Baỡi 1
Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A vaỡ mọỹt õióứm D nũm giổợa A vaỡ B. Qua B
keớ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi CD, õổồỡng thúng naỡy cừt caùc õổồỡng
thúng CD vaỡ CA theo thổù tổỷ ồớ H vaỡ K.
a/ Chổùng minh rũng BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp.
b/ So saùnh hai goùc ACB vaỡ KHA.
c/ ổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc BHD cừt BC taỷi E (E B).
Chổùng minh ba õióứm K, D, E thúng haỡng.
Gi i
a/ BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp:
Theo giaớ thióỳt ta coù:
v1BHC =
vaỡ
v1BAC =
Suy ra H vaỡ A ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.
Vỗ vỏỷy tổù giaùc BHAC nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.
b/ So saùnh hai goùc
ACB
vaỡ
KHA
:
Tổù giaùc BHAC nọỹi tióỳp õổồỹc õổồỡng troỡn nón ta coù:
v2ACBBHA =+
Maỡ:
v2KHABHA =+
(hai goùc kóử buỡ)
Suy ra:
KHAACB =
c/ Ba õióứm K, D, E thúng haỡng:
Trong tam giaùc BKC hai õổồỡng cao CH vaỡ BA giao nhau taỷi D nón D laỡ trổỷc
tỏm cuớa tam giaùc KBC.

Maỡ: A, B, D (O).
Do õoù AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O).
b/ Tổù giaùc BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh.
Ta coù: CD AC (C ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AD)
BE AC (gt)
Suy ra: CD// BE.
Mỷt khaùc: BD // CF (gt)
Do õoù BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh.
c/ HB.HE = HC.HF:
Xeùt hai tam giaùc vuọng HFB vaỡ HEC ta
coù:
EHCFHB =
(õọỳi õốnh)
Nón: HFB HEC
Suy ra:
HC
HB
HE
HF
=
Do õoù: HB.HE = HC.HF
d/ A, H, I thúng haỡng, I (O)
Vỗ I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC nón HI BC
Thóm vaỡo õoù: AH BC (H laỡ trổỷc tỏm tam giaùc ABC)
Vỗ vỏỷy A, H, I thúng haỡng.
Theo giaớ thióỳt I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC nón:
BHCBIC =
Maỡ :
BHCEHF =
(õọỳi õốnh)

AH BC (gt)
Suy ra:
v1BNM =
Mỷt khaùc:
v1BAM =
(gt)
Cho nón:
v2BAMBNM =+
Do õoù tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn.
b/ HN = AH:
Theo giaớ thióỳt ta coù: AB = AM vaỡ
v1BAM =

Suy ra ABM vuọng cỏn taỷi A.
Cho nón:
0
45AMB =
Maỡ:
AMBANB =
(cuỡng chừn cung AB)
Vỗ vỏỷy:
0
45ANB =
Mỷt khaùc:
v1AHN =
(gt)
Suy ra AHN vuọng cỏn taỷi H
Do õoù: AH = HN.
c/ CM.HN = AB.CN:
Do MN // AH nón ta coù:

B
C
H
N
M
R
Cho nón AIBP laỡ hỗnh vuọng.
Aùp duỷng õởnh lyù Pythagore vaỡo tam giaùc vuọng PQR ta coù:
)cm(10QR1006436PRPQQR
222
==+=+=
Theo tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn ta coù:AP = BP; AQ = QN vaỡ BR = NR.
Cho nón:
PQ + PR - QR = AP + AQ + PB + BR - RN - NQ = AP + PB = 2AP
Suy ra: AP = (PQ + PR - QR):2 = (6 + 8 -10):2 = 2(cm)
Tổỡ õoù ta coù: AP = PB = BI = IM = 2(cm)
Dióỷn tờch hỗnh thang APBM õổồỹc tờnh nhổ sau:
( ) ( )
)cm(6
2
2.42
2
PB.BMAP
S
2
)APBM(
=
+
=
+

Mỷt khaùc:
v1QAM =
(gt)
Do õoù tam giaùc AQM vuọng cỏn taỷi A.
A
B
C
D
Q
K
R
N
M
P
c/ AK // PR:
MA vaỡ QC laỡ hai õổồỡng cao trong tam giaùc QPM giao nhau taỷi N nón N
laỡ trổỷc tỏm cuớa tam giaùc PQM.
Suy ra: PR QM
Mỷt khaùc AK QM (AK laỡ trung tuyóỳn cuớa tam giaùc cỏn AQM)
Vỗ vỏỷy: AK // PR.
d/ Tờch QD.PB khọng õọứi:
Xeùt hai tam giaùc vuọng ADQ vaỡ PAB ta coù:
PABAQD =
(õọửng vở)
Suy ra: ADQ PBA
Tổỡ õoù ta coù:
2
aBA.ADDQ.PB
BA
DQ

