BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
•
BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)

CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH

Cực trò tại x
0
: ∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x
0
– ε, x
0
+ ε) ⇒ f(x) ≤ f(x
0
)
Fermat: f đạt cực trò tại x
0
∈ (a,b) & khả vi tại x
0
⇒ f’(x
0
) = 0
Minh hoạ hình học:

ĐỊNH LÝ ROLL

đạo hàm

KHAI TRIỂN TAYLOR

CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (a,b)
( )
( )
( ) ( )
( )
00
0
0
0
,
!
)( xxxxoxx
k
xf
xf
n
n
k
k
k
→−+−=
∑
=
Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x
0
⇒ f(x) ≈ f(x

xx
n
xf
xx
xf
xxxfxff
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xxcxx
n
cf
xx
k
xf
xf
xR
n
n
n
k
k
k
n
,,

!
0
!
0
0'0)(
0
xRx
k
f
xRx
n
f
xffxf
n
n
k
k
k
n
n
n
+=++++=
∑
=

Phần dư Lagrange:
( )
( ) ( )
xxccx
n

1
1
2
→+++++=
+
xxo
n
xx
xe
n
n
x

( )
( )
( )
0,
!2
1
!4!2
1cos
12
242
→+−+−+−=
+
xxo
n
xxx
x
n

x
: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu. cos chẵn → mũ
chẵn; sin lẻ → mũ lẻ; tg lẻ → mũ lẻ. K0 đan dấu → shx, chx
Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx (chỉ đến cấp ba)
( )
( )
0,
)!12(
1
!5!3
sin
2
12
1
53
→+
−
−
+++−=
−
−
xxo
n
xxx
xx
n
n
n

( )