87
2
)10(
20
)(
+
+
=
ss
s
sG

G(s)
R(s) C(s)
K
_
+

Hãy xác định khoảng giá trị K để hệ thống ổn định.
Bài 6.5
. Một hệ thống được biểu diễn bằng phương trình vi phân BuAx
x
+=
dt
d

của vector trạng thái
x, trong đó ma trận A được cho như sau:
⎥
⎥
⎥


(a)
Xác định khoảng giá trị của K để cho hệ thống ổn định.
(b)
Xác định giá trị của K để phần trăm quá mức của đáp ứng với tín hiệu vào
là hàm nhảy bậc đơn vị vào khoảng 5%.
Bài 6.7
. Hệ thống lái tự động của một tàu thủy được biểu diễn bởi phương trình
vi phân của vector trạng thái như sau:
)(
0
0
03,0
2,0
)(
0010
13001
0015,010
00605,0
3
tt
dt
d
δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

1
, x
2
, x
3
và x
4
.
(a)
Xác định xem hệ thống có ổn định hay không.
(b)
Thêm vòng phản hồi vào hệ thống, khi đó chúng ta có
δ
(t) = −k
1
x
1
− k
2
x
3
.
Có tồn tại các giá trị của k
1
và k
2
để hệ thống ổn định hay không?
88
Chương VII


pháp sử dụng đồ thị để thể hiện quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi
các tham số thay đổi. Trong thực tiễn, phương pháp quỹ tích nghiệm cung cấp
cho chúng ta một số đo độ nhạy của các nghiệm của phương trình đặc trưng đối
với sự
thay đổi của các tham số được xem xét. Trong phương pháp này, điều kiện
Routh-Hurwitz có thể được sử dụng để xác định khoảng biến đổi được phép cho
các tham số nhằm đảm bảo hệ thống luôn ổn định khi các tham số thay đổi. Mặc
dù phương pháp quỹ tích nghiệm được thiết kế để áp dụng cho các hệ thống phản
hồi một vòng, phương pháp này cũng có thể áp dụng được cho các hệ th
ống
nhiều vòng với nhiều tham số thay đổi.
7.2. Khái niệm quỹ tích nghiệm
Với hệ thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối như trong Hình 7.1, phương
trình đặc trưng của hệ thống là:
89
q(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (7.1)

G(s)
H(s)
R(s) C(s)
+
−

Hình 7.1
. Hệ thống điều khiển phản hồi

Đặt F(s) = G(s)H(s), phương trình (7.1) trở thành:
1 + F(s) = 0 hay F(s) = −1 (7.2)
Vì s là biến phức, hàm F(s) co thể biểu diễn dưới dạng:
F(s) = r(s)cos


θ
(s) = (2k + 1)π (7.7)
với k là một số nguyên. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ∠F(s) =
θ
(s).
Để minh họa cho khái niệm quỹ tích nghiệm, trước hết chúng ta xem xét một
hệ thống phản hồi có G(s) = 1/[s(s + a)] và H(s) = K, ở đó K là một giá trị có thể
thay đổi trong khoảng từ 0 đến +∞. Trong trường hợp này, F(s) là biểu thức sau:

)(
)(
ass
K
sF
+
=
(7.8)
Để thỏa mãn điều kiện (7.6), chúng ta cần phải có:

1
)(
=
+ ass
K
(7.9)
hay:
| s || s + a | = K (7.10)
Tiếp theo, chúng ta cần xem xét tới góc cực của hàm F(s). Để làm điều này,
90

σ

i
ω

K = 0
K = 0
−
a/2
K = a
2
/4
s
1

∠(s
1
+a)
∠
s
1

Hình 7.2. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi từ 0 đến +
∞ Để thể hiện rõ hơn khả năng của phương pháp quỹ tích nghiệm, chúng ta sẽ
sử dụng lại ví dụ ở trên, nhưng với trường hợp K cố định, còn a thay đổi. Phương
trình đặc trưng của hệ thống là:
91


1
||
||
2
=
+ Ks
sa
(7.19)
và
∠F(s) = ∠s − ∠(s +
Ki ) − ∠(s − Ki ) = ±π (7.20)
Điều kiện (7.20) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng
nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường tròn có tâm là gốc của
mặt phẳng s và có bán kính là
K . Khi a = 0, hai nghiệm của phương trình đặc
trưng là
Ki±
. Phương trình có nghiệm thực khi
Ka 2≥
. Khi
Ka 2=
, hai
nghiệm thực của phương trình đều là
K− . Quỹ tích các nghiệm của phương
trình đặc trưng khi a thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.3. Các mũi tên trong
hình vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi a tăng
từ 0 đến +
∞.
7.3. Phương pháp quỹ tích nghiệm

)(
)(
(7.21)
92
Khi đó, chúng ta có thể viết lại phương trình đặc trưng của hệ thống dưới dạng
như sau:

0)()(
11
=−+−
∏∏
==
M
i
i
N
j
j
zsKps (7.22)

0
Ki+

σ

i
ω

a = 0
Hình 7.3. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi a thay đổi từ 0 đến +

ng quỹ tích sẽ kết
thúc tại các điểm không ở vô cùng dọc theo các đường tiệm cận (asymptote). Tất
cả các đường tiệm cận này đều xuất phát từ một điểm trên trục thực có tọa độ
σ
a