: S
(ANI)
= MI:NI
Dổỷng MK AC vaỡ NH AC (K,H AC) ta coù:
AM = AN (AM = AN)
Suy ra:
NIKMIK =
Xeùt hai tam giaùc vuọng KMI vaỡ HNI ta coù:
NIKMIK =
(chổùng minh trón)
Suy ra: KMI HNI
NH
MK
NI
MI
=
Mỷt khaùc:
NH
MK
2:AI.NH
2:AI.MK
S
S
)ANI(
)AMI(
==
Do õoù: S
(AMI)
: S
(ANI)

0
45NM

A =

Mỷt khaùc:
v1MN

A =
(N ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AM)
Do õoù tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn taiỷ N.
b/ N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC:
Vỗ BD laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa AC (ABCD laỡ hỗnh vuọng)
Cho nón NA = NC
Thóm vaỡo õoù: NA = NM (Tam giaùc ANM vuọng cỏn taỷi N)
Suy ra: NA = NC = NM
Do õoù N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC.
A D
C
B
M
N
Baỡi toaùn 7
Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A vaỡ mọỹt õióứm D lỏỳy trón õoaỷn AC. ổồỡng
vuọng goùc vồùi õổồỡng thúng BD veợ tổỡ C cừt õổồỡng thúng BD taỷi E vaỡ cừt
õổồỡng thúng AB taỷi F.
a/ Chổùng minh hai tam giaùc ABD vaỡ ECD õọửng daỷng.
b/ Chổùng minh tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong mọỹt õổồỡng troỡn. Tỗm
tỏm cuớa õổồỡng troỡn õoù.
c/ Trong cỏu naỡy, cho AB = AD = a vaỡ BC = 2a. ổồỡng thúng FD cừt BC taỷi

AC
2
= BC
2
- AB
2
= 4a
2
- a
2
= 3a
2
AC =
3a
Aùp duỷng hóỷ thổùc lổồỹng vaỡo tam giaùc ABC vaỡ õổồỡng cao AH ta coù:
AH.BC = AB.AC
2
3a
a2
3a.a
BC
AC.AB
AH ===
Ta coù D laỡ giao õióứm hai õổồỡng cao CA vaỡ BE trong tam giaùc FBC nón D laỡ trổỷc
tỏm tam giaùc FBC. Suy ra FD BC.
Tam giaùc ABC vuọng taỷi A nón ta coù:
00
30DCKAFK60ABC
2
1

a
30Sin.CDSinDCK.CDDK
CD
DK
SinDCK
0
====
Do D FD nón:
FK = DF + DK =
)33(
2
a
)
2
1
2
3
2(a)13(
2
a
a2 +=+=+
Baỡi 8 : Cho tam giaùc cỏn ABC (AB = AC). Qua A veợ mọỹt õổồỡng thúng
cừt caỷnh BC taỷi M vaỡ cừt õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc õoù taỷi K (K
A).
a/ Chổùng minh AKC ACM.
b/ Chổùng minh hóỷ thổùc: AB
2
= AK.AM
c/ Cho bióỳt
0

Goỹi H laỡ giao õióứm cuớa AO vaỡ BC ta coù: OB = OC (baùn kờnh)
vaỡ
00
6030.2BAC2OBC ===
(cuỡng chừn cung BC)
Suy ra: BOC õóửu BC = OB = R vaỡ
2
3R
2
3BC
OH ==

( )
( )
4
R.32
2
R.
2
3R
R
2
BC.OHOA
2
BC.AH
S
2
)ABC(
+
=

Do D ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC nón:
v1MDC =
Suy ra:
v1EDB =
Mỷt khaùc:
v1EAB =
(vỗ
v1BAC =
)
Cho nón A vaỡ D ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh EB.
Do õoù tổù giaùc EADB nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh EB.
b/ HD // EB:
Ta coù:
MADEDH =
( MD = HM )
MADBED =
(cuỡng chừn BD )
Suy ra:
BEDEDH =
Vỗ vỏỷy: EB // HD
c/ Ba õióứm N, H, A thúng haỡng:
Trong tam giaùc EBC, M laỡ giao õióứm hai õổồỡng
cao ED vaỡ BA nón M laỡ trổỷc tỏm tam giaùc EBC.
Suy ra: CN EB
Hay:
v1BNC =
Mỷt khaùc:
v1BAC =
(gt)
Cho nón N vaỡ A ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.