Bài 3: Phép tính tích phân

43
BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Mục tiêu

• Nắm được các khái niệm về tích phân bất định,
tích phân xác định, tích phân suy rộng.
• Làm được bài tập về tích phân bất định, tích
phân xác định.
• Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.

Thời lượng Nội dung
Bạn nên dành mỗi tuần khoảng 90
phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng
120 phút trong vòng hai tuần để
làm bài tập để nắm vững nội dung
bài học này.

• Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tích
phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy
rộng và các phương pháp tính các loại tích phân
này.
• Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ
bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài
toán kỹ thuật, kinh tế…
Hướng dẫn học
• Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định
và các loại tích phân suy rộng.

⎜⎟
−+−
⎝⎠

nên:
2
1
arctg x
1x
+
−
là một nguyên hàm của hàm số
222
12x
1x (1x)
+
+−
trên
{
}
\1.
±
R
Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là
duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm
khác của hàm số đó.
Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì:
Hàm số
F(x) C

C tương ứng cho ta một nguyên hàm.

Bài 3: Phép tính tích phân

45
3.1.1.2. Tích phân bất định
Định nghĩa:
Tích phân bất định của một hàm số f(x) là họ các nguyên hàm F(x) C+ ; với
xD
∈
;
trong đó
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và C là một hằng số bất kỳ. Tích
phân bất định của
f(x)dx được ký hiệu là: f(x)dx
∫
.
Biểu thức
f(x)dx
được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số
f
được gọi là
hàm số dưới dấu tích phân.
Vậy:
f(x)dx F(x) C=+
∫
, với F(x) là nguyên hàm của f(x).
Ví dụ 2:
cos xdx sin x C
=


[
]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx±=±
∫∫∫
.
Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể
viết chung:

[
]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β
∫∫∫

trong đó
,αβ là các hằng số không đồng thời bằng 0
Các tính chất nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định.
3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bản
Các công thức tích phân sau đây được chứng minh bằng định nghĩa:

1
x
xdx C,( 1)
1
α+
α
=+α≠−
α+
∫


dx
ln x x C
x
=
++α+
+α
∫

dx
ln x C
x
=
+
∫

cos xdx sin x C=+
∫

2
dx
tg x C
cos x
=
+
∫

xx
edx e C
=
+


[
]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β
∫∫∫
.
Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà
đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân.
Ví dụ 3:

35
223
22
4
(2x x 3x )dx 2 x dx 3 x dx x x C
5
−
=−=−+
∫∫∫4
33
1dxx
2sin x x dx 2 sin xdx x dx 2cos x ln x C
xx4
⎛⎞
+
−= + −=− +−+
⎜⎟

khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x.
Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng:
g(x)dx f(u(x))u'(x)dx=
trong đó
f(x)
là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm
F(x)
. Khi đó tích
phân cần tính trở thành:
g(x)dx f(u(x))u'(x)dx f(u(x))du F(u(x)) C===+
∫∫ ∫
(
)
a0
≠

Trong trường hợp đơn giản
u(x) ax b
=
+
thì du adx
=
, do đó nếu
f(x)dx F(x) C=+
∫
ta suy ra:
1
f (ax b)dx F(ax b) C
a
+

≠

sin x sin x sin x
e cos xdx e d(sin x) e C
=
=+
∫∫Bài 3: Phép tính tích phân

47
3
2
4
dx tg x
(1 tg x)d(tg x) tg x C
cos x 3
=
+=++
∫∫

(
)
3
2222
11
x 1 3x dx 1 3x d(1 3x ) 1 3x C
69
+=++=++

ψ .
•
Phép đổi biến thứ nhất:
Đặt
x(t)=ϕ
; trong đó
(t)ϕ
là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi
đó ta có:
[
]
I f(x)dx f (t) '(t)dt==ϕϕ
∫∫

Giả sử hàm số
[
]
g(t) f (t) '(t)=ϕ ϕ
có nguyên hàm là hàm G(t) , và t h(x)= là
hàm số ngược của hàm số x(t)
=
ϕ , ta có:

[
]
I g(t)dt G(t) C I G h(x) C==+⇒= +
∫
.
•
Phép đổi biến thứ hai:

2
x2sint,t 0,
2
π
⎛⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠
, ta tính được:
dx 4sin tcos tdt= ;
CHÚ Ý :
Khi tính tích phân bất định
bằng phương pháp đổi biến
số, sau khi tìm được nguyên
hàm theo biến số mới, phải
đổi lại thành hàm số của biến
s
ố
cũ.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
48

2
2
x2sint
tg t
2x 2(1sint)
==

2
x
e
Idx
e1
=
+
∫
.
Đặt
xx
etedxdt=⇒ = , ta có:
2
t1
Idt1dttlnt1C
t1 t1
⎛⎞
==−=−++
⎜⎟
++
⎝⎠
∫∫
.
Đổi lại biến x, ta được:
xx
2
Ieln(e1)C
=
−++
.

xx
3
1
I ln(2 4 1) C
ln 2
−−
=− + + + .
3.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử uu(x)= và vv(x)= là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân
d(uv) udv vdu uv d(uv) udv vdu=+⇒= = +
∫
∫∫
.
Suy ra : udv uv vdu=−
∫∫
.
Xét tích phân: I f (x)dx=
∫
.
Ta cần biểu diễn:

[
]
[
]
f(x)dx g(x)h(x) dx g(x) h(x)dx udv===

và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u g(x);v h(x)dx==
∫
.

x arctg kxdx; x arcsin kxdx
∫∫
, n nguyên dương, ta thường chọn:
uarctgkx= hoặc
uarcsinkx
=
;
n
dv x dx= .
Ví dụ 6:
Tính các tích phân bất định:
a)
1
I ln xdx x ln x dx x ln x x C==−=−+
∫∫
.
b)
2
2
I x sin xdx=
∫
.
Đặt
2
u x ,dv sin xdx v cos x== ⇒=−, ta được:
2
2
I x cos x 2 x cos xdx=− +
∫
.

xx
3
xe xe e
IedxeCC
x1 x1 x1
=− + =− + + = +
+++
∫
.
d)
x
4
x
xe dx
I
1e
=
+
∫
.
Đặt
x
x
x
edx
1 e t 2dt
1e
+=⇒ =
+
; ta có:

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
50
Đặt
2
22
xdx dx
uarcsinx;dv du ;v 1x
1x 1x
==⇒==−−
−−
, ta được:
22
5
I1xarcsinxdx1xarcsinxxC=− − + =− − + +
∫
.
f)
x
6
I e cos 2xdx=
∫
.
Đặt
xx
u cos2x;dv e dx v e ;du 2sin 2xdx==⇒==−; ta được:
xx
6
I e cos2x 2 e sin 2xdx=+
∫

một phân thức hữu tỷ thực sự.
Bằng phép chia đa thức, chia
P(x)
cho
Q(x)
ta luôn đưa được một hàm phân thức
hữu tỷ về dạng:

r(x)
f(x) H(x)
Q(x)
=+
Trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia.
Khi đó
r(x)
Q(x)
là một phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được
tìm bởi công thức tích phân cơ bản:

n1
n
x
xdx C
n1
+
=+
+
∫
; n nguyên dương.
Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại

x
xdx C,n 0
n1
+
=+≥
+
∫
và
dx 1
ln ax b C
ax b a
=
++
+
∫
.
Ví dụ 7:
3 32
2
ln 2x 1
4x 2x 1 1 1 2x x x
dx 2x x dx C
2x 1 2 2(2x 1) 3 2 2 4
−
⎛⎞
−+
=+−+ =+−+ +
⎜⎟
−−
⎝⎠

xpxq 2 xpxq 2 xpxq
+++
⎛⎞
=+−
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
∫∫ ∫2
2
MMpdx
ln x px q N .
22xpxq
⎛⎞
=+++−
⎜⎟
+
+
⎝⎠
∫

Tích phân còn lại ở vế phải
2
dx
J
xpxq
=
+

α
, ta có:

2
dx 1
JC
(x ) x
==−+
−α −α
∫
.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
52
• Nếu tam thức
2
xpxq++ vô nghiệm, ta viết lại:

