TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

33
XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN TIẾP QUỸ TỐI ƯU CHO CÁC MÁY ATM
THEO HƯỚNG QUY HOẠCH NGUYÊN
AN INTEGER PROGRAMMING APPROACH TO THE DETERMINATION
OF AN OPTIMAL CASH DEPLOYMENT STRATEGY FOR ATMS

Phan Đình Anh
Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Có nhiều phương án tiếp quỹ khác nhau để lựa chọn trong việc đáp ứng nhu cầu rút
tiền của khách hàng tại các máy ATM, việc kiểm soát chi phí đòi hỏi phải xác định một phương
án tiếp quỹ tối ưu là phương án khả thi, đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng
và có chi phí thấp nhất. Xét về bản chất, đây là nội dung của vấn đề tồn kho g
ắn với lộ trình vận
chuyển, đã được giải quyết theo hướng quy hoạch nguyên hoặc dựa trên các thuật toán giải
bài toán quyết định Markov với số bước hữu hạn. Tuy nhiên, việc xác định phương án tiếp quỹ
tối ưu cho các máy ATM dựa trên phương pháp này đòi hỏi phải có sự hỗ trợ của các phần
mềm chuyên dụng. Xuất phát từ đặc thù của hệ thống ATM tác giả đề
xuất một mô hình có thể
tìm phương án tối ưu bằng những tính toán đơn giản.
ABSTRACT
There are different cash deployment strategies which refer to the scheduling and
replenishing of automated teller machines (ATMs). However, it is essential to determine the
optimal cash deployment strategy for ATMs to minimize cash-related expenses and ensure that
they do not run out of cash. In nature, this is an Inventory Routing Problem which can be solved
on the basis of an Integer Programming or infinite horizon Markov decision processes.
Nevertheless, these models require a lot of computations. With special features of an ATM
network, the author proposes a model to make an optimal cash deployment strategy without any

thời gian T ngày (từ đây gọi là tổng chi phí) bao gồm:
+ Tổng chi phí cơ hội tiền mặt của N máy ATM trong khoảng thời gian T ngày:
∑∑∑∑
====
=
T
t
N
i
ti
T
t
N
i
tih
DrC
11
,
_
11
,,

Trong đó:
C
h,i,t
: Chi phí cơ hội của tiền mặt tại máy ATM thứ i trong ngày t

ti
D
,

11
,,
11
,,
11
,,
11
,,
)(

Trong đó:

tivtiiftis
xCwCC
,,,,,
+= : Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ đến máy ATM thứ i,
trong ngày t

tiif
wC
,,
: Chi phí tiếp quỹ cố định cho máy ATM thứ i (không phụ thuộc vào số
tiền tiếp quỹ trong ngày t cho máy ATM thứ i), w
i,t
=0 nếu trong ngày t không thực
hiện tiếp quỹ cho máy ATM thứ i và w
i,t
=1 nếu trong ngày t có tiếp quỹ cho máy
ATM thứ i
C

DD
,,
0 ≤< : Máy ATM luôn sẵn có tiền mặt để đáp ứng nhu cầu rút
tiền của khách hàng và số tiền này không lớn hơn khả năng chứa tiền tối đa của mỗi
máy ATM
(2)
titititi
DIxD
,,,1,
=−
+
−
: Thể hiện cân bằng trong thay đổi số dư tại mỗi máy
ATM khi nhu cầu rút tiền trong ngày t tại máy ATM thứ i là I
i,t
, điều này hàm ý là
sự thay đổi số dư tại mỗi máy ATM chỉ do hai nguyên nhân là tiếp quỹ và nhu cầu
rút tiền của khách hàng.
(3)
0
0,
=
i
D
: Máy ATM chỉ có số dư sau hoạt động tiếp quỹ đầu tiên cho máy
trong giai đoạn T
Như vậy, một phương án tiếp quỹ được xem là tối ưu phải vừa đảm bảo đáp ứng
đầy đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại mọi thời điểm ở tất cả các máy ATM.
Phương án đó phải khả thi, đồng thời, tổng chi phí của phương án đó là th
ấp nhất trong

