Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt

Bi 11
GIAO IM CA NG THNG
VI MT MT

I. KHI NIM
Giao im ca ng thng vi mt mt l tp hp cỏc im chung ca ng thng vi mt ú
_ S giao im ti a ca mt ng thng vi mt a din li l hai im
_ S giao im (thc v o) ti a ca mt ng thng vi mt mt bc n l n im

II. TRNG HP BIT MT HèNH CHIU CA GIAO IM
1) Nu mt ó cho l lng tr chiu hoc tr chiu, cũn ng thng bt k, thỡ:
_ Ta bit c mt hỡnh chiu ca cỏc giao im l giao ca hỡnh chiu suy bin ca lng tr
chiu hoc tr chiu ú vi hỡnh chiu cựng tờn ca ng thng
_ v hỡnh chiu cũn li ca cỏc giao im ta ỏp dng bi toỏn im thuc ng thng

Vớ d 1
Hóy v giao im ca ng thng d vi lng tr (abc) chiu bng (Hỡnh 11.1)

Gii
Gi M, N = d (abc).
Vỡ lng tr (abc) P
1
M
1
, N
1
= d
1
a

b
2
M
1
N
2
b
1

a
1
c
1 Hỡnh 11.1 Hỡnh 11.2
(C
1
)
t
2

1
ng trũn

(C
1
) M
2
, N
2
d
2
; (Hỡnh 11.2)
on chui MN khut; ta cú M thuc na trc ca tr nờn M
2
thy; N thuc na sau ca tr nờn
N
2
khut
2) Nu ng thng ó cho l ng thng chiu, cũn mt bt k, thỡ:
_ Ta bit c mt hỡnh chiu ca cỏc giao im trựng vi hỡnh chiu suy bin ca ng thng
chiu ú
_ v hỡnh chiu cũn li ca cỏc giao im ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
65
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt

Vớ d
Hóy v giao im ca ng thng d chiu ng vi mt nún nh S, ng chun (C) l elip cú
hỡnh chiu bng (C
1
m
1
n
1
d
1
C
1
B
1
A
1
E
2
G
2
(
2
) d
2
G
1
F
1
F

1
(C
2
)
C
2
M
2
N
2
d
2
d
1
N
1
S
2
I
2
J
2
x Hỡnh 11.3 Hỡnh 11.4


1
G
1
d
1
M
2
, N
2
d
2
; (Hỡnh 11.4)
_ Vy M, N = d S.ABC
_ on chui MN khut
+ M mp(SAB) v N mp(SBC) l hai mt phng thy trờn hỡnh chiu ng nờn M
2
, N
2
thy
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
66
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt
+
M mp (SAB) thy hỡnh chiu bng nờn M
1
thy; N mp(SBC) khut hỡnh chiu bng
nờn N
1
khut; (Hỡnh 11.4)


1
(C
1
)
A
J
I
2
I
1
S
1
S
2
S
J
2
J
1
I
d
K
B
M
N
(C)
K
2
K
1

1
= S
1
B
1
d
1
N
2
d
2
(Hỡnh 11.5b)
_ Vy M, N = d nún S
_ on chui MN khut
+ M SA v N SB ; Vỡ A
1
, B
1
thuc na sau ca (C
1
) nờn hỡnh chiu ng M
2
, N
2
khut.
+ Vỡ A
1
thuc cung thy ca (C
1
) nờn hỡnh chiu bng M

mp (C)
Hỡnh 11.6a Hỡnh 11.6b
b
1
a
1
d
1
d
2
A
1
N
2
(C
2
)
(C

d
J
I

_ V cỏc giao im: M = a d; N = b d; (Hỡnh 11.6a)
T M
1
= a
1
d
1
M
2
d
2
; v N
1
= b
1
d
1
N
2
d
2
(Hỡnh 11.6b)
_ Vy M, N = d tr
_ on chui MN khut
+ M a v N b ; Vỡ B
1

nún

Vớ d 4
Hóy v giao im ca ng thng d vi mt cu
tõm O bỏn kớnh R (Hỡnh 11.7)

Gii
Dng mt phng ph tr cha ng thng d [()
thng l mt phng chiu], s ct cu theo ng
trũn. Núi chung ng trũn ny chiu lờn cỏc mt
phng hỡnh chiu l Elip
Vy ta cú cỏch gii nh sau:

_
Dng mp() chiu bng cha d (
1
) d
1

_ V cỏc giao tuyn ph : () = mp() cu
(
1
) (
1
) d
1

_ v cỏc giao im ca ng thng d vi
ng trũn (), ta thay i mp hỡnh chiu ng
sao cho mp () // P

2
O
1
d
2
N

2
I
1
P
2

P
1
_ V M
2
, N
2
= d
2
(
2
) M
1
, N
1
d
1
v M

+ V giao im M,N = OH () bng cỏch thay i mt phng hỡnh chiu ng ta xỏc nh
c hỡnh chiu ng mi ca giao im l : M
2
, N
2
= O
2
H'
2
(
2
). Tr v hỡnh chiu
bng v hỡnh chiu ng ta nhn c M
1
, N
1
O
1
H
1
v M
2
, N
2
O
2
H
2

Vy M,N l cỏc im thuc mt cu gn v xa ng thng d nht cn tỡm; (Hỡnh 11.8)

d
2
J
1
d
1
(
2
)
N
2
O
1
(
1
)
S
1
M
2
x
K
1
M
1
N
1
M
2
H

1
S
2
I
2
d
1
(
1
) (
1
)
H
1
B
1
A
1
I
1
N
2
B
2
A
2
x


s


_ Dựng mp(AB,S) lm mt phng ph tr (mt phng ph tr cha ng thng v nh chúp).
_ V cỏc giao tuyn v giao im :
+ V IJ = mp(AB,S) mp(CDK)
+ V E, F = IJ CDK
+ V M = AB SE
+ V N = AB SF
+ Vy M, N = AB S.CDK
_ Xột thy khut nh (hỡnh 11.10), trong ú on chuụi MN l khut

x
F
2
E
2

C
1
A
1
A
2
C
2
K
2
D
2
S
2
P
2

P
1
s
x
N
2
M
2
M
1
N
1
M

v cỏch b mt khong r cho trc
Gii

_ ng thng d cn dng song song vi b v cỏch b mt khong r nờn d chớnh l ng sinh
ca mt tr trũn xoay trc b bỏn kớnh r
_ Vỡ d ct a nờn cỏc ng sinh d cn dng i qua cỏc giao im M, N ca a vi mt tr va v.
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
70