được xác định như sau:
93

MN
zp
M
i
i
N
j
j
a
−
−
=
∑∑
== 11
σ
(7.23)
Góc của các đường tiệm cận này được tính như sau:

)1( 2, , 1, 0, ,
)12(
−−=

kiện Routh-Hurwitz để tìm giá trị của K ở đó hệ thống bắt đầu chuyển từ trạng
thái ổn định sang bất ổn định và xác định các nghiệm của phương trình đặc trưng
nằm trên trục ảo ứng với giá trị K đó. Ngoài ra, sẽ rất hữu ích cho việc phác họa
quỹ tích nghiệm nếu chúng ta xác định được góc của đường quỹ tích tại điểm bắt
đầu và điểm kết thúc. Các góc này có thể tính được bằng cách sử dụng điều kiện
(7.7).
Tóm lại, các bước được sử dụng để ước lượng quỹ tích của các nghiệm của
phương trình đặc trưng của hệ thống bao gồ
m:
1.
Biến đổi phương trình đặc trưng về dạng 1 + KP(s) = 0, ở đó K là tham số
có giá trị thay đổi.
2.
Xác định vị trí các điểm cực và điểm không của P(s) trong mặt phẳng s.
3.
Xác định các đoạn của các đường quỹ tích nghiệm nằm trên trục thực.
4. Xác định số đường quỹ tích.
5.
Xác định điểm gốc của các đường tiệm cận và góc của các đường tiệm
cận.
6. Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực nếu có.
7.
Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz để xác định giao điểm của quỹ tích và
trục ảo nếu có.
8.
Xác định góc của các đường quỹ tích tại các điểm khởi đầu và kết thúc.
 Ví dụ 7.1
Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
94
0

a
σ
(7.26)
Góc của ba đường tiệm cận lần lượt là:

3
π5
14
π5
π
14
π3
3
π
14
π
3
2
1
=
−
=
=
−
=
=
−
=
a
a

+ 62s
2
+ 64s + 32 = 0 (7.30)
Phương trình (7.30) có bốn nghiệm, nhưng chỉ có hai nghiệm thực là s =
−2,6 và
s =
−4. Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy được ngay là khi s = −4 thì K = 0, phương
trình đặc trưng bị triệt tiêu thành một đẳng thức, nên điểm s =
−4 không thể là
điểm thoát của quỹ tích. Vì vậy, điểm thoát của quỹ tích trên trục thực là điểm có
giá trị s =
−2,6. Còn để xác định các điểm giao của quỹ tích với trục ảo, chúng ta
sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz và tính ra được quỹ tích cắt trục ảo tại hai điểm
có các giá trị là s =
±i4,86. Từ các giá trị tính được, chúng ta có thể phác họa
được quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi (Hình
7.5).
7.4. Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm
Phương pháp quỹ tích nghiệm vốn được phát triển với mục đích xác định quỹ
tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống phản hồi khi hệ số
phản hồi K thay đổi từ 0 đến +
∞. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, ảnh hưởng
95
của các tham số khác của hệ thống cũng có thể được nghiên cứu bằng cách sử
dụng phương pháp quỹ tích nghiệm. Câu hỏi được đặt ra là: bằng cách nào chúng
ta có thể nghiên cứu hoạt động của hệ thống khi có nhiều tham số thay đổi chứ
không phải chỉ có một. Mặc dù phương pháp quỹ tích nghiệm là phương pháp
một tham số, nó có thể được mở rộng để áp dụng cho trường hợp có h
ơn một
tham số thay đổi. Đây là phương pháp thiết kế tham số (parameter design), sử

β

của một hệ thống phản hồi. Để làm điều đó, chúng ta cần thực hiện phương pháp
quỹ tích nghiệm hai lượt. Trong lượt đầu tiên, đặt
β
= 0 và vẽ quỹ tích nghiệm
của phương trình đặc trưng với
α
thay đổi. Sau khi đã đánh giá được tác động
của
α
, chọn một giá trị thích hợp cho
α
và thực hiện phương pháp quỹ tích
nghiệm một lần nữa với
β
thay đổi để chọn được giá trị phù hợp cho
β
. Tương tự
như thế, chúng ta có thể mở rộng phương pháp quỹ tích nghiệm để áp dụng trong
các trường hợp hệ thống có nhiều hơn hai tham số thay đổi.
7.5. Độ nhạy và quỹ tích nghiệm
Như chúng ta đã tìm hiểu trong Chương IV, tác động của sự biến thiên của các
tham số tới đáp ứng của hệ thống có thể mô tả được bằng số đo độ nhạy
(sensitivity) của hệ thống đối với sự thay đổi của một tham số:

KK
TT
K
T

∂
=
∂
∂
=
ln
(7.32)
ở đó p
j
là nghiệm thứ j của phương trình đặc trưng của T(s):

∏
∏
=
=
−
−
=
N
j
j
M
i
i
ps
zsA
sT
1
1
)(

j
M
i
i
i
T
K
psK
p
zsK
z
K
A
K
T
S
11
1
ln
1
lnln
ln
ln
ln
(7.34)
Do hai tham số A và K độc lập với nhau và giả thiết là các điểm không của T(s)
độc lập với tham số K, nghĩa là:

0
1

−
⋅
∂
∂
−=
N
j
j
p
K
N
j
j
j
T
K
ps
S
psK
p
S
j
11
1
ln
(7.36)
Độ nhạy của nghiệm
j
p
K