Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Tuyển tập 100 bài tập hình học không gian tổng hợp.
Bài 1.Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau,có giao tuyến là đường thẳng Trên lấy hai điểm A,B
với AB=a.Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc
với và .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo
a.
Bài 2. Cho hình chóp ta giác S.ABC có đáy ABC à tam giác đều cạnh a,SA=2a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.Tính thể
tích khối chóp A.BCNM.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;I là giao điểm của BM à AC. Chứng minh rằng
mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 4. Cho hình trụ các đấy là hai hình tròn tâm O và O',bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường
tròn đáy tâm O lấy điểm A,trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a.Tính thể tích của khối tứ
diện OO'AB.
Bài 5. Cho hai nửa đường thẳng Ax,By chéo nhau và vuông góc nhau.Có AB là đường vuông góc
chung,AB=a.Ta lấy các điểm M trên Ax,N trên By với Am=x,BN=y.
1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo ,x,y.
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng có đấy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và
N là trung điểm cạnh CC'.Chứng minh rằng bốn điểm B',M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng.Hãy tính độ dài
cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các hình chóp đỉnh G với đáy là các mặt của tứ diện ABCD có
thể tích bằng nhau.
Bài 9. Cho tứ diện .Với điều kiện nào đối với đường thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối là đường
vuông góc chung của chúng.
Bài 10. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai cạnh bên và mặt đáy bằng
α
.Tính tang của
góc giữa hai mặt phẳng và theo.TÍnh thể tích khối chóp theo a và

Bài 21. Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy bằng a.Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN ,biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với
mặt phẳng (SBC).
Bài 22. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α
. Tính thể tích
hình chóp đã cho .
Bài 24. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các
cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng
(SBC).
Bài 25. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy a và cạnh bên bằng m. Tính thể tích hình chóp theo a
và m .
Bài 26. Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD.
b. Tính IK theo a, m và n.
Bài 27. Cho đường tròn đường kính nằm trong mặt phẳng và . Gọi là điểm thuộc đường tròn khác và .
Chứng minh rằng mặt phẳng nếu vuông góc với một trong ba cạnh bên cũng sẽ cắt hình chóp theo một thiết
diện là một tam giác vuông .
Bài 28. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên . Gọi D, E lần lượt là
trung điểm của AB và A'B'.
1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB')
Bài 29. Cho tứ diện OABC có góc
0
180AOB BOC∠ +∠ =
. Gọi OD là phân giác trong của góc
∠

OC = c.
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn
lại của tứ diện .
Bài 37. Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x,y.
2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Bài 38. Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt bằng 7.
Tính thể tích khối lăng trụ .
Bài 39. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng đáy
hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung
AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 40. Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm
M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua
B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích
tam giác BHK biết rằng AC = a, BC =
3a
, SB =
2a
.
Bài 42. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bài 43. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.

3
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Bài 49. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với
mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bài 50. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = . Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SAC).
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam
giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC.
c) Gọi M là 1 điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a.
Bài 52. Chứng minh rằng :
Tổng cos của các nhị diện tạo bởi 4 mặt của tứ diện luôn luôn bé thua hoặc bằng 2
Bài 53. Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để :
P= , đạt min
Bài 54. Cho tứ diện SABC. Đáy ABC có trọng tâm G. Hãy phân tích vector theo 3 vector theo 3 vector :

Bài 55.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;4;5) ; B(0;3;1) ; C(2;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình :
3x-3y-2z-15=0 .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P)
có tổng bình phương khoảng cách đến các điểm A;B;C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của
điểm G trên mặt phẳng (P) . Xác định toạ độ điểm M đó.
Bài 56. Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , . Tính cosin
của góc giữa 2 mặt phẳng và .
Bài 57. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ bốn điểm đó?
Chọn một đáp án dưới đây A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

lần lượt là trung điểm và .
a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng P qua MN và vuông góc với mặt phẳng . Thiết diện là hình
gì.
b) Tính diện tích thiết diện.
Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB.
a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
b) Tính khoảng cách từ S đến CM.
Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD là nửa
lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính AD = 2a .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 67. Cho tứ diện đều ABCD cạnh là a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa AC và BM.
Bài 68. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O . Gọi M;N lần lượt là trung điểm SA
và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 69. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm
O;A(2;0;0),B(2;1;0) và .Gọi M là trung điểm SA.mặt phẳng (CBM) cắt SB tại N.Thế tích khối tứ diện SCMN
bằng:

Bài 70. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và
D;AB=AD=a;CD=2a.Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD);SD=a.Chọn đáp án đúng:
A. Diện tích tam giác SBC là
B. Tam giác SBC là tam giác vuông
C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) là
D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) là
Bài 71. Cho tứ diện MNPQ. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN; MP; MQ. Tỉ số thể tích

Bài 79. Cho tứ diện ABCD có .
a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông .
b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Bài 80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC =
2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .
Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a
Bài 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo
AC và BD là , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 81. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện
Bài 82. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc . Gọi M là trung
điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông .
Bài 82. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(7; 4; 3) , B(1; 1; 1) , C(2; - 1; 2) , D(- 1; 3; 1).
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
2. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD).
3. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB qua mặt phẳng (BCD)
Bài 83. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể
tích hình chóp đã cho.
Bài 84. Tính thể tích của khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng và thiết
diện qua trục là một tam giác đều.
Bài 85. Cho hình chóp S.ABCD có , tam giác ABC vuông tại B, SA = SB = a, BC = 2a. Gọi M và N lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a.
A. B.
C. D.
A. 10 B. 95
C. 120 D. 85
6
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Bài 86. Cho hình chóp S.ABC có .Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với
đáy góc . Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng

1. Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c .
2. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có :
không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
Bài 96. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B
nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.
Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình
trụ đó.
Bài 97. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, . Xét mặt phẳng
(P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'.
1. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P) .
2. Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa
diện đó gấp đôi diện tích của khối đa diện kia.
Bài 98. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng . Điểm M, N là
trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình chiếu nội tiếp hình
chóp đó.
Bài 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng .
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
7
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với
mặt phẳng ( MEF).
3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 100. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Kí
hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là
giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
1. Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng ( OMN).
2. Tính diện tích của tứ giác O.MIN theo a.
8