Phụ lục
KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG I
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết khái niệm hàm số đơn điệu.
 Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biên của một hàm số và dấu đạo hàm cấp
một của nó
 Kỹ năng xét dấu một biểu thức
 Kỹ năng xét tính đơn điệu của một hàm số.
I.Tóm tắt lý thuyết:
Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) f’(x)>0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) đồng biến trên K
b) f’(x)< 0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) nghịch biến trên K
c) f’(x)=0,
∀
x∈K
⇒
f(x) không đổi trên K
Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ’(x)
≥
0 (f’(x)
≤
0),

1 x
− +
=
−
Giải
a)Tập xác định: D=
¡

2
y 6x 18x 24
′
= − + +
, cho
x 1
y 0
x 4
= −

′
= ⇔

=

 Bảng biến thiên:
x
-∞ -1 4 +∞
y’ - 0 + 0 -
y
+∞
-∞

-∞ 0 1 2 +∞
y’ - 0 + + 0 -
y
14
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (0;1) và (1;2)
Hàm số số nghịch biến trên mỗi khoảng: (-∞;0) và (2:+∞)
Ví dụ 2: Định m để hàm số: y= x
3
– 3mx
2
+ (m+2)x– m đồng biến trên
¡
Giải:
 Tập xác định: D=
¡

y
′
= 3x
2
– 6mx+ m+ 2
Ta co:
′
∆
= 9m
2
– 3m– 6
Bảng xét dấu ∆’:
m
-∞

< −


>

. Ta có:
′
∆
> 0 phương trình
y
′
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(giả sử x
1
<
x
2
)
 Bảng biến thiên:
x
-∞
1
x

2
x
+∞

1 x
− +
−
.
Bài 2: Chứng minh rằng: hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
2
x x 1
y
x 1
− −
=
−
. c)
x 1
y
2x 1
−
=
+
.
Bài 3 : Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2

.
Bài 6 : Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 7 : Chứng minh rằng :
15
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥
2
x
2
, với x > 0
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết các khái niệm điểm cực đại, cực tiểu, điểm cực trị của hàm số
 Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số
 Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, của đồ thị hàm số
 Nắm vững kỹ năng tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 1
 Giải được bài toán tìm m để hàm số đạt CĐ, CT bằng dấu hiệu 2
I.Tóm tắt lý thuyết:
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x
0
và có đạo hàm tại x
0
th́ f

+ Kết luận cực trị ?
•Dấu hiệu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x
0
∈ (a;b)
+Nếu /
0
//
0
y (x ) 0
y (x ) 0

=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
+Nếu /
0
//

(x
i
),
i 1,n=
 Nếu y
//
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
i
.
 Nếu y
//
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
i
.
II.Bài tập:
A.Bài tập mẫu:
Áp dụng quy tắc 1
1.Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: y= –x
4
+ 2x
2
– 3
Giải
Tập xác định: D=
¡


Hàm số đạt cực đại tại các điểm: x=–1, x=1
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm: x=0
Áp dụng quy tắc 2
2)Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin
2
x
 Miền xác định: D=
¡

y
′
= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x;
y
′
=0
⇔
sin2x=
1
2
x k
12
k
5
x k
12
π

= + π

⇔ ∈

đại.
*
5 5
y k 4cos k2
12 6
π π
   
′′
+ π = − + π
 ÷  ÷
   
= 2
3
>0 Vậy:
5
x k
12
π
= + π
,
k ∈¢
là những điểm cực tiểu.
Một số bài toán có tham số
1.Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a)
( )
3 2
y m 2 x 3x mx m= + + + +
. b)
2 2 2

∆ = − + >



( )
2
m 2
3 m 2m 3 0
≠ −


⇔

− − + >



m 2
3 m 1
≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trị cần tìm là:
3 m 1
− < <
và
m 2≠ −