.
(ii)
Chi phí tiếp quỹ không phụ thuộc vào số tiền tiếp quỹ
(iii)
Nhu cầu rút tiền có phân phối chuẩn
3.1. Các phương án tiếp quỹ đảm bảo luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách
hàng tại máy ATM
- Trường hợp tiếp quỹ cho một máy ATM
+ Nhóm phương án tiếp quỹ thụ động: Khi số dư máy ATM gần bằng không,
ngân hàng sẽ thực hiện tiếp quỹ. Do nhu cầu rút tiền của khách hàng là ngẫu nhiên nên
khoảng cách giữa hai lần tiếp quỹ liên tiếp (từ đây gọi là chu kỳ tiếp quỹ) cũng sẽ ngẫu
nhiên. Vì vậy, phương án tiếp quỹ này đòi hỏi sự theo dõi thường xuyên số dư tài khoản
máy ATM cập nhật trong hệ thống và có th
ể gây khó khăn cho ngân hàng trong hoạt
động quản trị thanh khoản.
Sơ đồ 1 thể hiện sự biến động số dư của máy ATM với phương án tiếp quỹ thụ
động
+ Nhóm phương án tiếp quỹ chủ động: Mỗi khi thực hiện tiếp quỹ cần ấn định
trước một chu kỳ tiếp quỹ cho lần tiếp quỹ đó, trên cơ sở đó, xác định một số tiền tiếp
quỹ tối thiểu sao cho đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng trong chu kỳ tiếp quỹ
đã được ấn định. Phương án này không đòi hỏi phải theo dõi số dư của tài khoản máy
ATM. Hoạt động tiếp quỹ sẽ
được thực hiện ở thời điểm kết thúc chu kỳ đã được ấn
định. Vì vậy, phương án này tạo sự chủ động cho ngân hàng trong hoạt động quản trị
thanh khoản.
Sơ đồ 2 thể hiện sự biến động số dư của máy ATM với phương án tiếp quỹ chủ động


Chu kỳ
Tiếp quỹ

Chu kỳ
Tiếp quỹ

Số dư
máy ATM
(D)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

37
một máy ATM duy nhất, do các máy ATM có số dư bằng không ở các thời điểm khác
nhau.
+ Nhóm 2: Tiếp quỹ chủ động cho từng máy ATM, trong đó, mỗi một máy ATM
có thời điểm tiếp quỹ khác nhau. Điều này xảy ra khi chu kỳ tiếp quỹ được ấn định cho
mỗi máy ATM khác nhau hoặc khi chu kỳ tiếp quỹ được ấn định giống nhau cho mỗi máy
ATM nhưng thời điểm tiếp quỹ ban đầu được ấn định khác nhau cho mỗi máy.
+ Nhóm 3: Tiếp quỹ chủ động với cùng chu kỳ và thời điểm tiếp quỹ cho n máy
ATM (1
≤n≤N). Với phương án này, mỗi lần tiếp quỹ ngân hàng có thể tiếp quỹ đồng
thời cho n

máy ATM.
3.2. Xác định phương án tiếp quỹ tối ưu
Các ký hiệu quy ước:
I
i
: Nhu cầu rút tiền của khách hàng trong một ngày tại máy ATM thứ i (hay tổng
số tiền rút khỏi máy ATM thứ i trong một ngày):

u
χ
: Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ ứng với lộ trình di chuyển tối ưu từ điểm xuất
phát qua tất cả các máy ATM trong
χ và trở về điểm xuất phát.
λ
χ
: Chu kỳ tiếp quỹ chung cho các máy ATM trong χ
a. Phương án tiếp quỹ tối ưu cho 1 máy ATM
- Phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ chủ động
Khi chu kỳ tiếp quỹ
ϕ được ấn định trước, để đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của
khách hàng trong chu kỳ, số dư nhỏ nhất của máy ATM ở thời điểm bắt đầu chu kỳ thỏa:
)1()1()(
1))((
11
αϕσϕµασ
α
ϕ
−Φ+=−Φ+=
−
=
<
−−
X
XEDhay
DXpro

