http://ductam_tp.violet.vn/
Trường THPT Nguyễn Khuyễn ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT HỌC NĂM 2010
MƠN: TỐN
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề
CÂU I: (2 điểm)
Cho hàm số:
2
1
x
y
x
+
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Cho điểm A(0;a). Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương
ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
CÂU II: (2 điểm)
Cho phương trình:
2 2
2cos 2 sin cos sin cos (sin cos )x x x x x m x x+ + = +
(1)
Với m là tham số.
1) Giải phương trình (1) khi m=2.
2) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
0;
2
∏
 
 
 



2) Giải phương trình:
2 6 2
2 2 2
log log log 4
4 2.3
x
x
x
− =
CÂU V: (2 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1),
A(1;1;0). Hai điểm M(m;0;0) , N(0;n;0) thay đổi sao cho m+n=1 và m>0, n>0.
1) Chứng minh rằng thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m và n.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) .Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN)
tiếp xúc với một mặt cầu cố đònh.
DAP AN
CÂU I:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
1
x
y
x
+
=
−
• TXĐ: D=R\{1}
( )

( ; ) ( )
0 0
M x y C∈
2
0
0
1
0
x
y
x
+
⇔ =
−
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
'
( )( )
0 0 0
y f x x x y= − +
2
3
0
( )
0
2
1
( 1)
0
0
2

a
x
+ −
⇔ =
−
http://ductam_tp.violet.vn/
2
( 1) 2( 2) 2 0
0 0
a x a x a⇔ − − + + + =
(1)
(vì
0
x
=1 không là nghiệm)
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:
1 0
1
,
2
0
a
a
a
− ≠

≠


⇔

1
x
y
x
+
=
−
Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox.
( )
2
2
0
1
0 . 0
0 1
1 1
0 1
2( ) 4
0 1 0 1
0
1
0 1 0 1
2 4( 2)
4
1 1
0
2 2( 2)
1
1 1
9 6 2

−
Tóm lại:
2, 1
2
3
a a
a
> − ≠


−

>



2
3
a
−
⇔ >
và
1a ≠
ĐS:
2
, 1
3
a a
−
> ≠

x x x x x x m
x x
x x x x m
⇔ + − + − =
+ =

⇔

− + − =

http://ductam_tp.violet.vn/
Ta có:
(2)
sin cos
1
4
x x
tgx x k
π
π
⇔ = −
⇔ = − ⇔ = − +
Đặt
cos sin 2 cos( )
4
t x x x
π
= − = +
. Điều kiện
2t ≤

π
⇔ + = ± +
2
2
2
x k
x k
π
π
π
=


⇔

= − +

Tóm lại: nghiệm của phương trình khi m=2 là:
, 2 , 2 ( )
4 2
x k x k x k k
π π
π π π
= − + = = − + ∈Z
b) Tìm m để (1) có ít nhất một nghiệm thuộc
[0, ]
2
π
Ta có:
3

(1) 1 2 ( 1)
3 1 2 5
2 2
f m f
m
m
⇔ ≤ − ≤ −
⇔ − ≤ − ≤
⇔ − ≤ ≤
CÂU III:
1) Tính
1
5 3
. 1
0
I x x dx⇒ = −
∫
Đặt
3 2 3 2
1 1 2 3t x t x tdt x dx= − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận :
0 1
1 0
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
1
3 3 2
. 1

∫
 
 
= − =
 
 
2) Chứng minh
1 1 2 2 1
.3 2 .3 . .4 .
n n n n
C C n C n
n n n
− − −
+ + + =
Ta có:
0 1 1 2 1 2
(3 ) .3 .3 . .3 . .
n n n n n n
x C C x C x C x
n n n n
− −
+ = + + + +
Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
1 1 1 2 2 1
(3 ) .3 2 .3 .
n n n n n
n x C C x nC x
n n n
− − − −
+ = + + +

2
( 1)
0 0
x x a+ = +
2
1 0
0 0
x x a⇒ + + − =
Ta có
2
1 0
0 0
x x a+ + − =
có nghiệm duy nhất.
0)1(41 =−−=∆⇒ a
http://ductam_tp.violet.vn/
3
4
a⇒ =
Điều kiện đủ:
Với
3
4
a =

Hệ trở thành:
( )
3
2
1 (1)

2 2
x x x y+ + = ⇔ = − ⇒ = −
Thế y= - x - 3 vào (1) ta được :
2
4 12 13 0x x+ + =
( vô nghiệm )
Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất
1
2
1
2
x
y

= −




= −


Vậy
3
4
a =
thỏa yêu cầu bài toán.
2) Giải phương trình :
2
222

3 9
2 2
4 18.
2 4
x x
   
⇔ − =
   
   
(*)
Đặt
log
3
2
2
x
t
 
=
 
 
. Điều kiện: t > 0.
Khi đó phương trình (*) trở thành:
4 – t = 18t
2

2
18 4 0t t⇔ + − =
http://ductam_tp.violet.vn/


 
 
Vậy
1
4
x =
là nghiệm của phương trình.
CÂU V:
S(0; 0; 1), A(1; 1; 0), M(m; 0; 0), N(0; n; 0) với m + n = 1 và m > 0, n > 0.
1) Thể tích hình chóp S.OMAN.
Hình chóp S.OMAN có SO là chiều cao.
Diện tích tứ giác OMAN là tổng diện tích
OMA∆
và
ONA∆
[ ] [ ]
2
1
2
,
2
1
,
2
1
=
+
=+=⇒
nm
OAONOAOMS

0nx my mnz mn+ + − =
Ta có:d(A,(SMN))
2 2 2 2
n m mn
n m m n
+ −
=
+ +
1 .
1
1
1
2 2
1 2
m n
mn
mn
mn m n
−
−
= = =
−
− +

Suy ra(SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố đònh.