CHUYÊN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT TOÁN CHIA HẾT
                   
I) KIÊN THỨC CƠ BẢN
1) Đònh nghóa:
a, b ∈ Z ( b ≠ 0 ) bao giờ cũng có duy nhất cặp số q,r sao cho a = bq + r với 0 < r <b
+ a là số bò chia ; b là số chia ; q là thương số ; r là số dư ( Trong đó r = 0;1;2; b  -1 )
+ Nếu r =0 thì a =bq ta nói a chia hết cho b ( a  b) hay a là bội của b hay b là ước của
a
+ Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia còn dư
2) Một số tính chất:
1) a  a ( a ≠ 0 )
2) a  b ;b  c ⇒ a  c ( b, c ≠ 0)
3) a  b ⇒ ka  b ( b ≠ 0)
4) a  b ,a  c trong đó b,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì a  ( bc)
5) a c , b c thì ( a + b)  c ; ( a - b ) c
6) ( a.b) c trong đó a,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì b c
7) ( a - b )  c thì avà b chia cho c có cùng số dư
8) a ≡ b ( M m) ; c ≡ d (M m) ⇒ a+c ≡ b +d ( M m)
a.c ≡ b.d ( M m)
9 ) a ≡ b(Mm) ⇒ a
n
≡ b
n
(Mm)
3 ) Dấu hiệu chia hết cho 2;3;5 ;4; 9;25;11
4) Một số hằng đẳng thức đáng nhớ :
1 ) ( a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b

- b
2
= ( a -b) (a + b) ⇒ ( a
2
- b
2
)  (a - b) ; ( a
2
- b
2
)  ( a + b)
4) a
n
- b
n
= ( a -b)( a
n-1
+ a
n-2
b +a
n-3
b
2
+ ab
n-2
+ b
n-1
) ⇒ (a
n
- b

- b
2n
= ( a+b)(a
2n-1
-a
2n-2
b + a
2n-3
b
2
- +ab
2n-2
- b
2n-1
) ⇒(a
2n
- b
2n
)  (a + b)
II) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT
A) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA:
Bài 1) Chứng minh rằng :
a) S = 5 +5
2
+5
3
+ + 5
99
+5
100

8
+2
9
+2
10
) + ( ) (2
k
+2
k+1
+2
k+2
+2
k+3
+2
k+4
)
+ (2
96
+2
97
+2
98
+2
99
+2
100
) = 2(1+2+2
2
+2
3

11
+2
16
+ +2
96
)
Vậy A  31
c) B = 16
5
+(2
3
)
5
= 16
5
+ 8
5
= (2.8)
5
+ 8
5
= 8
5
( 2
5
+ 1) = 8
5
.33
Vậy B 33
d) D = ( 1+ 1995) . 1995/2 = 1995.998 ⇒ D  1995

 7 ⇒ ( b - c )  7 ,vì b,c < 7 nên b -c = 0 ⇒ b = c
Bài4 : Cho a,b ∈ Z .chứng minh rằng : ( 3a + 2b)  17 khi và chỉ khi ( 10a + b ) 17
Giải
Cách 1 : 10a +b =34a + 17b - 24a -16b = 17( 2a + b) -8( 3a + 2b)
(10a + b) 17 khi và chỉ khi ( 3a + 2b) 17
Cách 2 : Xét 2(10a + b) - ( 3a + 2b) = 17a 17
Vậy nếu (10a + b) 17 khi và chỉ khi (3a + 2b) 17
Bài 5 : Chứng minh rằng : A = 2
9
+ 2
99
chia hết cho 200
Giải
A = 2
9
+ 2
99
= 2
9
( 1 + 2
90
) = 2
9
[ 1 + (2
10
)
9
]
mà [ 1 + (2
10

39
+ 39
21
= ( 21
39
- 1) + (39
21
+ 1)
3
mà (21
39
- 1)

( 21 - 1) ⇒ 21
39
- 1

5
(39
21
+ 1)

( 39 +1) ⇒ 39
21
+ 1

5
Vậy A

5

)
n
= (121
n
- 64
n
)

( 121 - 64 ) ⇒ ( 11
2n
- 2
6n
)

