77
ở đó:

∏
∏
=
=
→
−
−
==
Q
j
j
M
i
i
s
p
p
z
KsGK
1
1
0
)(lim (5.37)
được gọi là hằng số sai số vị trí (position error constant).
o Hệ thống có N ≥ 1:

0
)()(

)(1
)(
lim
00
2
0
ssG
A
ssGs
A
sG
sAs
e
sss
ss
→→→
=
+
=
+
= (5.39)
o Hệ thống kiểu-0:

∞=
−−
=
∏∏
==
→
Q

e =
−−
=
∏∏
==
→
11
0
)()(
lim
(5.41)
ở đó:

∏
∏
=
=
→
−
−
==
Q
j
j
M
i
i
s
v
p

ss
pszsK
As
e
(5.43)
78
− Tín hiệu parabol, còn gọi là tín hiệu gia tốc (acceleration) r(t) = At
2
/2:

)(
lim
)(
lim
)(1
)(
lim
2
0
22
0
3
0
sGs
A
sGss
A
sG
sAs
e

2
0
)()(
lim
(5.40)
o Hệ thống kiểu-2 (type-two):

a
Q
j
j
M
i
i
s
ss
K
A
pszsK
A
e =
−−
=
∏∏
==
→
11
0
)()(
lim

)()(
lim
11
2
0
=
−−
=
∏∏
==
−
→
Q
j
j
M
i
i
N
s
ss
pszsK
As
e
(5.43)
Các hệ thống điều khiển thường được mô tả bằng số định kiểu và các hằng số
sai số của chúng. Chú ý rằng, các hằng số sai số K
p
, K
v

)(
2
+++
+
=
sss
s
sT
(a)
Vẽ các điểm cực và điểm không của hệ thống.
(b)
Ước lượng giá trị phần trăm quá mức của đáp ứng khi tín hiệu vào là một
hàm nhảy bậc.
Bài 5.3
. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là
)2(
)(
+
=
ss
K
sG
. Đáp ứng được mong muốn cho hệ thống khi tín hiệu vào là một
hàm nhảy bậc được mô tả bằng hai giá trị: thời gian tới đỉnh T
p
= 1s và phần trăm
quá mức
P
o
= 5%.

tiền khuyếch đại và một mạch lọc thông thấp như trong hình dưới. Bộ tiền
khuyếch đại có trở kháng đầu vào cao và hệ số khuyếch đại bằng một, được dùng
để cộng tín hiệu.

1
20
+s

v
vào

v
ra

+
−
R = 50
Ω

C
Khuyếch
đại từ

(a)
Chọn giá trị cho tụ điện C để hệ thống có tỷ số cản bằng 0,7.
(b)
Tính thời gian quá độ T
s
của hệ thống.


nón trên mặt phẳng ngang. Nếu hình nón nằm trên đáy của nó, hình nón sẽ luôn
có xu hướng trở về trạng thái cần bằng khi chúng ta tác dụng một lự
c làm nó
nghiêng đi một chút. Vị trí và đáp ứng trong trường hợp này được gọi là ổn định.
Nếu hình nón nằm trên cạnh, nó sẽ lăn khi chúng ta tác động vào, nhưng vẫn tiếp
tục nằm trên cạnh. Vị trí này được gọi là vị trí ổn định trung tính. Nếu chúng ta
đặt hình nón trên đỉnh của nó, hình nón sẽ đổ xuống cạnh nếu không được giữ.
Vị trí này được gọi là không ổn định.
Tính ổn định củ
a một hệ thống động cũng được định nghĩa một cách tương
tự. Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào hay một điều kiện ban đầu sẽ có dạng
giảm dần, trung tính (không thay đổi), hay tăng dần theo thời gian. Đặc biệt, theo
định nghĩa của tính ổn định, một hệ thống tuyến tính ổn định khi và chỉ khi tích
phân
∫
∞
0
)( dtty
, với y(t) là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn
vị, phải hữu hạn. Vị trí các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống trong mặt
81
phẳng s cũng chỉ ra tính ổn định của đáp ứng nhất thời. Hệ thống có các điểm cực
đều nằm ở bên trái trục ảo sẽ có đáp ứng giảm dần, trong khi hệ thống có các
điểm cực nằm bên phải trục ảo có đáp ứng trung tính hoặc tăng dần. Như vậy, để
có được một hệ thống ổn định, các đ
iểm cực của hàm chuyển của hệ thống cần
phải nằm ở bên trái của trục ảo trong mặt phẳng s.
Với các hệ thống tuyến tính, chúng ta nhận thấy rằng, yêu cầu về tính ổn định
có thể định nghĩa được dưới dạng vị trí của các điểm cực của hàm chuyển vòng
kín. Hàm chuyển của một hệ thống vòng kín có thể biểu di