2
2
2222
pp
xpxq x q Xa,(a0)
24
⎛⎞
⎛⎞
++=+ +− = + >
⎜⎟
⎜⎟

2x
2 x x 1 2 (x 1/2) 3/4
++
=− +
++ + +
∫∫2
552x1
2x ln(x x 1) arctg C
2
33
+
=
−+++ +
3.1.3.3. Phương pháp hệ số bất định
Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự
P(x)
Q(x)
thành tổng (hiệu)
của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước
hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc
bậc hai:
1m 1 n
aa b b
22
1m11 nn
Q(x) (x ) (x ) (x p x q ) (x p x q )=−α −α + + + + .
trong đó

Q(x)
xuất hiện các hạng tử dạng
jj
2j
Bx C
(x px q)
+
++
, trong đó
jj
B,C
là các hằng số và
1jb
≤
≤
.
Sau khi viết được phân tích của
P(x)
Q(x)
, ta tìm các hằng số
ijj
A,B,C bằng cách quy
đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của
n
x,n
∈
` ở hai vế.
Ví dụ 9:
Tính các tích phân bất định
a)

Quy đồng mẫu số ở hai vế
2
3 (A B)x (C B 2)x C=+ +−+ −
Đồng nhất hệ số của
2
x,x và hệ số tự do, ta được:
A B 0 A 1
CB20 B 1
C 1 C 1
+= =
⎧⎧
⎪⎪
−+=⇒ =−
⎨⎨
⎪⎪
−= =−
⎩⎩

Suy ra:
43 2
222
x x 2x 2x 3 1 1 2x 1
x
(x 2)(x 1) x 1 2 x 2 x 2
−+ −+
=+ − −
+− − + +
.
Vậy tích phân bằng:
22

1x1
I2x2lnx1 22arctg C
x1
2
+
=
+++− +
+
.
3.1.4. Tích phân hàm lượng giác
3.1.4.1. Phương pháp chung
Xét tích phân
R(sin x,cos x)dx
∫
, trong đó hàm dưới dấu tích phân là hàm số của
sin x,cos x . Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát
x
ttg
2
= , khi đó:
2
2222
2t 1 t 2t 2dt
sin x ;cos x ;tg x ;dx
1t 1t 1t 1t
−
====
+
+−+


ln 1 t C
1sinx cosx 1t
=
=++
++ +
∫∫
.
Thay lại biến cũ, ta được: sin x cos x 2 x
dx ln 1 sin x cos x 2ln 1 tg C
1sinxcosx 2
−+
=
−+ + + + +
++
∫
.
3.1.4.2. Tích phân dạng
mn
sin x cos xdx
∫
, trong đó m, n là các số nguyên
• Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt
tcosx
=
.
•
Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt

53 5 3
32 22
t t cos x cos x
sin x cos xdx (1 t )t ( dt) C C
53 5 3
=− −=−+= − +
∫∫
.
b)
42
2
I sin x cos xdx=
∫

Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

()
2
23
2
(1 cos 2x) 1 cos 2x 1
Idx1cos2xcos2xcos2xdx
428
−+
==−−+
∫∫2
2

+
==
.

Bài 3: Phép tính tích phân

55
Áp dụng vào tích phân
2
I , ta có:
2
1 1 cos4x 3cos 2x cos6x
I1cos2x dx
824
++
⎛⎞
=− − +
⎜⎟
⎝⎠
∫

2
1 x sin 2x sin 4x sin6x
IC
82 8 8 24
⎛⎞
⇒= − − + +
⎜⎟
⎝⎠
.


