CHUYÊN ĐỀ 1
TỌA ĐỘ PHẲNG
Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ
một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng
phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng.
Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:
Cho
a
=
(
, = ta có:
G
b
G
)
G
G
G
G
)
1 2
a, a
(
1 2
b, b

a
=
G
b

G
1
a
2
a
∈
R)

α
+ = ( +
a
G
β
b
G
α
1
a
β
1
b ,
α
2
a +
β
2
b )

a
. = +

BB
A
x, y
Bx, y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
A
B
JJJG
= ( – , – )
B
x
A
x
B
y
A
y
và AB =
()()
22
BA BA
x - x y - y+

. Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có:


b
⇔
1
1
a
b
=
2
2
a
b
( ,
1
b
2
b
≠
0)
A, B, C thẳng hàng ⇔
A
B
J
JJG
cùng phương
A
C
J
JJG
,
b
G
ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong
hai công thức:

G
G
sin( a, b) =
12 1
G
G
2
a b - a b
a.bG
G
tg( a, b) =
12 1
11 2
2
2
a b - a b
ab + a b

Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây:
. M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB
M

3
3
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
AB
G
AB
G
x + x + x
x =
y + y + y
y =
C
C

. I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong
ABC thì:
I
x
I
y
J
x
J
y

C
y
S =
1
2
Δ
với
Δ
=
BABA
CACA
x - x y - y
x - x y - y

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).
a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B.
b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3AM
JJJJG
BM
J
JJJG
- 4
CM
J
JJJG
=
0
G

−−⎧
⎪
⎨
−
⎪
⎩
DBA
DBA
x = 2x x = 2 0 2 = 2
y = 2y y = 2 3 + 1 = 7
−
JJJJG JJJJG
b) Ta có: 2 + 3 BM – 4
CM
AM
J
JJJG
=
0
G
= ( 0, 0 )
⇔
()()
(
)
()()()
−−−−⎧
⎪
⎨
−− −

⇔

E
EE
y = 0
x - 4 y - 2
=
0 - 2 3 + 1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

⇔ hay E(5, 0)
E
E
y = 0
x = 5
⎧
⎨
⎩
d) H là trực tâm của ABC Δ
⇔
A
H BC
BH AC
⊥
⎧
⎨

HH
HH
x2 0y
x0 y
30
239
HH
HH
xy
xy
−−=
⎧
⎨
+−=
⎩

⇔
490
0
⇔

18
7
9
7
H
H
x
y
⎧

x
yyy
y
++
++
⎧
==
⎪
⎪
⎨
++
−+ +
⎪
==
⎪
⎩
3
=
=
hay G
4
2
3
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp
Δ

−+−−=−+−
⎪
⎩
)
)
2
2
I
I
y
y
0
0
⇔
484
4615
II
II
xy
xy
−+ −=
⎧
⎨
+−=
⎩
⇔
24 12
14 7
19
14

⎝⎠
và HI
J
JJG
=
61
714
,
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

⇒
4
7
6
7
−
−
=
1
21
1
14
=
2
3

⇒ cùng phương với

1
;a
2
)
cos(
A
O
JJJG
,
A
B
JJJG
) =
26
41213.

+
+
=
1
2


JJJG
A
C
= (3, 3 ) = = ( b
1
; b
2

x
M
y
Nếu M ∈ (L) và M có tọa độ phụ thuộc tham số t:

(
)
()
xft
ygt
=⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(t
∈
R)
thì đó là phương trình tham số của đường (L).
Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng
F(x, y) = 0
Lưu ý việc giới hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài.
Ví du1:
Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quỹ tích điểm M để
(MA +
JJJJG
MB
J
JJJG

M
x
M
y
M
y
5 + 10 + 3 – 2 = 1 ⇔
M
x
M
y
10 – 2 + 7 = 0 ⇔
M
x
M
y
M( , ) có tọa độ thỏa phương trình ⇔
M
x
M
y
F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0
Vậy quỹ tích phải tìm là đường thẳng (L) có phương trình
10x – 2y + 7 = 0.

