 2cos ;
x
7
1 2cos
x
2 2
sin sin2 ;1 4cos ;3 4sin ;2cos2 1;
x x x x x
tanx 2sin ;
x
Ví dụ 1.1: Giải phương trình:
1
cos
2
2
3
(2cos 1)(sin cos ) 0 ;
3
cos 0
4
4
x
x k
x x x k
x
x k
cos (1 sin )(1 sin )
x x
x
x x x
có nhân tử chung 1 – sin x
giúp ta giản ước.
Giải:
- Điều kiện:
cos 0 sin 1
x x
- Với điều kiện này ta có:
2 2
sin 3sin
(*) 5sin 2 3(1 sinx) 5sin 2
(1 sinx)(1 sinx) 1 sinx
x x
x x
2
sin 2 (VN)
2
6
2sin 3sin 2 0 ;
1
5
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện, vậy nghiệm của phương trình là:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
với
k
.
Ví dụ 1.4: Giải phương trình
2
1 sin2 cos2
2sinx.sin2
1 cot
x x
x
x
(*)
(Trích đề thi TSĐH khối A – 2011)
Dấu hiệu nhân tử chung:
1 cos2
x
và
- Điều kiện:
sin 0
x
- Với điều kiện này ta có:
2
2
2cos 2sin .cos
(*) 2sin sin2
1
sin
x x x
x x
x
2 2
2sin cos (cos sinx) 2 2sin .cos
x x x x x
cos 0
sinx cos 2
x
x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 15
2.“Ghép bộ” để giảm cung:
Cơ bản là ghép các biểu thức thích hơp trong phương trình, dùng công
thức biến đổi tổng thành tích để tạo nhân tử
Ví dụ 2.1: Giải phương trình:
sin3 cos2 sinx 0
x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối D – 2013)
Phân tích: xuất hiện 3 cung 3x; 2x và x nên ta hy vọng nhóm sin3x với
sinx bằng công thức biến đổi tổng thành tích và xuất hiện nhân tử chung.
HD Giải:
cos2 0
2cos2 sin 2cos2 cos 2cos2 2 cos2 2 sinx cos 1 0
x x x x x x x
cos2 0
2sin 1 0
4
x
x
…
Ví dụ 2.3: Giải phương trình
2
2sin 2 sin7 1 sinx
x x
Ví dụ 2.4: Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
(*)
(Trích đề thi TSĐH khối B – 2002)
- Phân tích: mới nhìn vào, người làm có thể có nghĩ ra 2 hướng giải
quyết bài này:
+ Hướng 1: dùng hằng đẳng thức, kết hợp dùng công thức biến đổi tổng thành
tích hy vọng tạo ra được nhân tử chung.
+ Hướng 2: Hạ bậc, sau đó ghép bộ và biến đổi thành tích hy vọng tạo được
nhân tử chung và dưới đây là cách giải theo hướng này.
HD Giải:
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
(*)
2 2 2 2
x x x x
cos6 cos8 cos10 cos12 2cos7 .cos 2cos11 .cos
x x x x x x x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 17
3. Biến đổi theo dạng asinx +b cosx
- Ý tưởng của phương pháp này là biến đổi được phương trình về dạng
2 2 2 2
sin cos sin cos cos cosa u b u c v d v a b u c d v
với
2 2 2 2
a b c d
ta chuyển được về phương trình cơ bản.
- Dấu hiệu rõ nhất để nhận dạng này là xuất hiện
3; 2
trong phương trình.
