Khai triển Taylor
1. Khai triển Taylor
1.1. Các công thức.
Cho hàm số
( )
xf
xác định trên
[ ]
ba;
. Khi đó
( )
bax ;
0
∈∀
ta có:
+ Nếu
( )
xf
khả vi liên tục tới cấp
1
−
n
trên
[ ]
ba;
, khả vi cấp
n
tại
0
x
thì

thì
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
1
0
0
0
!1!

+
+
−
+
+−++=
n
n
n
n
xx
n
cf
xx

−
+
−+
+−++=
n
n
n
n
xx
n
xxxf
xx
n
xf
xfxf
θ
với
10 <<
θ
(Công thức Taylor với phần dư Largrange)
Để tiện ứng dụng, chúng ta sẽ gọi
n
là cấp khai triển,
0
x
là điểm khai triển,
x
là điểm
áp dụng.
1.2. Nhận xét.

n
f ,0
1
.
Chứng minh rằng
( )
0=xf
.
2.1.2. Giả sử là hàm chẵn, khả vi 2 lần và
( )
00
"
≠f
. Chứng minh rằng
0=x
là điểm
cực trị.
2.1.3. Chứng minh rằng nếu
( )
xf
"
tồn tại thì
a)
( ) ( ) ( )
( )
xf
h
hxfxfhxf
h
"

xfhxfhxfhxf
h
'"
3
0
323
lim =
−+++−+
→
.
2.2. Chọn điểm khai triển – Điểm áp dụng
2.2.1. Giả sử
( )
xf
khả vi hai lần;
( ) ( )
[ ]
( )
1min;010
1;0
−===
∈
xfff
x
.
Chứng minh rằng
[ ]
( )
8max
"

>∀> xaxxf
.
2.2.3. Giả sử
( )
xP
là đa thức bậc
n
sao cho
R
∈∃
a
để
( ) ( )
( )
( )
0, ,0,0
'
>≥≥ aPaPaP
n
. Chứng minh rằng mọi nghiệm thực của
( )
xP
đều
không lớn hơn
a
.
2.2.4. Giả sử
( )
xP
là đa thức không có nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức

là đa thức bậc 1996. Biết rằng với mọi
R
∈
x
ta đều có
( ) ( ) ( )( )
hxhxhgxghxg ,
'
θ
++=+
,
trong đó
( )
hx,
θ
bị chặn,
( )
xxg ∀≠ ,0
"
.
Tìm
( )
hx
h
,lim
0
θ
→
.
2.2.7. Cho

k
R
và
( )
( )
0,,0 >∀∈∀≥ xkxf
k
N
. Chứng minh rằng
( )
0=xf
với
0
>
x
.
2.2.9. Giả sử
"
f
tồn tại và giới nội trong
( )
∞;0
. Chứng minh rằng nếu
( )
0lim =
∞→
xf
x
thì
( )

'
=
+∞→
xxf
x
.
2.2.11. Cho
f
khả vi trên
[ ]
ba;
và giả sử rằng
( ) ( )
0
''
== bfaf
. Chứng minh rằng nếu
"
f
tồn tại trong
( )
ba;
thì tồn tại
( )
bac ;∈
sao cho
( )
( )
( ) ( )
afbf

.
2.3. Cấp khai triển
2.3.1. Giả sử
( )
xf
có đạo hàm liên tục đến cấp
1+n
trên khoảng
( )
1;1−
và
( )
( )
00
1
≠
+n
f
, hơn nữa giả sử
10: <<∀ xx
ta có công thức Maclaurin
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
!!1

2.3.2. Giả sử
RR →:f
khả vi liên tục đến cấp 3. Chỉ ra rằng tồn tại
R
∈
a
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
0
'""'
≥afafafaf
.
2.4. Khai triển thành chuỗi Taylor
2.4.1. Với những số thực
c
nào thì
R∈∀≤
+
−
xe
ee
cx
xx
,
2
2
.
( )
∗
2.4.2. Chứng minh rằng với