1
Ví dụ 2:
Lập phương trình quỹ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua
điểm A(1, 2).
Giải


– 2 – 4 + 5 = 0 ⇔
2
I
x
I
x
I
y
I( , ) có tọa độ thỏa phương trình ⇔
I
x
I
y
F(x, y) = x
2
– 2x – 4y + 5 = 0
Đó là phương trình của quỹ tích phải tìm (Parabol).
* * *

2

CHUYÊN ĐỀ 3
ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần
phải biết:
()
Δ
1)

. Phương trình chính tắc :
0
1
xx
a
−
=
0
2
yy
a
−
(a
1
, a
2

≠
0)
Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát :
Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
> 0)
2)
(
qua điểm M
0
(x

với x
0
=
−
C
A
. Nếu B
≠
0 ⇒
=− −
A
C
yx
BB
, có
dạng y = kx + m.
3)
(
qua hai điểm A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
) có phương trình :
)
Δ


có đoạn chắn a, b
với phương trình:

x
a
+
y
b
= 1
* Ghi chú:
Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên
viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý :
()
Δ
: Ax + By + C = 0 thì
(
)
Δ
có :
. một pháp vectơ = (A, B) n
G
G
. một vectơ chỉ phương
a
= (–B, A)
. hệ số góc k = tg( , ) =
Ox
JJJG
Δ
A

′
Δ
: Bx – Ay + C
0
= 0
Ta tìm được C
0
nếu biết thêm một điểm nằm trên
(
)
′
Δ
.
Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng
(
)
Δ
theo hệ số góc k, bài toán có
thể bò thiếu nghiệm do trường hợp
(
)
Δ
⊥

x
′
x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét
thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng
()
Δ

=a(ka,ka)
JG
(
)
Δ
với mọi số thực k khác 0.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Để xét vò trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ
Cho (d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
và (d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Đặt :

2
D =

x
I
y
D
x
D
D
y
D
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩

D = 0 và D
x
0 hoặc D
y

≠
≠
0
⇔
(d
1

A
A

≠
1
2
B
B

⇔
(d
1
) cắt (d
2
)

1
2
A
A
=
1
2
B
B

≠
1
2
C

)
≡
(d
2
)
Ghi chú
11
22
BC
BC
=
11
22
−
CB
CB
;
11
22
CA
CA
=
11
22
−
A
C
A
C


A
ABB
A
B.A B
+
++IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Để tìm khoảng cách từ điểm M(x
M
, y
M
) đến đường thẳng
()
Δ
: Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức :

3
d(M,
Δ
) =
22
MM
A
xByC
AB
+
+
+

Δ

. t < 0 nếu điểm M và
n nằm khác bên đối với
G
(
)
Δ

Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng
(d
1
) : A
1
x + B
1
y

+ C
1
= 0 và
(d
2
) : A
2
x + B
2
y

+ C

a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận
BC
J
JJG
= (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và
qua B(4, 3) nên có phương trình tham số :
(t
4
33
=+
⎧
⎨
=+
⎩
xt
yt
∈
R)
⇔
4
1
−x
=
3
3
−y
(phương trình chính tắc)
⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC.
b)
Δ ABC có đường cao AH

Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABK.
Giải
a) K là trung điểm của AC
⇔

2
2
2
2
AC
K
AC
K
xx
x
yy
y
+
⎧
=
=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=

2
AH.BK với
AH =
A(BK)
d
=
146
17
+
+

S = ⇒
1
2
.
11
17
.
22
41
+
=
11
2
( đvdt ).
Ví dụ 3
: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác
ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G
41
(;)

41
2(x ) 1(
y
)0 2x
y
30
33

2x y 3 0
⇔
+−=

⇒ = H
GA BC∩
()
+−=
⎧
⇒−
⎨
−−=
⎩
2x y 3 0
H2,1
x2y40
Ta có H là trung điểm BC ⇒
+= = −= −=
⎧⎧
⇒
⎨⎨
+= = −=−−−=

;0
2
⎞
⎟
⎝⎠
⎛
⎜
,phương trình đường thẳng AB là
x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD .Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm .
BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0
⇒ A (2a – 2, a) (a < 1)
I là trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a)
BC qua C và BC ⊥ AB
⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0
AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a)
Ta có : AB = 2AD ⇔ (1 – a)
2
= 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loại)
Vậy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2)
Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m.
Xác đònh m để tam giác GAB vuông tại G.
BÀI GIẢI: G
m
1;
3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
;

210xy
−
−=
sao cho khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB bằng 6.
BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB:
x1
y
1
34
−
−
=
−

⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ đt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t)

6
Ta có: d (C, AB) = 6 ⇔
8t 4 3t 7
6
5
++ −
=

⇔ 11t 3 30−= ⇔ ⇔
11t 3 30
11t 3 30
−=
⎡

A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2
Phương trình AC : 2x + y – 2 = 0
Vậy t đ C là nghiệm của
+
−=
⎧
⎨
+
−=
⎩
2x y 2 0
3x y 1 0
⇒ C(−1; 4)
Vì AB ⊥ CC' ⇒ phương trình AB : x – 3y + n = 0
A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1
Phương trình AB : x – 3y – 1 = 0
Vậy ⇒ B(−5; −2).⇒
x3y10
B
x2y10
−−=
⎧
⎨
−+=
⎩
A
B
⎯
→
= (−6; −2);

lần lượt tại A, B sao cho :
2
→→
=
IA IB

BÀI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2)

⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
⇒
=+−
=+−
k
k
,
k
k
A

yx
B
1
5
1
23
02
031k
IA ;
2k2k
−−
⎛⎞
=
⎜⎟
−−
⎝⎠
JJG
;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
=
k

⎩
⎪
⎨
⎧
==⇒
+
=
−
−
=⇒
+
=
−
−
⇔=
3
7
0
1
10
2
3
7
1
10
2
1
2
k,k
k

xa−
)
2
yb−
. Phương trình của (C) ở dạng khai triển :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 ( hay x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0)
với c = a
2
+ b
2
– R
2
R
2
= ⇔
22
abc
+
−

Do đó ta phải có điều kiện a
2

2
là
2
xa−
(
2
yb−
)
)
(x
0
– a) (x – a) + (y
0
– b) (y – b) = R
2

- đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 là
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0

điểm nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ

1
Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).
a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B.
c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)
Giải
a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

0
44 0
16 8 0
c
ac
bc
=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
−+=

44
++− = = + =(x ) (y ) AB ( )
5

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với
(, ) ( )
M
xy C
∈
ta có
0=AM. BM
JJJJG JJJJG
. Vậy pt đường tròn ( C ) là 0
−
−+− −=
AB AB
(x x )(x x ) (y y )(y y ) .
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :
. Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔
x + 2y + 2 = 0
. Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0

⇔
x + 2y – 8 = 0
c) Đường tròn (C) : x
2
+ y
2

55k−
= 5 .
2
1k
+

⇔ 4k
2
– 10k + 4 = 0
⇔
k = 2 hay k =
1
2

Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :
k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒
k =
1
2
⇒
1
2
x – y + 5 = 0.
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
n
0
90BAC = .
Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G(
2

2
⇔ A (0, 2)
y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0
JJJJG
AM
PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM=
+=19 10

(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 10
Tọa độ B, C thỏa :
−−=
⎧
⎨
−++=
⎩
22
x3y40
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⇔
=+
⎧
⎨
+++=⇔+=
⎩
22 2

(C
1
) có tâm I (1, 2), R = 2.
Gọi I’ là đối xứng I qua (d)
Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d)
(Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1)
H là trung điểm của II’
Giả sử I’ (x, y) thì ⇒
+
⎧
=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩
x1
2
2
y2
1
2
⇒
=
⎧
⎨
=

22
(x 3) y 4
xy10

⇔ ⇔ ∨
=+
⎧
⎨
−=
⎩
2
xy1
2y 4y 0
=
⎧
⎨
=
⎩
x1
y0
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y2

Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2).
Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

⎧
⎨
=
⎩

Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Gọi (C) là đường tròn đường kính AC
⇒ Phương trình (C) : (x–1)
2
+y
2
=1. B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D
là nghiệm của hệ :
22
(x 1) y 1
y0
⎧
⎪
−+=
⎨
=
⎪
⎩
⇔ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)
=∨=
⎧
⎨
=
⎩
x0x2
y0

= 49
Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1
⇒ pt (C) : (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 1.
Ví dụ
(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn:
(C
1
) : x
2
+
y
2
– 10x = 0; (C
2
) : x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 20 = 0

4
1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C
1
), (C
2

+ (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
⇔ x
2
+ y
2
+
4n 10m 2n 20n
xy
mn mn mn
−
⎛⎞
−−
⎜⎟
+++
⎝⎠
0=

Có tâm I
5m 2n n
;
mnmn
−
⎛⎞
⎜⎟

++
⎝⎠
Vì tâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒
5m 2n 6n 6m 6n
0

+ R
2
(C
2
) có tâm I
2
(−2; 1), bán kính R
2
= 5
Vì (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung.
Vì x = x
o
không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0
Δ tiếp xúc với (C
1
) ⇔ d(I
1
, Δ) = R
1
⇔
2
5a b
5
a1
⏐+⏐

⎢
+=+ +−
⎣
1
a
7
3a 1
b
2
⎡
=−
⎢
⎢
−
+
⎢
=
⎢
⎣

Thế a =
1
7
−
vào (1) ta có : b
1
=
5252
7
+

25 2
Vậy
phương trình 2 tiếp tuyến là x + 7y – 5
±

25 2
= 0.