M
i
i
ss
B
s
A
sss
zsK
sq
sp
sT
11
222
11
222
1
2
)2()(
)(
)(
)(
)(
ωαα
σ
ωαασ
(6.1)
Thực hiện biến đổi Laplace nghịch của phương trình (6.1), chúng ta có được đáp
ứng của hệ thống với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị sẽ có dạng:


> 0 và ∀m:
α
m
> 0. Điều đó có nghĩa là, tất cả các điểm cực của
hàm chuyển của hệ thống cần phải nằm ở nửa bên trái trục ảo của mặt phẳng s.
Như vậy, điều kiện cần và đủ để một hệ thống điều khiển phản hồi ổn định là tất
cả các điểm cực củ
a hàm chuyển của hệ thống đều có phần thực mang giá trị âm.
Chúng ta có thể xác định xem một hệ thống có ổn định hay không bằng cách
giải phương trình đặc trưng của hệ thống để tìm các nghiệm của nó. Tuy nhiên,
nếu chỉ để trả lời câu hỏi hệ thống có ổn định hay không thì việc đó là quá thừa.
Sau đây, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp để xác định tính ổn định của hệ
thống mà không cần phải giải phương trình đặc trưng.
6.2. Điều kiện ổn định Routh-Hurwitz
Một phương pháp xác định tính ổn định của các hệ thống tuyến tính được A.
Hurwitz và E.J. Routh nghiên cứu và công bố độc lập với nhau vào cuối thế kỷ
19. Phương pháp Routh-Hurwitz đưa ra câu trả lời cho câu hỏi về tính ổn định
bằng cách xem xét phương trình đặc trưng của hệ thống. Phương trình đặc trưng
của hệ thống có thể viết được dưới dạng sau:

0 )(
1
1
10
=++++=
−
−
nn
nn
asasasasq

s
n

a
0
a
2
a
4

a
n−1

s
n−1

a
1
a
3
a
5
a
n

− Bước 2: điền các hàng từ 3 đến n+1
Giả sử hàng thứ k−2 và k−1 đã được điền:
s
n−k+3


11
11
11
1111
1
+
+
++
−=
−
=
i
i
ii
i
yy
xx
yy
yxyx
z (6.4)
Điều kiện Routh-Hurwitz được phát biểu như sau: Số nghiệm của phương
trình đặc trưng có phần thực dương đúng bằng số lần đổi dấu của các phần tử
trong cột thứ nhất của bảng Routh-Hurwitz. Điều đó có nghĩa là, điều kiện cần và
đủ để hệ thống ổn đị
nh là tất cả các phần tử của cột thứ nhất trong bảng Routh-
Hurwitz đều có cùng dấu. Chúng ta cần xét đến hai trường hợp đặc biệt xảy ra
khi trong cột thứ nhất của bảng Routh-Hurwitz có ít nhất một phần tử bằng
không:
−
Nếu một phần tử của cột thứ nhất bằng không, nhưng trong các phần tử

(6.6)

83
 Ví dụ 6.1
Xem xét một hệ thống điều khiển tay máy có phương trình đặc trưng như sau:
q(s) = s
5
+ s
4
+ 4s
3
+ 24s
2
+ 3s + 63 = 0 (6.7)
Bảng Routh-Hurwitz cho q(s) được thiết lập dưới đây:
s
5
143
s
4
12463
s
3
-20 -60 0
s
2
21 63 0
s
1
000