57
Vậy A

285
Bài 3 ) Chứng minh rằng : ( 20
15
- 1 )

20861
* 20861 = 11.31.61
Đặt A = 20
15
- 1 = (20
15
+ 2
15


11
Cách 1* 20
3
= 8000 ≡ 2(M 31) ⇒ (20
3
)
5
≡ 2
5
(M 31)
mà 2
5
= 32 ≡ 1(M 31) ⇒ 20
15
= (20
3
)
5
≡ 1(M 31 ) ⇒ ( 20
15
- 1)

31
⇒ A

31
* A = 20
15
- 1 = (20

Vậy A

20861
Cách 2 : A = 5
15
2
30
- 1 = 5
15
2
30
-

5
15
+ 5
15
- 1 = 5
5
(32
6
- 1) + (125
5
- 1)
vì 32 - 1 = 31 ; 125 - 1 = 124

31 . Vậy A

31
4

- 20
15
)

( 81 - 20 ) ⇒ ( 81
15
- 20
15
)

61
Vậy A

20861
Bài 4 ) Cho số M = 3
40
- 1 và số N = 396880 .Chứng minh rằng M

N
N = 16.5.121.41
Giải : M = (3
4
)
10
- 1 = 81
10
- 1 = (81
5
- 1) (81
5

Vậy M

N
Bài 5) Cho số B = 27195
8
- 10887
8
+ 10152
8
Chứng minh : B

26460
Giải : 26460 = 2
2
.3
3
.5.7
2
ma(27195
8
- 10887
8
)ø

(27195 - 10887) ; mà 16308 = 4.27.121

2
2
.27 ;
 10152 = 2

2
Vậy B

( 2
2
.3
3
.5.7
2
) hay B

26460
LOẠI 2 :PHÂN TÍCH SÔ BỊ CHIA
Bài 1 ) Chứng minh rằng : ( n
5
- n )

30 với mọi n
∈
Z
Giải
Ta có 30 = 5.6
* n
5
- n = n( n
4
- 1) = n( n -1)( n + 1)( n
2
+ 1)
vì n ; n -1; n + 1; là 3 số nguyên liên tiếp nên tích n(n+1)(n-1)



5 Vậy ( n
5
- n )

30 với mọi n ∈ Z
Bài 2 ) Chứng minh rằng : Nếu n là số lẻ không chia hết cho 3 và n > 2 thì ( n
2
- 1)

24
Giải
Vì n là số lẻ lơn hơn 2 nên n = 2k + 1
n
2
- 1 =( n - 1)( n + 1) = 2k.(2k + 2)

8 với mọi k ∈ Z
Vì n không chia hết cho 3 nên n
2
= bs3 + 1 ⇒ ( n
2
- 1 )

3
Vậy ( n
2
- 1)


4
- 4n
3
- 4n
2
+ 16n chia hết cho 384
Bài 4 ) Cho a,b,c
∈
Z .Chứng minh rằng :( a
3
+ b
3
+ c
3
)

6 khi và chỉ khi (a + b + c )

6
Cách 1 : nhận xét : n
3
- n = n( n - 1)( n + 1) 6 với mọi n Z
Xét hiệu :( a
3
+ b
3
+ c
3
) - ( a + b + c) = [ ( a
3

- 2ab - bc - ac ) - 3ab( a+ b)
6
Dễ thấy 3ab( a + b) 6 vói mọi a,b  Z .
Vậy : ( a
3
+ b
3
+ c
3
)  6 khi và chỉ khi (a + b + c ) 6
Bài 5) Chứng minh rằng : 25n
4
+ 50n
3
- n
2
- 2n chia hết cho 24 ( n

N*)
Giải
Đặt A = 25n
4
+ 50n
3
- n
2
- 2n = 24n
4
+ 48n
3

4a
2
+ 3a + 5 = 3a
2
+ 3a + 3 + ( a
2
+ 2) ; vì a không chia hết cho 3a
2
= bs3 + 1
vì vậy a
2
+ 2 chia hết cho 3 .Vậy (4a
2
+ 3a + 5) 3 .
Do vậy (4a
2
+ 3a + 5 )  6 ( a Z)
Cách 2 : 4a
2
+ 3a + 5 = 3a
2
+ 3 + a
2
+3a +2 = 3 ( a
2
+ 1) + (a + 1)( a + 2)
vì a là số lẻ  a
2
+ 1 là số chẵn  3( a
2

=Bs 3 + 1
y = 3n  1  y
2
= ( 3n  1)
2
= Bs 3 + 1
Do vậy suy ra x
2
+ y
2
= Bs 3 + 2  (x
2
+ y
2
) 3 ( trái với gt )
Vậycả hai số x và y đều chia hết cho 3
7
Bài 2) Cho m , n