1sin(a b)x sin(a b)x
C
2ab ab
+−
⎡⎤
=++
⎢⎥
+−
⎣⎦
.
[]
1
sin ax sin bxdx cos(a b)x cos(a b)x dx
2
=−−+
∫∫1 sin(a b)x sin(a b)x
C.
2ab ab
−+
⎡⎤
=−+
⎢⎥
−+
⎣⎦

Khi tích phân R(sin x,cos x)dx

dx 1 1 1 1 cos x
ln C
sin x cos x 3cos x cos x 2 1 cos x
+
⇒=−−++
−
∫ Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
56
3.1.5. Tích phân hàm chứa căn thức
Xét tích phân có dạng
22
R(x, x )dxα±
∫
,
22
R(x, x )dx−α
∫
, trong đó R(u,v) là
các hàm số hữu tỷ.
•
Đặt x tg t=α đối với tích phân
22
R(x, x )dxα+
∫
.
•

−
−
∫
.
Đặt
2
x sin t,t , dx cos tdt, 1 x cos t
22
ππ
⎛⎞
=∈−⇒= −=
⎜⎟
⎝⎠
, và
3
2
2
2
dt
(1 x ) dx tg t C tg(arcsin x) C
cos t
−
−==+= +
∫∫
.
b)
22
dx
x1x+
∫

xác định và liên tục trên đoạn
[
]
a,b và giả sử
f(x)
không âm
trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số
yf(x)= (
[
]
xa,b∈ ); các đường thẳng xa,xb
=
= và trục Ox. Tính diện tích S của hình
thang cong AabB.
Ta chia đoạn
[
]
a,b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

01 i n
x a x x x b≡< << << ≡
Cách phân chia nói trên được gọi là một phân hoạch
π
của đoạn
[
]
a,b .
Tại mỗi điểm có hoành độ
i
x trên trục hoành ta kẻ các đường thẳng song song với

là diện tích của hình thang cong nhỏ thứ i, ta có:

iii1i ii
Sf()(x x)f()x
+
≈
ξ−=ξΔ.
Vậy diện tích S của hình thang cong AabB có thể xấp xỉ bởi công thức:

n1
ii
i0
Sf()x
−
=
≈ξΔ
∑
.
Tổng ở vế phải được gọi là tổng tích phân ứng với phân hoạch
π
và cách chọn điểm

[
]
iii1
x,x
+
ξ∈ .
Khi số điểm chia n lớn lên vô hạn và độ dài các đoạn chia
i

[
]
a,b
bởi các điểm chia

01 i n
x a x x x b
≡
<<<<<≡
Trên mỗi đoạn
[
]
ii1
x,x
+
lấy một điểm
i
ξ
bất kỳ và lập tổng tích phân
n1
ii
i0
f( ) x
−
=
σ= ξ Δ
∑
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
ii


b
a
If(x)dx=
∫

a, b tương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.
Ví dụ 14:
Xét hàm hằng
[
]
f(x) C, x 0,1=∀∈ .

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
58
Với một phân hoạch π bất kỳ của đoạn
[
]
0,1 và cách chọn điểm
[
]
iii1
x,x
+
ξ∈ , ta lập
tổng tích phân:

n1 n1
ii i

[
]
a,b là nó bị chặn trên
đoạn đó.
Định lý 2:
Một hàm số
f(x)
xác định trên đoạn
[
]
a,b khả tích trên đoạn đó nếu nó thoả mãn
một trong các điều kiện sau đây:
•
f (x) liên tục trên đoạn
[
]
a,b .
•
f(x) đơn điệu và bị chặn trên
[
]
a,b .
•
f(x) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên
[
]
a,b .

[
]
a,b và cách chọn điểm
i
ξ . Do đó khi
tính tích phân xác định của một hàm khả tích bằng định nghĩa, ta thực hiện việc chia đều
đoạn
[
]
a,b , và chọn điểm
i
ξ trùng với một trong hai đầu mút của đoạn
[
]
ii1
x,x
+
, (với
0in1≤≤ −
). Khi đó ta có

ii
i(b a) b a
xa ;x ;
nn
−
−
=+ Δ =

ii


01 i n
i
0 x x x x 1
n
≡<<<=<<≡.
Chọn điểm
ii1
i1
x
n
+
+
ξ≡ =
, ta có tổng tích phân ứng với phân hoạch nói trên và cách
chọn điểm
i
ξ là:
2
n1 n
2
33
i0 i1
1i1 1 n(n1)(2n1)
i
nnn 6n
−
==
+
++