Ví dụ 3.1: Giải phương trình
3cos5 2sin3 cos2 sinx 0
x x x
sin cos2 cos .sin2 3cos3 2cos4 sin3 3cos3 2cos4
x x x x x x x x x
2cos 3 2cos4
6
x x
- Nhận xét: Đây là một phương trình lượng giác hay, được người ra đề “dấu
dạng” sau một vài phép biến đổi, tuy nhiên do xuất hiện
3cos3
x
trong
phương trình là cơ sở giúp ta có hướng đi hợp lý phân tích về dạng
cos3 sin3
a x b x
.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 18
Ví dụ 3.3:
HD Giải:
- Điều kiện:
cos 0
x
- Với điều kiện này ta có:
sinx cos
(*) 2 2sin 2sin 2 2sin cos
cos 4 4 4
x
x x x x
x
sin 2cos 1 0
4
x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 19
4. Đặt ẩn phụ:
Ý tưởng của phương pháp là biến đổi các cung phức tạp thành cung đơn
giản trước khi đưa nó về phương trình tích
Ví dụ 4.1: Giải phương trình
sin 2 sin cos3
3 6
x x x
(*)
Giải
Đặt
6 6
y x x y
;
cos3 cos 3 sin( 3 ) sin3
2
x y y y
Thế
6
x y
ta rút ra nghiệm của phương trình là:
6 4
;
2
2
k
x
k
x k
3 sin sin3 3sin 4sin
10 2 10 2
x x
x y y y
Vậy
3 3
1
(*) sin 3sin 4sin sin 4sin 0
2
y y y y y
2
sin (1 4sin ) 0
y y * Nhận xét: Trong lời giải trên có sử dụng công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sin
y y y
2.
3cos sinx sin3 cos3
x x x
3.
3
8cos x cos3x
3
5. Nhẩm nghiệm để tìm nhân tử chung:
- Ta thấy trong đề tuyển sinh đại học trong thời gian gần đây, người ra đề
thường cho kết quả nghiệm tìm được khá “đẹp”, đó là các nghiệm mà có điểm
cuối biểu diễn trên đường tròn lượng giác trùng với các cung đặc biệt tức là
khi đó phương trình sẽ có nhân tử có thể là:
sin ( );sin ( ) 1;2sin ( ) 2;2cos ( ) 3;
f x f x f x f x
- Ý tưởng của phương pháp giống với cách nhẩm nghiệm trong giải
phương trình đa thức, cụ thể: Giả sử nghiệm tìm được là
0
x x
, khi đó
phương trình có nhân tử chung là
0
sin 1
x
”, vậy ta nghĩ đến việc đưa (*) về
nhân tử “
sin 1
x
”
HD Giải:
2
(*) (2sin 2) (sin2 2cos ) 2cos 0
x x x x
(sin 1) cos (sin 1) (1 sinx)(1+sinx) 0
x x x
(sin 1)(1 2cos 1 sin ) 0 (sin 1)(cos sinx) 0
x x x x x
Ví dụ 5.2 Giải phương trình:
sin3 cos2 sinx 0
x x
(*)
( TSĐH khối D – 2013 đã nêu ở ví dụ 2.1)
- Phân tích: Nhẩm nghiệm thấy
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
(*)
- Phân tích:
Ta thấy có
3
nên khi nhẩm nghiệm ta hướng chú ý đến các giá trị
3
sin
2
x
hoặc
3
cos
2
x
. Và sau thời gian nhẩm nghiệm ta thấy
3
sin
2
x là nghiệm và như thế ta có thể biến đổi về nhân tử chung
“
2sin 3
x ”
cos3 11cos 2 2sin2 3cos2 4
x x x x
2.
3
2cos cos2 sin 0
x x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 22Phần 3 – KẾT LUẬN
Đề tài ngắn gọn không thể nêu hết sự đa dạng trong các phương pháp
giải toán đối với phương trình lượng giác, nó chỉ có tính tương đối áp dụng
đối với một số dạng phương trình biến đổi về phương trình tích, và đương
+ SGK Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm 2008.
+ Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm
2008.
+ Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam – Phan Doãi Thoại, Bài tập chọn lọc đại
số và giải tích 11, NXB Giáo Dục 2009.
+ Phạm Khắc Ban – Doãn Minh Cường – Phạm Minh Phương, Ôn thi đại học
môn toán, NXB Giáo Dục 2009
+ www. diendantoanhoc.net
Copyright: Tài liệu đại học ©