N thỏa mãn 24m
4
+ 1 = n
2
. Chứng minh tích m.n chia hết cho 5 .
Giải
Giả sử trong hai số m , n không có số nào chia hết cho 5 . Vậy m chỉ có các dạng
sau : m = 5k 1 ; 5k  2  m
2
= Bs 5 + 1 ; m
2

Do vậy c không chia hết cho 3  c
2
chia cho 3 có số dư là 1
( 2)
Như vậy (1) và (2) mâu thuẫn với nhau . Vậy trong hai số a và b có ít nhất một số chia
hét cho 3 .
b) Nếu a và b chẵn thì c 2 cho nên a =2k ,b = 2n , c =2q thay vào a
2
+ b
2
= c
2

ta dễ có k
2
+ n
2
= q
2
; lập luận tưong tự ta lại có k 2 hoặc n 2  a 4 hoặc b  4
Nếu a và b cùng lẻ thì a
2
+ b
2
chia cho 4 dư 2  c  2 nên c
2
4 ( vô lý )
Vậy trong hai số a và b có một số chẵn còn số kia là số lẻ
Giả sử a = 2k ; b = 2n + 1 dễ thấy c là số lẻ  c = 2q +1
Thay vào a

c
2
= Bs5 + 1 ; Bs 5 + 4
(1)

ta có a
2
+ b
2
chia cho 5 có các số dư lần lượt là 0;2;3
 c
2
chia cho 5 có số dư là 0;2;3
(2)
. Vậy (1) và (2) mâu thuẫn
Vậy trong 3 số a , b, c có một số chia hết cho 5
Bài 4) Cho n là số tự nhiên , p là số nguyên tố .
Chứng minh rằng : Nếu n
2


p khi và chỉ khi n

p
Giải
Giả sử n  p  n và p là hai số nguyên tố cùng nhau  n
2
 p ( trái với gt )
Vậy Nếu n
2

38
- 3
33
= 3
33
( 3
5
- 1) = 3
33
. 242 11  3
38
- 3
33
≡ 0(M11)
8
A ≡ 0(M 11)  A 11
Vậy A = 36
38
+ 41
33
chia hết cho 77
Bài 2) Chứng minh
a) 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7
b) 1961
1962
+1963

= (4
2
)
1111
≡ 2
1111
(M 7)
2222
5555
+ 5555
2222
≡ (-2)
1111
+ 2
1111
(M 7)
≡ 0(M 7)
Vậy 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7
b) 1961 ≡ 1(M 7)  1961
1962
≡ 1(M 7)
1963 ≡ 3(M 7)  1963
1964
≡ 3
1964
(M 7)

)
665
.2 ≡ 1
665
.2(M 7)  1965
1966
≡ 2 (M 7)
Vậy 1961
1962
+1963
1964
+ 1965
1966
+ 2 ≡ 2+ 2+ 2+1 (M 7) ≡ 0 (M 7)
 1961
1962
+1963
1964
+ 1965
1966
+ 2 chia hết cho 7
E ) PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài 1 ) Chứng minh rằng : 3
2n+2
- 8n - 9 chia hết cho 64 ( n

N)
Giải
* Với n = 0 , 3
2.0 + 2

N )
Hướng dẫn chứng minh với n = k+1
7
2(k+1) +1
- 48(k+1) - 7 = 7
2
.7
2k +1
- 48k -48 -7 = 49 ( 7
2k+1
- 48k - 7) + 8.288k +288
Vì 7
2k+1
- 48k - 7  288  đpcm
Bài 3)
Chứng minh : ( n+1)(n+2)(n+3) (n +2n-1)(n + 2n) chia hết cho 3
n
( n > 0 ,n