5
GHI CHÚ :
Bài đường tròn trong chương trình lớp 12 bao gồm các vấn đề chính là : Tìm phương
trình đường tròn; các bài toán liên quan đến vò trí tương đối giữường thẳng và đường tròn,
giữa hai đường tròn; phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai
đường tròn không đồng tâm. Ngoài ra còn có một số câu hỏi liên quan đến phương trình x
2
+
y
2
+ 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) là phương trình đường tròn. Từ
phương trình (1) tìm tâm và bán kính của đường tròn, tìm tham số để bán kính thoả một điều
kiện nào đó . . .
Sau đây, chúng tôi chỉ đề cập đến cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
và vài ứng dụng trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm. Đây là vấn đế các em
thường “ sợ” khi gặp phải.
A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC :
Trước hết cần lưu ý :
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác trong .
• Muốn tìm phương trình đường tròn ta tìm tâm I (a ; b) và bán kính R. Khi đó phương trình
đường tròn có dạng (x – a)
2

BA
M
(I)
1/ Nếu đề bài cho biết tọa độ A, B, C thì :
• Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của
tam giác ABC.
Ta có :
DC
AC
AB
DB −=

Sử dụng công thức (I) với k =
AC
AB
−
ta xác đònh được tọa độ điểm D.
A
B C
D
I
• Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì I chính là chân đường phân giác
trong kẻ từ B của tam giác ABD.
Ta có :
ID
BD
BA
IA −=

Sử dụng công thức (I) với k =

1
y + c
1
= 0 (1)
(C
2
) : x
2
+ y
2
+ 2a
2
x + 2b
2
y + c
2
= 0 (2)
Trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với
(C
1
) và (C
2
) và có phương trình là :
2(a
1
– a

) và (C
2
) tiếp xúc nhau (Tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài) thì trục đẳng
phương của (C
1
) và (C
2
) là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
) tại tiếp điểm.
• Nếu (C
1
) và (C
2
) không cắt nhau thì vẽ thêm đường tròn (C
3
) sao cho cắt được (C
1
),
(C
2
) và có tâm không nằm trên đường nối tâm của (C
1
), (C
2
). Gọi M là giao điểm của hai trục
đẳng phương của (C
1

M
I
Qua kết quả trên ta ghi nhớ ngay 2 kết quả :
• Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) chính là trục đẳng
phương của (C
1
) và (C
2
) [Nghóa là không cần tìm tọa độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)].
• Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm chính là
trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
).
Sau đây, lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp :
Bài 1
: Cho (C

) và (C
2
).
•

7
M
• B
A •
(C
1
)
(C
2
)

Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường tròn tiếp xúc nhau (C
1
) và (C
2
)
Gọi I
1
và I
2
là tâm của (C
1
) và (C
2
). Tiếp điểm M chính

(C
1
): x
2
+ y
2
và (C
2
): x
2
+ y
2
. Viết phương trình trục đẳng phương d của
2 đường tròn (C
1
) và (C
2
). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của
(C
1
) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C
2
).
9=
2223xy−− − =0
Giải:
Đường tròn
(
)
1

,
(
)
2
C
là
(
)
(
)
22 22
xy9 xy2x2y23+−− +−−− =0

x
y
70⇔++=
(d)
Gọi
(
)
(
)
kk k k
Kx,y d y x 7∈⇔=−−

()() ( )
= − + − =+=+−− = + +
22 2
22222
kkkkkk kk


CHUYÊN ĐỀ 5
ELIP
Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác đònh
các phần tử của elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), nhất là xác
đònh phương trình của tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm. Trong mọi trường hợp ta cần nắm
vững kiến thức cơ bản sau đây : . Elip (E) có tiêu điểm
trên x
′
x
. Elip (E) có tiêu điểm
trên
y
′
y
Phương trình
chính tắc

Tiêu cự
Tiêu điểm
Trục lớn
Trục nhỏ
Đỉnh trên trục lớn
Đỉnh trên trục nhỏ
Tâm sai
Bán kính qua tiêu
Điểm của M

2
(c, 0)
Trên Ox, dài 2a
Trên Oy, dài 2b
A
1
(–a, 0), A
2
(a, 0)
B
1
(0, –b), B
2
(0, b)
e =
c
a

11
22
M
M
rFMaex
rFMaex
==+
⎧
⎨
==−
⎩


2c
F
1
(0, –c), F
2
(0, c)
Trên Oy, dài 2b
Trên Ox, dài 2a
A
1
(0, –b), A
2
(0, b)
B
1
(–a, 0), B
2
(a, 0)
e =
c
b

11
22
M
M
rFMbey
rFMbey
==+
⎧

y
b
−
β
= 1
Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tònh tiến theo
OI
J
JG
để được phương trình
dạng chính tắc của elip là
2
2
X
a
+
2
2
Y
b
= 1 với
X
x
Yy
=
−α
⎧
⎨
=
−β

= 1
. Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất :
: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip
()
Δ
(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
⇔
Thường ta viết phương trình của
(
)
Δ

0
, y
0
) là điểm nằm ngoài
elip.
Ví dụ1 :

Cho elip (E) : x
2
+ 4y
2
– 40 = 0
a) Xác đònh tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M
0
(–2, 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0).

2