Với
α>0, )(

αϕσϕµ
−Φ+=−+=
−
−
XEDDD

Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ = Số lần tiếp quỹ trong T ngày × Chi phí cho một
lần tiếp quỹ.
Tổng chi phí trong khoảng thời gian T ngày (TC
chu
) = Chi phí hội tiền mặt + Chi
phí cho hoạt động tiếp quỹ:
T
h
rTC
chu
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+∗−Φ+=
−
ϕ
αϕσϕµ
))1(
2
1
(

Với số tiền tiếp quỹ D, số dư máy ATM ở cuối mỗi chu kỳ η ở mức D-X(η) = 0.
Chu kỳ tiếp quỹ bình quân
µµ
η
η
DXE
E ==
))((
)(
Tổng chi phí :
Th
D
DrTC
thu
)
2
1
(
µ
+= ;
r
h
DMinTC
thu
µ
2
*
=⇒= .
Như vậy, khi tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án tiếp quỹ tối ưu luôn là
phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động.

XEDrTTC
≥>=⇒=
>−
>>⇒=−Φ+=
>
−
+−=∆
−
**
*
1
:
0)(:
0)()()1(:
0
)(
)(
))((
2
1
ϕηµηαϕσϕµ
ϕη
ϕ
η
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

39
b. Phương án tiếp quỹ tối ưu cho hệ thống N máy ATM (N>1)
- Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 1
Trong trường hợp này ngân hàng thực hiện tiếp quỹ cho máy ATM thứ i với số


-
Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 2

∑∑
=
−
=
−
−
−Φ+==
−Φ+=
=−∗−Φ+>
N
i
i
i
ii
N
i
Mini
n
Min
iiiii
i
i
i
i
ii
rTTCTC

µϕ
αϕσµϕ
ϕ
ασ
ϕ
µϕ

-
Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 3
+ Gọi A(χ) là một phương án nhóm 3
{
}
∅=ℜ=ℜ⊂=
IU
χχχχχ
),(),(::)( NNA
0))1(
2
1
2
1
(.0
))1(
2
3
(
))1(
2
1
(

⎜
⎝
⎛
−Φ++=
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∈
−
∈
∈∈
−
∈
∈∈
−
∈
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χχχ
χ
χ
χχ
χχχ
χ
χ
χ


+ Chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 3:
MinA
nhóm
Min
MinTCTC
),(
3
χ
=

Như vậy, phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ thụ
động không luôn là phương án tối ưu khi tiếp quỹ cho nhiều máy ATM.
4. Kết luận
Để luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại các máy ATM, ngân
hàng có thể tổ chức hoạt động tiếp quỹ theo nhiều phương án khác nhau. Để giảm đến
mức thấp nhất chi phí, trong trường hợp tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án có chi
phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động luôn là phương án tiếp quỹ
tối ưu. Tuy nhiên, trong trường hợp tiếp quỹ cho nhiều máy ATM, phương án có chi phí
thấp nh
ất của nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động không luôn là phương án tiếp quỹ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

40
tối ưu. Việc xác định phương án tối ưu để thực hiện trong trường hợp này còn phụ thuộc
vào số lượng máy ATM và mối quan hệ giữa chi phí tiếp quỹ đồng thời cho các máy
ATM và tổng chi phí khi thực hiên tiếp quỹ riêng rẽ cho từng máy ATM.

TÀI LIỆU THAM KHẢO


=
=
iii
hh ;;)
So sánh chi phí giữa hai phương án : (1) tiếp quỹ cùng chu kỳ và thời điểm cho n
máy ATM với tổng chi phí tiếp quỹ u mỗi lần và (2) phương án tối ưu trong nhóm
phương án tiếp quỹ thụ động
Chọn x là chu kỳ tiếp quỹ áp dụng cho n máy ATM
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

41
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+−Φ+=−
−
µασµ
rh
x
nu
xrxrnTTCTC
n
Min
n
x
2
/

h
rrh
r
h
nu

1hom3hom n
Min
n
x
TCTC <⇒
; mặt khác do
3hom3hom n
x
n
Min
TCTC ≤

1hom3hom3hom n
Min
n
x
n
Min
TCTCTC <≤⇒