' 1 m 0
g 1 1 m 0

∆ = − >

⇔

− = − + ≠



1 m 1
m 1
− < <

⇔

≠ ±


1 m 1
⇔ − < <
Vậy giá trị cần tìm là:
1 m 1− < <
2. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
( )
3 2
y m 3 x 2mx 3= − − +
không có cực trị.
Giải

2
m 3 0
' 4m 0
− ≠

⇔

∆ = ≤


m 3
m 0
≠

⇔

=


m 0⇔ =
Vậy giá trị cần tìm là
m 0
=
.
3. Cho hàm số
4 2 4
y x 2mx 2m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Giải

= ± ⇒ = − +


Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là
( )
4
A 0;m 2m+
và hai điểm cực tiểu là
( ) ( )
4 2 4 2
B m;m m 2m ,C m;m m 2m− − + − +
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều
AB AC
AB BC
=

⇔

=

2 2
AB BC⇔ =

4
m m 4m⇔ + =

( )
3
m m 3 0⇔ − =


= ⇔

=

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
⇔
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
x 0
=

m 0
⇔ ≤
Vậy giá trị cần tìm là:
m 0
≤
B. Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
3 2
1
y x 4x 15x
3
= − + −
b) y=
4 3 2
3
x x 9x 7
4
− − +
c) y= 2sinx +cos2x trên

Bài 5: Định m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trị. b.Có cực đại và cực tiểu.
Bài 6: Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không
có cực đại.
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số
 Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
 Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)
 Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác đơn giản
3.1.Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 Tính y’
 Tìm nghiệm của y
/
= 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b) là x
1
,
x
2
,…,x
n

2
– 12x+ 1 trên
3
2;
2
 
−
 
 
b) y=
1
2
x
2
+
1
x
trong
( )
0;+∞
Giải
a)Xét x
∈
3
2;
2
 
−
 
 

 
 
=
,
3
x 2;
2
min f (x) 17
 
∈ −
 
 
= −
b)Xét x
∈
( )
0;+∞
, ta có
y
′
= x–
2
1
x
=
3
2
x 1
x
−

R
Min
f(x) = f(1) = 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
-2x+3 trên [0;3].
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
19
a/ y = 3 sinx 4 cosx. b/
2xcos
1xsin22
y
+

=
.
c/
( )

+
+
=
;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2
Bi 4:NG TIM CN
Chun kin thc k nng cn t

y
x 2

=
+
.
Gii.
Vỡ
x 2
x 1
lim
x 2
+


=
+
;
x 2
x 1
lim
x 2



= +
+
ng thng x = -2 l tim cn ng ca (C).
Vỡ
x x


+ +
= +

(hoc
2
3
x
2
2x x 1
lim
2x 3



ữ

+ +
=

) nờn ng thng
3
x
2
=
l tim cn
ng ca th hm s ó cho.
2 2
x x
2x x 1 2x x 1

+
d)
2
x 6x 3
y
x 3
+
=

e)
3
y 5x 1
2x 3
= + +

Bài 2 Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
x 3
y
x 2(m 2)x m 1

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
20
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
 Biết sơ đồ tổng qt để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm
cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)
 Vận dụng giải được bài tốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng

a

' 0
0
≥ ∀


>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x

<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


<

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x
3
– 9x
2
+ 12x– 4
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 6x
2
– 18x+ 12
21
x

→+∞
=
+∞
,
lim
x
y
→−∞
= −∞
Bảng biến thiên:
x
−∞
1 2 +
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y 1 +
∞

−∞
0
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(
−∞
;1)và (2; +
∞
), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; y
CĐ

y -4 1
1
2
0 5
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I
3 1
;
2 2
 
 ÷
 
làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y= x
4
– 2x
2
– 1
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 4x
3
– 4x cho
y
′

= +∞
Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′
– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
–1
+∞
–2 –2
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1;
+∞
), nghịch biến trong 2 khoảng: (
−∞
;–1) và
(0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
= -1, cực tiểu tại x= ±2; y
CT
= -2
Điểm đặc biệt
x -2 -1 0 1 2
y 7 -2 -1 -2 7
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:

3
- 3x
2
+ 1 b/ y =
1
3
x
3
– x
2
+ x -1 c/ y = - x
3
– x
2
– x -1 d/y = - x
3
+ 3x + 1
e/y = x
3
-3x+1 f/ y = x
3
+3x−4 g/ y = (1-x)
3
h/ y = 3x
2
-x
3
i/y = -
1
3

4
2
5
3
2 2
x
x− +
f/ y = x
4
+ 2x
2
g/ y = - x
4
+ 2x
2
+2 h/ y = -
4
2
3
2 2
x
x− +

5.2.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\

+ +
= +∞ −∞ = −∞ +∞
+ +

• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim lim
x x
ax b ax b a
cx d cx d c
→+∞ →−∞
+ +
= =
+ +
+Bảng biến thiên :
+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:khảo sát hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+

1x⇒ = −
là tiệm cận đứng
+
( )
2
2
'
1
y
x
=
+
> 0 ,
x∀ ∈
D ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng
( ) ( )
; 1 ; 1;−∞ − − +∞

x -
∞
-1 +
∞

y’ + +
y +
∞
1

1 -
∞

1
x
x
−
−
d/y=
2
1x +
e/y =
1
2 1
x
x
+
− +
f/y =
2 1
1
x
x
+
−
g/ y =
1x
1x
−
+
h/ y =
2x
x2

2.Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3.Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y
0
⇒f(x
0
)=y

=k (*)
B3: Giải phương tŕnh (*) tìm x
0

⇒
y
0
= f(x
0
)
⇒
phương tŕnh tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a= -1.
5.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1
) :
B1:Phương tŕnh đường thẳng d đi qua A(x
1

) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
24
6
4
2
-2
5
x
y
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) không có giao điểm.
• pt(1) có n nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) có n giao điểm.
II.BÀI TẬP:
A.Bài tập mẫu:
Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x
3

(1)có 1 nghiệm
⇒
(C)và d có 1 giao điểm.
 Nếu 3+k = 0
⇔
k= -3. Phương trình (2) có nghiệm kép x=0
⇒
(C) và d có 1 giao điểm.
 Nếu 3+k >0
⇔
k> -3, g(0)=0
⇔
-3 - k = 0
⇔
k=-3
vậy k>-3 phương tŕnh (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇒
(1) có 3 nghiệm phân biệt
⇒
(C)
và d có 3 giao điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2x
y
x 1
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm

≠


∆ = − + > ⇔ ⇔ − + < <

 
+ + >



>
− − − ≠



Ví du 3:
Cho hàm số y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số
nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải
Phương trình x
3
– 6x

có
0
0
x 1
f (x ) 1
= −


= −

⇒f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3⇒phương trình tiếp tuyến
là: y=f’(x
0
)(x-x
0
)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b) Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f (x ) 8
f '(x ) 12
= −

⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=
±
1
 Với x
0
=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
 Với x
0
=-1

2x
3
- 6x
2
+ 8 = 0
⇔

x 2
x 1
=


= −


 Với x=2
⇒
k=12
⇒
phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
 Với x=-1
⇒
k=3
⇒
phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
B.Bài tập tổng hợp
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT KÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số: y= x
3
– 6x

− +
−
Bài 5: Tìm m để đường thẳng (d): y= x–1 cắt đồ thị (C): y=
2
x x m
x m
− + +
+
tại hai điểm phân biệt.
Bài 6: Tìm m để đồ thị của hàm số y= x
3
–mx
2
+4x+4m–16 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y= x
4
–2(m+1)x
2
+2m+1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
Bài 8: Cho hàm số y=
1
3
x
3
–2x
2
+3x có đồ thị (C). Xác định điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến
tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến ấy.
Bài 9: Cho hàm số: y= x(3–x)
2

2x 1
y
x 1
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm những điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
c)Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = x + 2010.
d)Tìm điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng y= -2x +2010
Bài 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra
đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2

2x
2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x
+
−
27