1
v1.0
BÀI 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
2
v1.0
1. Khái niệmphương trình vi phân (ptvp), cấpcủaphương trình, nghiệmcủa
phương trình.
2. Các khái niệmnghiệmtổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích
phân riêng, bài toán Cauchy củaptvpcấp1vàcấp2.
3. Cách giảimộtsố phươngtrìnhviphâncấp1vàcấp2.
LÝ THUYẾT
3
v1.0
Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệmcủaphương trình ?
xy ' 2y

2
3
2
4
a. y 4 x
b. y x
c. y x 4
d. y Cx , C const




VÍ DỤ 1

3
2
4
a. y 4 x
b. y x
c. y x 4
d. y Cx , C const




6
v1.0
Hàm số là nghiệmcủaphương trình nào trong các phương trình
sau đây?
x
yxe


x
x
x
x
a. y ' y e

b. y ' y e
c. y' y e
d. y ' y e





Hướng dẫn: Kiểm tra xem hàm số đóthỏa mãn phương trình nào.
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)
xxx
xxxx
xxxx x
yxe y'e xe
y ' y e xe xe e
y ' y e xe xe e 2xe


 

 
   



    





8
v1.0
Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệmcủaphương trình ?
y'' y 0




VÍ DỤ 3 (tiếp theo)




10
v1.0
Phương trình là phương trình loạinào?
2
xdx siny.dy
a. Phương trình phân li biến số.
b. Phương trình thuần nhất.
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
d. Phương trình vi phân toàn phần.
VÍ DỤ 4
11
v1.0
Hướng dẫn: Xem dạng của các Phương trình vi phân cấp 1
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
12
v1.0
Phương trình là phương trình loạinào?
2
xdx siny.dy
a. Phương trình phân li biến số.
b. Phương trình thuần nhất.
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
d. Phương trình vi phân toàn phần.

xydx (1 x )(1 y )dy 0
x(1y)
dx dy
1x y

 







15
v1.0
Sử dụng phép đổi biến , phương trình trở thành
phương trình nào đối với hàm số ?
y(x) xu(x)

yy
y' tg
xx

u(x)


a. xu ' tg u
b. xu ' cotgu
c. x 2ux u' tgu
d. x 2ux u ' cotg u

c. x 2ux u' tgu
d. x 2ux u ' cotg u




VÍ DỤ 6 (tiếp theo)




Đặt y(x) = xu(x) → y’ = u +xu’
Phương trình tr
ở thành:
u + xu’ – u = tgu
↔ xu’ = tgu
Chú ý: Nhiều khi phải biến đổi một số bước, mới đưa được về phương trình
vi phân thuần nhất.
18
v1.0
Sử dụng phép đổibiến,phương trình
trở thành phương trình nào đốivớihàmsố ?
y(x) xu(x)

y
xy ' y x tg
x

u(x)



d. x 2ux u ' cotg u




yyy
xy ' y x tg y ' tg
xxx
 
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)




20
v1.0
Tìm tấtcả các nghiệmcódạng
củaphương trình
2
y Ax Bx C (A 0)

 
2
(x 1)y'' 2y 0
2
2
2
2
a. y A(x 1), A 0



Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Tính y’, y” sai hoặc rút gọn phương trình để đồng nhất
hệ số không đúng.
Việc giải hệ phương trình nên sử dụng máy tính để tránh sai sót.
22
v1.0
Nghiệmtổng quát củaphương trình là:
y'' 6y' 8y 0





2x 4x
12
2x
12
4x 2x
12
4x
12
a. y C C e e
b. y e C cos4x C sin4x
c. y C e C e
d. y e C cos2x C sin2x




d. y e C cos2x C sin2x








VÍ DỤ 9 (tiếp theo)




Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Sai công thức nghiệm.
25
v1.0
Nghiệmtổng quát củaphương trình là:
y'' 2y' 0



2x
12
x2 x2
12
2x
12
12