11
s
2
121
s
1
-20 0
s
0
21 0
Trong bảng này, chúng ta thấy có hai lần đổi dấu ở cột thứ nhất, tức là phương
trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm với phần thực lớn hơn không. Vì vậy
hệ thống chúng ta đang xem xét không ổn định.
 Ví dụ 6.2
Một ổ đĩa máy tính có sơ đồ khối được biểu diễn trong Hình 6.1, ở đó G(s) là
hàm chuyển thể hiện động lực của cơ cấu đầu đọc ghi và D(s) là hàm chuyển của
bộ phận điều khiển:

)3)(2(
1
)(
++
=
sss
sG
(6.11)

1
)(
)(

−
Ka
0
s
1

K
Ka
K
−
−+
60
36
6
00
s
0

Ka
00

G(s)
R(s) C(s)
D(s)
_
+
Hình 6.1. Sơ đồ khối của hệ thống trong ví dụ 6.2

Theo điều kiện Routh-Hurwitz, điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là:


được dưới dạng phương trình vi phân bậc nhất của vector trạng thái:

BuAx
x
+=
dt
d
(6.17)
Đáp ứng của hệ thống khi đó sẽ là:
y = Cx + Du (6.18)
Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (6.17), chúng ta có được:
s
X(s) = AX(s) + BU(s) (6.19)
hay:
X(s) = (sI − A)
−1
BU(s) (6.20)
trong đó
I là ma trận đơn vị có kích thước bằng kích thước của ma trận A. Thực
hiện biến đổi Laplace cho phương trình (6.18), chúng ta có được:
Y(s) = CX(s) + DU(s) (6.21)
Thay (6.20) vào (6.21):
85
)(])([)(
1
sss UDBAICY +−=
−
(6.22)
Ma trận nghịch đảo của một ma trận
M được tính bằng công thức sau:

−
−
=
(6.24)
Phương trình (6.24) thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ
thống trong miền tần số, vì vậy phương trình đặc trưng của hệ thống là:
q(s) = det(s
I − A) = 0 (6.25)
Như vậy, để khảo sát tính ổn định của hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng
phương trình vi phân của vector trạng thái, chúng ta có thể dùng điều kiện Routh-
Hurwitz cho phương trình đặc trưng (6.25). Các nghiệm của phương trình này
chính là các giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận
A.
Một phương pháp đơn giản hơn để xác định tính ổn định của hệ thống tuyến
tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái là sử dụng
định lý Lyapunov.
Định lý Lyapunov được phát biểu như sau: Điều kiện cần và
đủ để tất cả các giá trị riêng của một ma trận
A đều có phần thực âm là nghiệm
của phương trình sau phải là một ma trận xác định dương đối xứng:
A
T
X + XA = −N (6.26)
ở đó,
A
T
là ma trận chuyển vị của ma trận A, N là một ma trận xác định dương
đối xứng bất kỳ, còn ma trận
X là ẩn của phương trình. Ma trận xác định dương
đối xứng (symmetric positive definite matrix) là ma trận đối xứng có các giá trị

=
10
01
N và giải
phương trình sau:
86

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

trong đó x
12
= x
21
. Nghiệm của phương trình (6.28) là:

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
a
a
2
1
0
0
2
1
X
(6.29)
Các định thức con chính của
X là 1/(2a) và 1/(4a
2

+ 9s
2
+ 26s + 24 = 0
Dùng điều kiện Routh-Hurwitz để chứng tỏ rằng hệ thống này ổn định.
Bài 6.3
. Một hệ thống điều khiển có sơ đồ khối được thể hiện trong hình vẽ dưới.
Hãy xác định giá trị của K mà tại đó hệ thống bắt đầu không ổn định.

+
R
(
s
)
+
−

C
(
s
)
1
2
+s

)2( +ss
K

−