CHƯƠNG 6

192

kiện biên độ. Do đó ta phải chọn K
C
bằng công thức:
C
s s
G s G s
*
( ) ( )
=
=
1
1

g

Ví dụ 6.4.
Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp
QĐNS.
Cho hệ thống điều khiển
như hình vẽ. Hãy thiết kế
khâu hiệu chỉnh G
C
(s) để đáp
ứng quá độ của hệ thống sau
khi hiệu chỉnh thỏa: POT < 20%; t
qđ
< 0,5 sec

 
= − <
 
− ξ
 
2
0 2
1
⇒
ln , ,
ξπ
− < = −
− ξ
2
0 2 1 6
1

⇒ ,
ξ > − ξ
2
1 95 1 ⇒ ,
ξ >
2
4 8 1
⇒
,
ξ >
0 45

Chọn ,


Vậy cặp cực quyết đònh là:

n n
s j j
*
,
, ,= −ξω ± ω − ξ = − × ± −
2 2
1 2
1 0 707 15 15 1 0 707

⇒ s j
*
,
, ,
= − ±
1 2
10 5 10 5

Bước 2:

Xác đònh góc pha cần bù
Cách 1. Dùng công thức đại số
{
}
j j
*
arg[( , , ) ] arg[( , , ) ( )]
Φ = − ° + − + − + − + − −

,
Φ = °
72 6

Cách 2. Dùng công thức hình học

*
( )
Φ = − ° + β + β
1 2
180

( , ) ,
= − ° + ° + ° = °
180 135 117 6 72 6

Bước 3:
Xác đònh cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng
phương pháp đường phân giác.
- Vẽ PA là phân giác của góc
OPx
ˆ
.
- Vẽ PB và PC sao cho
APB
*
ˆ
Φ
=
2

,
sin
sin
,
ˆ
,
sin
sin
 
Φ
° °
 
+
 
+
   
   
= = =
° °
   
Φ
−
−
 
 
 
 
 
135 72 6
2 2

   
   
= = =
° °
   
Φ
+
+
 
 
 
 
 
135 72 6
2 2
2 2
15 8 0
135 72 6
2 2
2 2

⇒
C C
s
G s K
s
( )
+
=
+

.
( )
=− +
+
=
+ +
10 5 10 5
8 50
1
28 5

⇒
C
j
K
j j j
, ,
.
, , ( , , )( , , )
− + +
=
− + + − + − + +
10 5 10 5 8 50
1
10 5 10 5 28 10 5 10 5 10 5 10 5 5

⇒
C
K
,


Nhận xét
Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh không
qua điểm
s
*
(H.6.17a) do đó hệ thống sẽ không bao giờ đạt được
chất lượng đáp ứng quá độ như yêu cầu dù có thay đổi hệ số
khuếch đại của hệ thống.

Hình 6.17
Sự thay đổi dạng QĐNS khi hiệu chỉnh sớm pha
a) QĐNS trước khi hiệu chỉnh; b) QĐNS sau khi hiệu chỉnh
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 195

Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo
nghiệm số của hệ thống bò sửa dạng và qua điểm
s
*
(H.6.17b).
Bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (như đã thực hiện ở
bước 4) hệ thống sẽ có cặp cực quyết đònh như mong muốn, do đó
đáp ứng quá độ đạt yêu cầu thiết kế (H.6.18).