3.2.1.4. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
Chúng ta đã biết mọi hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b đều khả tích trên đoạn đó, do đó
công thức (3.1) có thể viết lại dưới dạng :

b
a
Sf(x)dx=
∫
.
Như vậy nếu y f (x)= là hàm số liên tục và f (x) 0≥ trên đoạn
[
]
a,b
thì tích phân xác
định của hàm số
f(x)
trên đoạn
[
]
a,b là số đo diện tích của hình thang cong AabB
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
f(x) trên đoạn đó và các đường thẳng
xa,xb,y0===.
3.2.1.5. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Trong phần này ta luôn giả sử ab
<
.

aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫
.
• Tính chất tuyến tính của tích phân xác định

[]
bbb
aaa
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β
∫∫∫

trong đó ,αβ là các hằng số và f(x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn
[
]
a,b .
•
Giả sử f(x),g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn
[
]
a,b và
[
]
f(x) g(x), x a,b≤∀∈,
ta có :

bb
aa
f(x)dx g(x)dx≤
∫∫


b
a
f(x)dx f(c)(b a)
=
−
∫
.
3.2.2. Công thức đạo hàm theo cận trên
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b . Khi đó f(x) cũng khả tích trên
đoạn
[
]
a,x
với x là một điểm bất kỳ thuộc đoạn
[
]
a,b
.
Xét hàm số:
[]
x
a
(x) f(t)dt,x a,bΦ= ∈
∫
.
Hàm số

a,b . Và như vậy mọi hàm số liên tục đều có
nguyên hàm.

Bài 3: Phép tính tích phân

61
3.2.3. Công thức Newton – Leibnitz
b
b
a
a
f (x)dx F(x) F(b) F(a)==−
∫

trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f (x) .
Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên
hàm của hàm số đó.
Chứng minh:
Do hàm cận trên
(x)Φ
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
trên đoạn
[
]
a,b nên ta có
F(x) (x) C=Φ + .
Thay
xa=
ta có: F(a) (a) C C=Φ + = .

0,1 hàm số f(x) 1 x=− , trên đoạn
[
]
1, 2 hàm số f(x) x 1
=
− . Sau đó dùng công
thức Newton – Leibnitz ta tính được tích phân:
12
12
22
1
01
01
xx
I (1x)dx (x1)dx x x 1
22
⎛⎞⎛⎞
=− + − =− + − =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∫∫
.
b)
0
2
1
Ixarctg(x1)dx
−
=+
∫

.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
62
3.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định
Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết
nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất
định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến
đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng phần. Tuy nhiên khi dùng phương pháp đổi
biến, ta không cần phải đổi lại biến ban đầu mà chỉ cần tính lại cận tích phân tương
ứng. Sau đây trình bày lại hai cách đổi biến đối v
ới tích phân xác định, và công thức
tích phân từng phần.
3.2.4.1. Phương pháp tích phân từng phần
()
bb
b
a
aa
udv uv vdu=−
∫∫

trong đó
u(x),v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục.
Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa các
hàm số
xx
a ,e ,lnx, các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược.
Ví dụ 17:

1
1
3x 3 3
1
3x 3x
0
0
0
xe 1 e 1 2e 1
Iedxe
33 39 9
+
=− =−=
∫
.
3.2.4.2. Phương pháp đổi biến
Giả sử ta cần tính tích phân
b
a
f(x)dx
∫
, trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b .
•
Phép đổi biến thứ nhất:
Đặt x (t)=ϕ , trong đó:
Hàm số (t)ϕ xác định, liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[

Bài 3: Phép tính tích phân

63
(x)ϕ là hàm số đơn điệu thực sự và có đạo hàm liên tục trên
[
]
a,b
f(x)dx trở thành g(t)dt , trong đó g(t) là một hàm số liên tục trên đoạn
[
]
(a), (b)ϕϕ
Khi đó:
(b)
b
a(a)
f (x)dx g(t)dt
ϕ
ϕ
=
∫∫
.
Ví dụ 18:
a) Giả sử hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn
[
]
a,a− .
Nếu f (x) là hàm chẵn thì
aa

1
0
If(t)dt=−
∫
.
Do đó nếu
f(x) là hàm lẻ thì: f(t) f( t) 0
+
−=, và
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
.
Nếu f (x) là hàm chẵn thì: f(t) f( t) 2f(t)
+
−= , và
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫∫
.
b) Tính tích phân:
2
2x
1

