Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC 12 -Chương II Email:
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa mặt cầu
- Trong không gian cho điểm I cố định và số thực duong R không đổi. Mặt cầu (S) tâm I, bán kinh R
là tập hợp những điểm M sao cho IM = R.
- Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho
·
0
AMB 90=
là mặt cầu
đường kính AB
2. Vị ttí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(I,R) và mp(P). Gọi IH = d = d(I,(P))
a) d > R : (S) và (P) không có điểm chung
b) d = R : (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H, H là tiếp điểm, (P) là tiếp diện
c) d < R : (P) có chung với (S) một đường tròn (C) tâm H, bán kính
2 2
r R d= −
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(I,R) và đường thẳng
∆
. Gọi H là hình chiếu của I lên
∆
, d = IH = d(I,
∆
)
a) d > R :
∆
và (S) không có điểm chung

(P) vuông góc với SC tại I, (P) cắt SB, SD tại M, N. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, M, I, N cùng nằm
trên một mặt cầu.
3. Xác định tâm, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp:
a) Hình tứ diện đều cạnh a
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO = 2a, SO vuông góc với (ABCD)
c) Tứ diện S.ABC, ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a, SA = 2a, SA vuông góc với (ABC)
d) Hính chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với (ABCD)
4. Cho tứ diện S.ABC, đáy là tam giác cân ABC có cạnh đáy BC = 2a,
·
BAC
α
=
, cạnh bên SA hợp với đáy
một góc
β
sao cho hình chiếu của lên mặt đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác
định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a,
SA = a và SA vuông góc với (ABCD) Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện SECD.
6. Cho tứ diện ABCD có
AB AC 2,DB DC 3,DA 5= = = = =
. Hãy tìm tâm và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD.
7. Cho tam giác ABC cân ớ A, góc A = 30
0
, BC = 4. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 chứa đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
8. Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Gọi A là một điểm tùy ý trên mặt cầu. mp(P) qua A và hợp với OA một
góc 60

(ABC) và 2 mặt (SAB) và (SCD) cùng hợp với (ABC) các góc bằng
α
mà
tan 2
α
=
. Kẻ SO vuông
góc với (ABC).
a) Chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
b) Mặt cầu đó cắt các mặt (SAB) và (SCB) theo các đường tròn (C
1
) và (C
2
). Chứng minh (C
1
) và (C
2
)
bằng nhau. Tính tổng diện tích hai 2 đường tròn đó.
12.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a,
SA = a và SA vuông góc với (ABCD) Gọi E là trung điểm của AD.
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCE
b) Chứng minh rằng không có mặt cầu nào ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SACD.
13.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy là hình vuông tâm O cạnh a, mặt bên hợp với đáy một góc
α
.
Gọi I
1
, I

I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Mặt tròn xoay
a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng
∆
và đường cong (C ). Khi quay (P) quanh
∆
, các
điểm của (C ) tại thành một mặt cong, gọi là mặt tròn xoay nhận
∆
làm trục và (C ) là đường sinh
b) Tính chất:
- Trục
∆
là trục đối xứng của mặt tròn xoay
- Mỗi điểm M trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt tròn xoay và tâm thuộc trục
∆
- Nếu cắt mặt tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục, ta được giao tuyến là một đường tròn, có
tâm thuộc trục
2. Mặt trụ, hình trụ, khối trụ
a) Định nghĩa mặt trụ: Trong mp(P) cho 2 đường thẳng d và
∆
song song với nhau. Khi quay (P) quanh
∆
, đường thẳng d sinh ra mặt tròn xoay, gọi là mặt trụ nhận d là đường sinh,
∆
là trục.
b) Tính chất
- Nếu cắt mặt trụ bởi mp (Q) vuông góc với trục ta được giao tuyến là một đường tròn
- Nếu cắt mặt trụ bởi mp (Q) không vuông góc, không song song với trục thì ta được giao tuyến là một
elip

2
π
α α
 
< <
 ÷
 
. Khi
quay (P) quanh
∆
, đường thẳng d sinh ra mặt tròn xoay, gọi là mặt nón tròn xoay, đỉnh S, góc ở đỉnh 2
α
, nhận d là đường sinh,
∆
là trục.
b) Tính chất
- Cắt mặt nón đỉnh S bởi mp (P) khong qua S:
+ Nếu (P) vuông góc với trục: giao tuyến là đường tròn
+ Nếu (P) cắt mọi đường sinh của mặt nòn thì giao tuyến là elip
+ Nếu (P) song song với chỉ một đường sinh của mặt nòn thì giao tuyến là parabol
+ Nếu (P) song song với 2 đường sinh của mặt nòn thì gioa tuyến là 2 nhánh của một hypebol
- Cắt mặt nón bởi một mp (P) qua S
+ (P) chỉ có một điểm chung (S) với mặt nón
+ (P) có chung với mặt nón một đường sinh duy nhất; ta nói (P) tiếp xúc với mặt nón, (P) là tiếp diện
+ (P) cắt mặt nó ntheo 2 đường sinh.
c) Hình nón, khối nón
d) Diện tích xung quanh của hình nón:
S Rl
π
=

∆
là đường thẳng thay đổi trong không
gian sao cho
∆
luôn cất và vuông góc với d tại B. Kẻ AM vuông góc với
∆
. Chứng minh điểm M luôn
thuộc một mặt trụ mà ta phải xác định.
Vấn đề 3. Thiết diện qua đỉnh của hình nón
Thiết diện qua đỉnh là một tam giác cân, cạnh bên là đường sinh, đáy là dây cung của đường tròn đáy.
Ví dụ 4. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R, đường sinh bằng đường kính đáy. Một
thiết diện qua đỉnh SAB có góc ASB = 30
0
.
a) Tính diện tích thiết diện SAB
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SAB)
Vấn đề 4. Khảo sát thiết diện song song với trục vủa hình trụ
Ví dụ 5. Cho hình trụ trục OO', có thiết diện qua trục là một hình vuông. Một thiết diện song song với trục
có diện tích bằng
2
4 2a
và khoảng cách từ trục đến thiết diện đó bằng a. Tính diện tích của thiết diện
qua trục.
Vấn đề 5. Tính diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ, hình nón, khối nón
Ví dụ 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh bên bằng a và góc giữa mặt bên và đáy = 60
0
. Gọi (S
1
) là
hình nón nội tiếp hình chóp có diện tích xung quanh S

đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một hình nón tròn xoay (N) có góc ở
đỉnh bằng 60
0
. Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (N)
4