Hình 6.18
Đáp ứng nấc của hệ thống ở ví dụ 6.4
trước và sau khi hiệu chỉnh

pha sao cho dạng QĐNS thay đổi không đáng kể. Đây là nguyên
tắc cần tuân theo khi thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha. Trình tự
thiết kế dưới đây cụ thể hóa nguyên tắc trên:
CHƯƠNG 6

196

Trình tự thiết kế
Khâu hiệu chỉnh:
Trễ pha
Phương pháp thiết kế:
QĐNS

Bước 1:
Xác đònh β

từ yêu cầu về sai số xác lập.
Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc
V
K
*
thì tính β

bằng công thức:
V
V
K
K
*
β =

T T
.
= β
β
1 1

Bước 4:
Tính K
C
bằng cách áp dụng công thức:
C
s s
G s G s
*
,
( ) ( )
=
=
1 2
1

trong đó
s
*
,
1 2
là cặp cực quyết đònh của hệ thống sau khi hiệu
chỉnh. Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến
đáp ứng quá độ nên có thể tính gần đúng:
s s

(
)
C V
C
s s
K K
s T
K sG s
s T
/
lim lim ( )
/
→ →
⋅
+ β
 
= =
 
+ β
 
0 0
1
1

⇒
C V
V
K K
K
*

Gọi
s
1,2
là cặp cực quyết đònh của hệ thống trước khi
hiệu chỉnh:

s s
G s
,
( )
=
+ =
1 2
1 0

⇔

s s
s s
G s
G s
,
,
( )
( )
=
=

=


s s
C
s s
G s G s
G s G s
*
,
*
,
( ) ( )
( ) ( )
=
=

=


∠ = − °


1 2
1 2
1
180

Xét điều kiện về pha. Để hệ thống có chất lượng quá độ gần
như không thay đổi thì
s s
*
, ,

G s G s
* *
, ,
( ) ( )
= =
∠ = − ° − ∠
1 2 1 2
180

s s
G s
,
( ) ( )
=
≈ − ° − ∠ = − ° − − °
1 2
180 180 180

⇒
C
s s
G s
*
,
( )
=
∠ ≈ °
1 2
0
(6.29)

<<
β
1 2
1

Bước 3: Suy ra:
T T
= β
β
1 1

Để ý rằng bằng cách chọn như trên 1/T cũng nằm rất gần
gốc tọa độ do β < 1.
Bước 4: Ở bước 2 và 3 ta mới chọn cực và zero của khâu hiệu
chỉnh trễ pha để thỏa mãn điều kiện về pha. Để thỏa mãn điều
kiện biên độ ta chọn K
C
bằng công thức:
C
s s
G s G s
*
,
( ) ( )
=
=
1 2
1

Có thể dễ dàng kiểm chứng được rằng do cách chọn zero và

K sG s s
s s s
lim ( ) lim ,
( )( )
→ →
= = =
+ +
0 0
10
0 83
3 4

Sai số xác lập của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dốc là:

xl
V
e
K
,
,
= = =
1 1
1 2
0 83

Vì yêu cầu thiết kế làm giảm sai số xác lập nên sử dụng
khâu hiệu chỉnh trễ pha:
C C
s T
G s K

50
0 02

Do đó:
V
V
K
K
*
,
,β = = =
0 83
0 017
50

Bước 2:

Chọn zero của khâu hiệu chỉnh
Các cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là nghiệm của
phương trình:
G s
( )
+ =
1 0
⇔
s s s( )( )
+ =
+ +
10
1 0

1
sao cho:
{ }
s
T
Re
<< =
β
1
1
1
⇒
T
,
=
β
1
0 1

Bước 3:
Tính cực của khâu hiệu chỉnh

T T
( , )( , )
= β =
β
1 1
0 017 0 1
⇒
T


⇒
C
s s
s
K
s s s s
*
,
.
, ( )( )
=
+
=
+ + +
0 1 10
1
0 0017 3 4

Để đáp ứng quá độ không thay đổi đáng kể thì:
s s j
*
, ,
= = − ±
1 2 1 2
1
Thế vào công thức trên ta được:

C
j

,
+
=
+
0 1
0 0017

g

Hình 6.19 cho thấy QĐNS của hệ thống trước và sau khi hiệu
chỉnh trễ pha gần như trùng nhau. Do vò trí cặp cực phức quyết
đònh gần trùng nhau nên đáp ứng quá độ của hệ thống trước và
sau khi hiệu chỉnh gần như nhau (H.6.20). Hình 6.20 cũng cho
thấy sai số xác lập của hệ thống sau khi hiệu chỉnh nhỏ hơn rất
nhiều so với trước khi hiệu chỉnh. Như vậy khâu hiệu chỉnh trễ
pha vừa thiết kế ở trên thỏa mãn yêu cầu đặt ra.