∫
.
Đặt
x2sint,(0t )
2
π
=≤≤, ta có:

2
dx 2cos tdt, 4 x 2cos t=−=.
Vậy:
/2
/2 /2
22
00
0
sin 4t
K 16 sin t cos tdt 2 (1 cos 4t)dt 2 t
4
π
ππ
⎛⎞
==−=−=π
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định
Xét một biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, được gọi là
biến ngẫu nhiên. Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị

[]
b
a
Pa x b f(x)dx,(A a b B)≤≤ = ≤≤≤
∫
.
Ví dụ 19:
Gọi t là thời gian xếp hàng để mua hàng trong một cửa hàng lớn. Qua số liệu thực
nghiệm người ta ước lượng được hàm mật độ xác suất:

()
2
3
f(t) t , 0 t 5
125
=≤≤.
Xác suất để một khách hàng phải xếp hàng trong thời gian từ 2 đến 3 phút là:

3
3
23
2
2
3t t
P dt 0,152.
125 125
===
∫

3.3. Tích phân suy rộng

khi
A →+∞
được gọi là tích phân suy rộng
của hàm số
f(x) trên khoảng
[
)
a,
+
∞ và ký hiệu như sau:

A
A
aa
f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
=
∫∫

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
a
f(x)dx
+∞
∫
hội tụ. Ngược
lại, nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó
phân kỳ.

Bài 3: Phép tính tích phân

Ta có thể viết:
a
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
+∞ +∞
−∞ −∞
=+
∫∫∫

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.
Từ định nghĩa ta suy ra phương pháp tính tích phân suy rộng với cận vô hạn.
Ví dụ 20:
a) Tính tích phân
2
2
e
dx
xlnx(lnlnx)
+∞
∫

Ta có:
2
2
A
A
2
e
e
dx 1 1 1

(x 1)
+∞
−∞
+
∫
.
Trước hết ta tính
A
22
A'
dx
(x 1)+
∫
, đặt
2
22 2
dx dt
xtgt costdt
(1 x ) 1 tg t
=⇒ = =
++
.

arctg A
arctgA
A
22
A' arctgA'
arctg A'
dx 1 cos2t t sin 2t

=+ =
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
.
c)

()()
00
0
A
AA A
A
x sin xdx lim xsin xdx lim x cos x sin x lim AcosA sin A
→−∞ →−∞ →−∞
−∞
==−+=−
∫∫

giới hạn này không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ.
d)
Xét sự hội tụ của tích phân:
1
dx
I
x
+∞
α
=

=
⎩
∫

Với
1α>
:
1
A
A11
Ilim
11
−α
→+∞
−
==
−α α−
.
Với
1α< :
1
A
A1
Ilim
1
−α
→+∞
−
==+∞
−α

được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị)
của hàm số
f(x)
.
Định nghĩa:
Giới hạn của tích phân
t
a
f(x)dx
∫
khi t b
−
→ ; được gọi là tích phân suy rộng của hàm
số f (x) trên khoảng
[
)
a,b và được ký hiệu như sau:
bt
tb
aa
f(x)dx lim f(x)dx
−
→
=
∫∫
.
Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại nếu không
tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ.
Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số
f(x)

→
=
∫∫
.
Đối với tích phân có hai điểm bất thường x a, x b
=
= , ta có thể viết:
bcb
aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.
Ví dụ 21:
a)
()
0
00
22
t1 t1 t1
1t
t
dx dx
lim lim arcsin x lim arcsin t .
2
1x 1x
→− →− →−
−
π
=

−−
=
+=π
−−−
∫∫∫
.
b)
Xét sự hội tụ của tích phân
1
0
dx
I
x
α
=
∫
.
Điểm bất thường của hàm số là
x0
=
.
Với mọi
(
]
t0,1∈
, ta có:
1
1
t
1t

−
==
−α −α
.

Với
1
α
>
:
1
t0
1t
Ilim
1
+
−α
→
−
==+∞
−α
.

Với
1
α
=
:
t0
Ilim(lnt)