N)
Giải
* n = 1 thì (1 + 1)( 1 + 2) = 6  3
* Giả sử n = k thì A
k
= (k+1)(k+2)(k+3) (3k-1)(3k)  3
k
Ta chứng minh n = k+1 thì
A
k+1
= (k+2)(k+3)(k+4) (3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3)  3

tổng hoặc hiệu chia hết cho 12 .
Giải
Nếu a là số nguyên tố lớn hơn 5 , khi chia a cho 12 ta nhận được các số dư sau :1;5;7 và
11
Trong 3 số nguyên tô trên khi chi cho 12 chỉ có số dư là một trong các số trên.
- Nếu 2 trong 3 số chia cho 12 có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 12
- Nếu trong 3 số không có 2 số nào chia cho 12 có cùng số dư , do vậy số dư của 3
số đó chỉ có thể nhận được từ các bộ số sau ( 1 ; 5 ; 7 ) ; (1 ;5; 11 ) ;( 1;7 ;11) ;
( 5 ; 7; 11) . Mà trong các bộ số đó luôn có tổng hai số bằng 12
Do vậy dù có xảy ra trường hợp nào ta cũng tìm được hai số có tổng chia hết cho
12
Vậy : Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 5 , bao giờ cũng tìm dược hai số có tổng hoặc hiệu
chia hết cho 12 .
Bài 3) Chứng minh rằng : Trong 5 số tự nhiên bất kỳ , bao giờ cũng tìm được một số hoặc
một số số có tổng của chúng chia hết cho 5
Giải
Gọi 5 số tự nhiên lần lượt là a
1;
a
2
; a
3
; a
4
; a
5
* Nếu trong các số đó có một số chia hêt cho 5  Đpcm
* Nếu trong 5 số không có số nào chia hết cho 5
Lập các tổng :
S

+ a
5
S
3
= a
1
+ a
2
+a
3
Nếu trong 5 tông trên có một tổng cia hết cho 5  đpcm
Nếu trong 5 tổng trên không có tổng nào chia hết cho 5 , do vậy khi chia tổng trên cho 5
ta được 4 khả năng về số dư là 1 ;2 ;3 ;4 . Mà 5 tổng trên khác nhau và có 4 khả năng
về số dư . Do vậy chắc chắn tồn tại hai tông khi chia cho 5 có cùng số dư , vì vậy hiệu của
hai tổng đó chia hết cho 5
Với cách lập tổng như trên thì hiệu của hai tổng của đó sẽ là tổng của hai hay
nhiều số trong 5 số trên
Vậy : Trong 5 số tự nhiên bất kỳ , bao giờ cũng tìm được một số hoặc một số số có
tổng của chúng chia hết cho 5
Bài 4) Chứng minh rằng : Luôn tồn tại số tự nhiên n

N sao cho 13
n
- 1 chia hết cho 1996
Giải
Xét 1996 số sau : S
1
= 13 S
1995
= 13

m
= 13
m
; S
n
= 13
n
( m > n ; m,nN )
S
m

- S
n
= 13
m
- 13
n
= 13
n
( 13
m-n
- 1)  1996
mà 13
n
và 1996 là hai số nguyên tô cùng nhau .Do vậy ( 13
m-n
- 1)  1996
Đặt k = m - n nên ( 13
k
- 1)  1996

2
- n + 3 chia hết cho 48
Bài toán 5
Cho p > 5 là sô nguyên tố . Chứng minh rằng : p
3
+ p
2
- p - 1 chia hếùt cho 48
Bài toán 6
Chứng minh rằng : Với mọi n

Z thì
a ) 3n
4
- 14n
3
+ 21n
2
- 10n

24
b) n
5
+ 10n
4
- 5n
3
- 10n
2
+ 4n

+ mn + n
2
)

9 khi và chỉ khi m , n đồng thời chia hết cho 3
Bài toán 11
Tìm các chữ số x , y để cho số có dạng N =
30x0yo3


13
Bài toán 12
11
Chưng minh rằng với n là số tự nhiên không chia hết cho 5
thì ( 11
2n
- 2
6n
)(n
4
- 1)

285
Bài toán 13
Chứng minh rằng : a) 222
333
+ 333
222



.3
n
+ 5n - 4 )

25
d) (16
n
- 15n - 1)

225
e) n! chia hết cho 2n
2
( n > 4 )
12
f ) (
n
3
2
+ 1 )

3
n+1
Bài toán 15
Chứng minh rằng : Trong 51 số tự nhiên bất kỳ , bao giờ cũng chọn được hai số có
tổng hoặc hiệu chia hết cho 100
Bài toán 16
Chứng minh rằng : Nếu p > 3 ,p là số nguyên tố thì a
p
- a chia hết cho p vói a


, a
2
; a
3
; a
n


Q và

a
i


= 1 thỏa mãn a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
3
a
4
+ +a
n-1
a
n

T rường trung học cơ sở Trưng Vương - Thành phố BMT
NĂM HỌC : 1997 - 1998
14