Hình 6.19
QĐNS của hệ thống ở ví dụ 6.5
a) Trước khi hiệu chỉnh; b) Sau khi hiệu chỉnh Hình 6.20
Đáp ứng của hệ thống ở ví dụ 6.5 đối với tín hiệu vào là
hàm dốc trước và sau khi hiệu chỉnh
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 201



Phương pháp thiết kế:
QĐNS

Bước 1:
Thiết kế khâu sớm pha
C
G s
( )
1
để thỏa mãn yêu cầu
về đáp ứng quá độ (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh
sớm pha ở mục 6.3.1).
Bước 2:
Đặt
C
G s G s G s
( ) ( ). ( )
=
1 1
.
Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha
C
G s
( )
2
mắc nối tiếp vào
G s
( )
1

n
ω =
2
(rad/sec);
V
K
=
8
.
Vì yêu cầu thiết kế bộ hiệu chỉnh để cải thiện đáp ứng quá độ và
sai số xác lập nên G
C
(s)

là khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha.
C C C
G s G s G s
( ) ( ) ( )
=
1 2

CHƯƠNG 6

202

Bước 1:
Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha
C
G s
( )

= − ± −
2
0 5 5 5 1 0 5

⇒ s j
*
,
, ,
= − ±
1 2
2 5 4 33Hình 6.21
Góc pha cần bù
- Góc pha cần bù:

*
( )
Φ = − ° + β + β
1 2
180

( )
= − ° + ° + °
180 120 115

⇒
*
Φ = °

1
1

Ta có:
OB OA AB
= +OA
,
=
0 5APB
AB PA
PAB
ˆ
sin
sin
=

Dễ thấy: PA
, ,
= + =
2 2
2 4 33 4 76

APB
*

C C
s
G s K
s
,
( )
+
=
+
1 1
0 5
5

- Tính
C
K
1
:
C
s s
G s G s
*
( ) ( )
=
=
1
1

⇒
C


⇒
C
K
,
=
1
6 25

Vậy
C
s
G s
s
,
( ) ,
+
=
+
1
0 5
6 25
5

Hàm truyền hở sau khi hiệu chỉnh sớm pha là:

C
s
G s G s G s
s s s


Bước 2:
Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha
C
G s
( )
2

C C
s
T
G s K
s
T
( )
+
β
=
+
2
2 2
2
1
1

- Xác đònh β:
Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh sớm pha:
V
s s
K sG s s

s j
T
*
Re( ) Re( , , ) ,
<< = − + =
β
2
1
2 5 4 33 2 5

Chọn
T
,
=
β
2
1
0 16

- Xác đònh cực của khâu trễ pha:

T T
. .( , ) ,
= β = =
β
2 2
1 1 1
0 16 0 01
16


(
)
(
)
C
s s s s
G s G s
* *
( ) ( )
= =
=
2 1
1

⇒
C
s s
G s
*
( )
=
=
2
1

⇒
C
j
K
j

+
=
+
2
0 16
1 01
0 01

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 205

Tóm lại khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế là:

C C C
s s
G s G s G s
s s
, ,
( ) ( ) ( ) , ,
,
+ +
 
 
= =
 
 
+ +
 

Ts
( )
+ α
=
+
1
1
(
α >
1
)
Chúng ta cần chọn giá trò K
C
, α và T để đáp ứng của hệ
thống thỏa mãn yêu cầu về độ dự trữ biên, độ dự trữ pha và sai
số xác lập.
Nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ
Bode là chọn hệ số khuếch đại K
C
để hệ thống thỏa mãn yêu cầu
về sai số xác lập, sau đó chọn vò trí cực và zero của khâu sớm pha
để thêm pha dương vào hệ thống xung quanh tần số cắt, nhờ đó
tăng độ dự trữ pha, băng thông của hệ thống sau khi hiệu chỉnh
sớm pha được mở rộng. Tuy nhiên nếu góc pha cần bù quá lớn
(hơn 70
o
) thì không thể dùng khâu hiệu chỉnh sớm pha. Các bước
thiết kế dưới đây cụ thể hóa nguyên tắc trên.
Trình tự thiết kế
Khâu hiệu chỉnh:

L
( )
ω =
1
0
hoặc
C
G j
( )
ω =
1
1

CHƯƠNG 6

206

Bước 4:
Xác đònh độ dự trữ pha của
G s
( )
1
(độ dự trữ pha của
hệ trước khi hiệu chỉnh):
C
M
( )
Φ = + ϕ ω
1
180
Bước 7:
Xác đònh tần số cắt mới
C
′
ω
(tần số cắt của hệ sau
khi hiệu chỉnh) từ điều kiện:
C
L
( ) lg
′
ω = − α
1
10
hoặc
C
G j
( ) /
′
ω = α
1
1
Bước 8:
Tính hằng số thời gian T từ điều kiện:

C
T =
′

K
*
;
=
20
M
*
;
Φ ≥ °
50

GM dB
*
≥ 10 . Giải.
Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:
C C
Ts
G s K
Ts
( )
+ α
=
+
1
1
(
α >


⇒
V
C
K
K
*
= =
20
2 2
⇒
C
K
=
10

Bước 2

Đặt:
C
G s K G s
s s
( ) ( ) .
( )
= =
+
1
4
10
2

( )
ω =
1
1

⇔
C C
j j
( )
=
ω ω +
40
1
2
⇔
C C
=
ω ω +
2
40
1
4

⇔
C C
ω + ω − =
4 2
4 1600 0

⇔

ω ω +
 
 
 
40
180 180 90
2 2

⇒
M
,
arctan
 
 
Φ = ° − ° + = ° − ° − °
 
 
 
 
6 17
180 90 180 90 72
2

⇒
M
Φ = °
18

Bước 5:
Góc pha cần bù

1 37
1 1 37
⇒
4
α =

Bước 7:
Tính tần số cắt mới

C
G j
( )
′
ω =
α
1
1

⇔
C C
j j
( )
=
′ ′
ω ω +
40 1
2
4
⇔
C C

Tính T

C
T
( , )( )
= =
′
ω α
1 1
8 83 4

⇒
T
,
=
0 057

⇒
T
, ,
α = × =
4 0 057 0 228

Vậy:
C
s
G s
s
,
( )

1
1
(
α <
1
)
Bài toán đặt ra là chọn giá trò K
C
, α và T để đáp ứng của hệ
thống thỏa mãn yêu cầu về độ dự trữ biên, độ dự trữ pha và sai
số xác lập.
Nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha dùng biểu đồ
Bode là chọn hệ số khuếch đại K
C
để hệ thống thỏa mãn yêu cầu
về sai số xác lập, sau đó chọn vò trí cực và zero của khâu trễ pha
để làm giảm biên độ ở miền tần số cao, băng thông của hệ thống
sau khi hiệu chỉnh trễ pha bò thu hẹp, nhờ đó mà đạt yêu cầu về
độ dự trữ pha và độ dự trữ biên. Các bước thiết kế dưới đây cụ
thể hóa nguyên tắc trên.
Trình tự thiết kế
Khâu hiệu chỉnh:
Trễ pha
Phương pháp thiết kế:
Biểu đồ Bode

Bước 1:
Xác đònh K
C
để thỏa mãn yêu cầu thiết kế về sai số